А.К. Боярчук - Функции комплексного переменного - теория и практика (1118159), страница 74
Текст из файла (страница 74)
Очевидно, что в качестве г можно взять любую точку из круга К. Пусть, в частности, г = О. Тогда бч(0)! = (Тч(0)! < 1. Предположим теперь, что в некоторой точке сь Е К выполняется равенство ))ч(гь)~ = 1 Это означает, что !ш! достигает максимума в точке хь. Следовательно, по теореме 1 (е = сопя! и, так как !)е(г)( = 1, э Е К, тоуч(г)=е' э,аЕВ. м Лемма Шварца имеет простой геометрический смысл. Она утверждает, что при отображении с помощью функции ш = Т(э) любая точка с Е К или приближается к началу координат, или отображение представляет собой вращение вокруг начала координат. Другими словами, образ любой окружности Т„= (г Е С: (г! = г) либо лежит внутри круга К„' = (чо Е С: !ш! < г), либо совпадает с его границей.
Лемма Шварца имеет много обобщений. Выделим простейшее из них. Если точка э = 0 является нулем функции у кратности Л, то, рассмотрев функцию г ь гф, получим неравенства ! учм(о) !У(г)! < !г! Ус Е К и ~ —,— < 1, причем равенства в них возможны лишь в случае, когда у(с) = е* с . *х х Рассмотрим задачи. 8. Доказать, что если Р(*) —, многочлен степени и, то линии уровня его модуля (Р(г) ~ = Л (лемнискаты) могут распасться не более чем на и связных компонент. <ч Любая связная компонента представляет собой границу некоторой области Р и модуль ана- литической в ней функции Р на ее границе постоянный.
Отсюда, согласно принципу максимума модуля, в Тэ найдется хотя бы одна точка я, в которой Р(э) = О. В противном случае Р(г'! ьд сопп в)Э. > 306 Гл. 8. Некоторые общие вопросы геометрической теории аналитических функпнй 9. Если функция ( р( соим аналитическая в круге Кл — — (г Е С: ]г! < В), то функция М(г) = гвр ]у(г)! строго возрастает на интервале (О, )2). 1* 1= ° м Утверждение является прямым следствием из принципа максимума модуля. Н 10.
Доказатгч что если функция у ~ сопя аналитическая в области Г1 = (г е с; ]г! > В), имеет конечный предел при ]г! со, а ]у! — непрерывная функция в 2), то ]у! достигает максимума на окружности тл = (г б С: ]г! = В), а функция М(г) = зцр ]7(г)! сзрого убывает на интервале (В, Есо). М Фуааия ( ~-~ )о(() = у (1) аналитическая в круге Кцл = (( б С: ](! < л ) (устранимую особую точку ( = 0 считаем устраненной) и ее модуль непрерывен в замкнутом круге Кыл. Согласно принципу максимума, ]р! достигает максимума на окружности дКыл, а ]у!— на окружности тл. Из задачи 9 следует, что гар ](о(()! строго возрастает на интерваяе (О, -л') . к =о Следовательно, М(г) = зир ]у( )! строго убывает на интервале (Я, +со). м 11. Пусть Р(г) = г" + а~г" + ...
Ч- а„. Доказать, что если Р(г) ~ г", то хотя бы в одной точке окрухгности Т = (г б С: ]г! = Ц выполняется неравенство ]Р(г)! > 1. М Функция г "Р(г) удовлетворяет условиям задачи 10 н, следовательно, ее модуль достигает максимума в )) = (г 0 С: ]г! > 1) на окружности Т = (г Е С: ]г! = 1). Пусть М вЂ”.
гпах]г "Р(г)! < 1. Тогда, согласно утверждению задачи 10, либо ]г "Р(г)! ив е 1, м~=! т.е. Р(г) = г", либо ]г "Р(г)! < 1 Уг б Т) = (г Е С: ]г! > 1). Последнее неравенство невозможно. Н 12. Пусть Р(г) — многочлен степени и, а М(г) = гпах ]Р(г)!. Доказать, что при 0 < г, < г 1 М ° выполняется неравенство М(г~) М(гг) > причем знак равенства хотя бы иая одной пары значений г1 и гг возможен только длл многочлена вида Р(г) = аг" М Функция г ° ~,*,' аналитическая в области 2) = (г Е С: ]г! > О) и, таким образом, Рм~ удовлетворяет условиям задачи 10 при любом В > О. м 13. Пусть Р(г) — многочлен степени а, для когорого на отрезке ]-1, 1] справедяива оценка ]Р(г)! < М.
Доказать, что в любой точке г, лежащей вне этого о~резка. выполняешься неравенство ]Р(г)! < М(а+ Ь)", где а и Ь вЂ” полуоси эллипса, с фокусами в точках — 1, 1, проходящего через точку г. м Функция го ~ (о(го) = го "Р ( (ол+ го ')) аналитическая на множестве В = (оо Е С: ]оо! )~ 1).
Поскольку образом окружности Т = (и Е С: ]оо] = 1) при отображении г = -(го+го ) является а~резок (-1, 1], то, принимая во внимание условия задачи, получаем, что тги б у ]р(го)! < М, Согласно решению задачи 1О, последнее неравенство справедливо и при ]го! > 1: о г(1( ° ')) гл~ г. 12 Пусть го — любая точка, не принадлежащая отрезку ] — 1, 1] и а, Ь вЂ” полуоси эллипса с фокусами в точках ~1, который проходит через точку го. Его образом при отображении м = г+ угу — 1 (го(гю) = оо) является окружность у' = (ге б С: ]и! = а+ Ь). Окончательно имеем ]Р(го)! = Р -(гво+гио ) < М]гоо!" = М(а.(-Ь)". М й3.
Экстремальные свойства модуля аналитической функции 303 14. Пусть функция у — аналитическая в правой полуплоскости б = (е б С ! Вез > О), при Вез = 0 удовлетворяет неравенству !/(е)! < М и обращается в нуль в точках зн зн ..., е„ (Кель > 0; й = 1, и). Доказать неравенство !л з!)!3 аз! )з 3 ! !У(з)! < М '' " (Коз > О). !а+у,! !е+ зг! ... !з + у„! м Функция з )зь(з) = =':и- устанавливает конформный изоморфизм полуплоскости гчгь 6' = (з б С ! Вез > О) и единичного круга К = (и б С: !и! < 1), т.е. !)зь((у)! = 1 и рь(еь) = О. l Таким образом, функция Р, где Р(з) = ((л) ( ) !! )зь(з)), являегся аналитической в полуплось=! кости С' (ее устранимые особые точки зь (й = 1, и) считаем устраненными) и !Р((у)! < М, следовательно, согласно принципу максимума модуля, !Р(г)! » <М Уе б С, т.
е. !У(')! < М П !рь(з)! ь=~ 15. Пусть функция у аналитическая в круге Кл — — (з б С: !з! < )1) и !3(з)! < М. Доказать, что Уз б Кл — — (з б С: !з! < Я) ((з)-У(О) ~ Мз — ((0)г(з) ~ ВМ М Функция Ь ~ (з(() = Д вЂ” (-' аналитическая в круге К = (( б С: !(! < 1) и !р(()! < 1.
Принимая во внимание общий вил автоморфизма единичного круга (формула (5), и. 1.3, гл. 3), устанавливаем, что функция ( Р(( — Р(0 Р(0) ( Р(( =, удовлетворяет условиям леммы Шварца и, таким образом, < К! при !('! < 1. 1 — о(О)у (() Полащя алесь ( = л и принимая во внимание, что )з ( — л) = гмг, получаем требуемое неравенство. М 16. Пусть у б А(К), К = (з б С: !з! < 1) и Чз б К !3(з)! < М. Доказать, что М!У'(О)! < М' - !У(О)!'.
м Функция з Р(з) = — ~1нтз~~-~ удовлетворяет условиям леммы шварца, следователььг2 Деки ) но, /Р'(0)! < 1. В равенстве М(У( ) - У(0)) Р( ) ~М -„,Д,,~ перейдем к пределу при г О. Получим: МУ'(О) = Р'(О)(М' — !У(О)!'). Отсюда, принимая во внимание неравенство !Р'(0)! < 1, получим доказываемое неравенство.
и 17. Доказать, что если Я(з) — многочлен степени и и при з = * б (-1, Ц выполняется неравенство !я(г(я)! < М, то Уз б К = (з б С - '!з! < 1) !Г3(з)! < М(1+ Л) м пуси Р(з) = Щз), е — эллипс с полуосями а = ъг2, ь = 1 и фокусами м. тогда (см. задачу 13) чз б Е выполняется неравенспю ! (з)!<М(1+ /3)"". Применив лемму Шварца к функции а ~-~ —; — а) — зт, получим оценку ьч М($М2> !Р(.Н = !.Е( )! < М(1+ 3)""!.!. 308 Гл. 8. Некоторые общие вопросы геометрической теория аналитических фунюаий ф 4. Принцип компактности. Функционалы на семействах аналитических функций 4.1.
Равномерно ограниченные и равностепенно непрерывные семейства функций. С равномерной непрерывностью функции г свяжем новое понятие — равностепенную непрерывность семейства. Это понятие появляется в результате следующих рассуждений. пгуггкцию у: С вЂ” ~ С можно одновременно рассматривать и как функцию Г": ц С, если г считать г = х + гУ = (х, У). ПУсть Я = ВП Яг, Яг — пеРваЯ и втоРаа пРоекцни множества Я, а Яг(х), Яг(у) — его сечения посредством х и у (см. п.1.7, гл.1).
Поставим в соответствие функции 2 два семейства функций из $'. в С: (Л, *) ал (У2, у)углг где ))л. = Я,(х), И„, = Яг(у), ггг, (у) = гг(х у) ггуб Я~(х), ггг,„(х) = гг(х, у) Ух б Яг(у). ([) Обычно говорят, что фуггкция уг получается из г фиксированием первой переменной х, а функция у㠄— фиксированием второй переменной у. Из определений следует, что если функция у: С С равномерно непрерывная, то все функции семейств (у, .) ело (гг „)хелг равномерно непрерывные. Это свойство проще бюрмулируют следующим образом: равномерная непрерывность функции по совокупности переменных влечет за собой равномерную непрерывность по каждой из них в отдельности.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
