А.К. Боярчук - Функции комплексного переменного - теория и практика (1118159), страница 71
Текст из файла (страница 71)
18. Получить теорему Вейерштрасса (п. 3.3) из теоремы Миттаг-Леффлера (п. 2.2). 293 Упражнения лдя самостоятельной работы 19. Доказать равенства: ' П (1+ —,.*,'.,); б) а)тгод"-т-*, = П (1 — Ы) ' ю ( а) с)г х — соз х в) йе=хП 20. Доказать равенства; — ч и (~ + а) = *" ~~.' '~ а) П(1 21. Доказать равенства: г г Д) ) .-,',*,.:,: = -,г(о —,т=Ь-), 0<0<о. о 22. Вычггслигь интеграл: 3 = ( е '"'* о(п(а з)п х) з(п пх о(х (и Е (г0. о 23. Доказать равенства: а о 25. Доказать равенства: о) ~;-*--рох = с" ',—,„'„,, с ) О, -1 < о < 3 и неравно целому числу; )3) 1 ', г(х = — ~.', о о о 26.
Интегрируя функцию х оч,г (х) =;-'--г по Я=(ась:0<)х)< границе кругового сектора й, О < ага а < — ', г3, доказать равенства о 27. Интегрируя функцию х г-~ 3(х) = Д-от по Я= (хбС:г<(з(< а границе кругового сектора 12, О < ага х < —, 3, доказать, что: Г г * — г б) Г * га и а2 *о.~- г о о а. 24. Интегрируя функцию з ~ г( ) = —;„, — а < о < гг, по границе прямоугольника с вершинами в точках (-Л, 0), ()1, О), (Л, г), (-Й, г), доказать равенства: Гл.
7. Вычет!а в вх првмеиеиив 194 28. Доказать равенства: 1) ~ ! ! — зт — — з(с)8то+сйта), =! Глава 8 Некоторые общие вопросы геометрической теории аналитических функций Эта глава посвящена изучению некоторых общих топологических свойств аналитических функций. В ней рассмотрены геометрические принципы и общие вопросы теории конформных отображений. Последний параграф посвящен конформным отображениям многоугольников. 5 1. Принцип аргумента.
Теорема Руше у у (г)У'(г) 1.1, Вычисление интеграла — / г(г, 2в г,/ У(г) — А ап Пусть Р Ф С вЂ” область, У вЂ” аналитическая в замыкании В функция, за исключением конечного множества полюсов, лежащих в Р (но не на дВ) и дР— непрерывная положительно ориентированная кривая. Пусть, даосе, А — такое произвольное (конечное) комплексное число, что функция У не имеет А-точек на границе дВ, а р — произвольная аналитическая в замыка- нии В функция. Рассмотрим в области Р функцию г о гт(г) = ЯЯ. Ее возможные особые точки в  — зто А-точки и полюсы функции У.
Пусть (аь1 )о = 1, т) — А точки функции У в Р кратностей соответственно ао ан ..., а а (Ь,', У = 1, о) — полюсы соответственно порядков до ))и ..., д„. Изучим функцию г' вокрест- ности точки аь. о соответствии с формулой (3), и. 1.8, гл. 5, имеем У(г) — А = (г — аь) о Уо(г) Уо(оо) Ф О. Тогда У'(г) = ао(г — оь) " Уо(г)+ (г — ао) оУо(г), г(г) = (о(г) „— )о(г) (г — ао) ' '(аьУо(г)+ (г — аь)Уо(г)) аьУо(г) е (г — ао)Уо(г] (г — аь)"г Уо(г) (г — ао)Уо(г) откуда геог"(г) = аь(о(оь).
о Аналогично, рассмотрим функцию Р в окрестности точки Ь,: У(г) — А =,, Уо(Ь;) Ф О, Уо(г) Уо(г) Уо(г) 1 „-У)у Уо(г) + Уо(г) (г — Ьз) ( — Ьу)У ( ) 29б Гл. 8. Некоторые общие вопросы геометрической теории аналитических функций откуда гезР(л) = -дгр(Ь,). ьз По основной теореме о вычетах имеем У'(л) й — / зг(л) = ~~~ оьгг(аь) — ~~~ ))гуг(Ь ). во ьщ гщ В дальнейшем каждую А-точку засчитываем столько раз, какова ее кратность. Аналогично, каждый полюс засчитываем столько раз, каков его порядок. При таком соглашении правая часть формулы (1) выражает разность между суммой значений, принимаемых функцией р в А-точках функции у и суммой значений, принимаемых той же функцией )ь в полюсах функции у, лежащих в области В. Рассмотрим частные случаи.
1) При р(з) = л формула (1) принимает вид — / з = ~ а„а„— ~~ь )узбт Г Т'(,)и. гщ (2) В правой части формулы (2) стоит разность между суммой А-точек функции Г и суммой се полюсов, размещенных в Р 2) Прн р(л) = 1 имеем —,/ де=~~ оь — ~д,. 2ль / У(з) — А ао ьщ гщ (3) В правой части формулы (3) стоит разность между числом А-точек и числом полюсов функции Г, помещенных в области В. 1.2. Теорема о догарифмическом вычете. Пусть теперь А = О, т.
е. А-точки функции Г являются ее нулями в области В. Введем в рассмотрение следующие обозначения: 2 аь = )у — число нулей функции у в ь=! области В, 2,')), = Р— число полюсов этой же функции в В. Тогда зщ Г ~'(.) — — дл = )ч — Р. 2ль У(л) Интеграл, находящийся в левой части этого равенства, называется логарифмическим вычетом функции г относительно дВ, а само равенство выражает смысл следующей теоремы о логарифмическом вычете. Теорема, Пусть Р ье С вЂ” абласгнь с положительно ориентированной границей дВ, и множество точек границы является кривой Жордана.
Тогда, есш функцил Г аналитическая в замыкании Р, за исключением налккав, размещенных в Р, и )' не Мращается в нуль на дВ, та логарифмический вычет функции относительно дР равен разности между числам нулей и числам полюсов функции У, размещенных в области Р, 1.3. Принцип аргумента. Теореме о логарифмическом вычете можно придать геометрический оттенок. Первообразной функции гТ в окрестности любой точки л Е дР, в которой нет ни нуля, ни полюса функции Т, является функция л Р(л) = 1п 1(л), где 1п обозначает любую ветвь логарифма, посколысу Р'(л) = Яе). Ф 1. Принцип аргумента. Теорема Руте 297 Пусть дВ = (у, 7~), (а, (у) у — параметрическое представление кривой 7.
Тогда пер- на вообразной функции ~- вдоль кривой 7 является функция г ~ Ф(г) = Оз |()з(г)). поскольку ггривая 7 замкнута, то !и (У()з((5))( = !и (у(уг(а))(, Принимая это во внимание и применив форму- лу Ньютона — Лейбница (см. формулу (1), и. 5.2, гл. 4), получим: — дг = Ф(9) — Ф(о) = ((ага У()з(~У)) — агй1~0р(а))). Х'(з) У(з) вп Введем обозначение Ьоп агй Т = ага Т()з((3)) — ага Т(гр(о)) и запишем равенство (1) в виде 1 / Т'(з) г2вп ага У вЂ” — дз = 2аг / У(з) 2а вп или, принимая во внимание теорему о логарифмическом вычете, в виде ! )У вЂ” Р = — йгоп агд Т.
2я (2) 1.4. Теорема Руша. Из принципа аргумента следует такое утверждение. Теорема (Руще). Пусть функции р и ф аналитические в замыкании В, где В Ф С— область с положительно ориентированной границей дВ, множество точек которой лвллетсн кривой Жордана, и пусть чх Е дВ ((о(г)( > (ф(х)(. Тогда функции чг и р+ ф имеют в области В одинаковое каличество нулей. щ из неравенства (зз(з)( > (ф(х)(, выполняющегося хгз б дР, следует, что функции р и р+ ф не имеют нулей на дВ. Действительно, поскольку гух Е дР (р(х)( > (ф(з)( > О, то (уг(х) + ф(х)( > ()з(х)( — (ф(з)( > О.
Пусть )у — число нулей функции р+ ф в области В, В соответствии с принципом аргумента имеем 1 1 / ф' 1/ / )у = — сьвп ангру+ ф) = — йьвп ивзз ~1+ — ) = — ~гхвп агв р+ йьвп апа ~1+ — ~ ) . 2гг 2гг (о) 2п 'х Т)) Последнее равенство выражает принцип аргумента, который можно сформулировать следующим образом. Принцип аргумента. Пусть В С С вЂ” область и множество 7 точек ее границы дВ являетсл кривой Жордана. Тогда, если функция Т аналитическая в замыкании В, за исключением конечного числа полюсов, размещенных в В, и Т не обращается в нуль на кривой у, то разность лгежду числом нулей )ч" и числом полюсов Р функции / и обласгпи В равно деленнолгу на 2зг приращению аргумента У при обходе точкой х границы обчасти Р в полоэсительном направлении один раз.
Очевидно, что — ' гаво агд У вЂ” это число полных оборотов вокруг точки ю = О, совершаемых вектором у, когда подвижная точка х обходит положительно ориентированную кривую дВ один раз в направлении, противоположном ходу часовой стрелки. В связи с этим приндип аргумента можно сформулировать по-другому, а именно: Принцип аргумента (альтернативная формулировка). Пусть Р Ф С вЂ” область и множество 7 точек ее границы дВ является кривой Жордана. Тогда, если функция У аналитическая в замыкании В за исключением конечного числа полюсов, размещенных в В, и Т на границе области В не обращается в нуль, то разносгпь 19 -Р равна числу полных оборотов, соверигаемых вектором ю = У вокруг точки ю = О лри обходе точкой з границы области Р в поюжительном направлении один раз.
298 Гл. 8. Некоторые общие вопросы геометрической теории аналитических функций Принимая во внимание, что ~ — '5 ~ < 1, вектор 5о = 1+ в при обходе точкой г границы дР не е ~вп У может совершить оборо~ вокруг точки в3 = О, поскольку точка го = 1+ й(,*23 асс время движется внутри круга К = (и б С: 5м — Ц < 1), не содержащего точки го = О. Следовательно, ют (1+ ~~) при полном обходе границы дР возвращается к первоначальному значению и ыоо аг8 1+ — = О.
Таким образом 1 )(г = — йгеп аг8 'т", 2я т.е. Ж вЂ” число нулей функции 55 в области Р. р Теорема Руше имеет многочисленные применения. Она используется, в частности, для определения числа нулей функции. Пусть, например, требуется определить количество нулей многочлена Р(г) = г — 5г » 2, ле- 5 3 жащих в круге К = (г б С; 14 < 1). Полагаем Р(г) = )5(г)+5)(г), Где )о(г) = — 5гз, ф(г) = аз+2. Если ф = 1, то ~(о(г)~ = 5 > 1г~+2/, так как !гз»2~ ( ~г'/+2 = 3. Функция 55 имеет в единичном круге К три нуля. Поэтому, по теореме Руше, многочлен Р имеет в круге К три нуля.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
