А.К. Боярчук - Функции комплексного переменного - теория и практика (1118159), страница 72
Текст из файла (страница 72)
С помощью теоремы Руше очень просто доказывается основная теорема алгебры: Основная теорема алгебры. Любойл5ногоюен сменено и Р„(г) = аог" +а,г" '+ ... -»а„,к+ а„ ичеет в кол5нлексной нлоскости ровно и нулей. М Полагаем Р„(г) = 93(г) -» р(г), где )5(г) = аег". Многочлен )5 имеет в комплексной плос- костИ Ровно и нулей, т. к. г = О является нулем и-го порядка функции )5, а ПРн подсчете числа нулей каждый из них засчитывается столько раз, какова его кратность. В качестве области Р возьмем кр)т Кн — — (г б С: ф < Л), а Л выберем настолько большим, чтобы 3(г Е Рк„выполнялось неравенство 1р(г)~ > 1р(г)), где гр(г) = аг" ' + ... + а„,г+ а„. Для этого достаточно взять Я = 1-» |а3~ + )аз) + ... -» (а„(. тогда по теореме Руше число нулей функций 55 и Р в круге Кя одинаково, т.е.
многочлен Р имеет и нулей. р Рассмотрим задачи. 1. Определить число нулей многочлена Р(г) = г' — 12г'+ 14: а) в кольце )г3 = (г Е С ) 1 < )4 < —,' ); б) в кольце Уг = (г Е С ! 1 < ~г ~ ( 2); в) в правой полуплоскости Р = (г Е С ~ кег > О). м а) Пусть Р(г) = )5(г) + 5р(г), (о(г) = г, 5р(г) = — 12г + 14. При ~4 = 1 имеем 3125 21 )(о(г)~ = = 97 †, Щг)) ( ! — 12г 1 -» !4 = 89, 32 32' т.е.
/55(г)! > (5й(г)(. По теорелзе Руше все пять нулей многочлена Р лежат в круге Кзы —— ( г Е С: ~г) < — ). Определим, сколько из них имеют модуль меньший единицы. С этой целью 53 полагаем Р(г) =- 955(г)+ 383(г), 155(г) = 14, 93(г) = г — 12 При 1г1 = 1 ~)55(г)~ = 14, ~(53(г)/ ( 13, слеловательно, по теореме Руше в круге К = (г б С: 1г~ < 1) нулей многочлена Р нет.
Таким образом, все пять нулей многочлена Р размещены в кольце 1',. б) Пусть Р(г) = 953(г)+ гйз(г), 953(г) = -12гз, (йз(г) = г + 14. и!. Прницвв аргумента. Теорема Руше 299 При ~4=2 !(Оз(г)~ = 48, )Фз(г)~ < |г ! Е 14 = 46. По теореме Руше число нулей многочлена Р в круге Кз — — (г Е С: !г( < 2), следовательно и в кольце гз равно двум, т. е. столько, сколько их у функции узз. в) Из неравенства Р(зу) = гд + 12у + 14 следует, что многочлен Р не имеет нулей на З 2 мнимой оси, поскольку действительная и мнимая части Р(зу) не обращаются одновременно в нуль.
Применив принцип аргумента к полукругу К = (г Е С: ф < Яз Ке г > 0), получаем, что число Ж нулей многочлена Р в правой полуплоскости определяется равенством 1 1)Г = — йт згзгЗн, —.и! асаР(г1+ згн агйР(г))), 2хн гле Гн = (Ун Тно), тл = 4,2 Е С ( г = Яе', — 2 < 1 < <— ) . При бояьших Я > 0 имеем 3! и,-*я! агу Р(г) = 23 шн,-и!(зуз+ 12у + 14) = у у а зг — 21~о!и Озагс!8 -!.
2 оо!О,-и!агезй = -- — — -1- 0(44 ') = — ЗГ.1- 0(42 '), 12уз + 14 " ' 12уз + 14 2 2 ) 11 — 122~'З 2хг„агйР(г) = 23г„агйг + Ьга ~ 1+ — з ) = 5а т0(П ). Таким образом 1 ззг = — (-зг+ 5а') = 2. и 2х 2. В каких квадрантах находятся корни уравнения го+ г' 442 + 2-+ 3 = 03 а Очевидно, что уравнение не имеет неотрицательных корней. Покажем, что оно не имеет отрицательных корней. Действительно, полагая г = — х, получим уравнение х — х +4х — 2х+3=0. З 2 При 0 < х < 1 сумма первых трех членов, а также сумма двух последних членов ззоломсительны. При х > 1 сумма первых двух членов, а также сумма трех последних членов положительны.
Следовательно, зух>0 х — х +4х — 2х+3>0. 4 3 2 Подставим в уравнение г = гу. Тогда оно примет вид у — зу — 4у + 2зу + 3 = О. Действительная и мнимая части этого уравнения не обращаются одновременно в нуль, в силу чего исследуемое уравнение не имеет и чисто мнимых корней. Число его корней, размещенных в первом квадранте, определяется равенством )З' = — !!Ш ! 44 Е!О Н! агй(х + х 4-4х 4 2х+ 3) + зуго!н,о! агй(у — зу — 4у + 2зу 4 3) 4- 2а. н-. + Ь, „,,4 агй(г + г + 42 + 2г+ 3)). О<4<а Имеем з!ь о!О я!агу(х + х +4х + 2х+ 3) = О, з -у -1-2у 3 зьоо!и о!агй(д — 4д + 3 е з(-у + 2у)) = 43оозноз агсгй д4 4дз+ 3' Числитель дроби под знаком арктангенса обращается в нуль при д = зГ2 и у = О, а ее знаменатель — прн у = з/3 и у = 1.
Изменение этой лроби при изменении у от !х до 0 можно охарактеризовать следующей таблицей: 300 Гл. 8. Некоторые обшие вопросы геометрической теории аналитических функций с помошью которой легко заметить, что г1„шя,ь!агй[У вЂ” 4у -1-34г( — у'+2у)) = — 2л40(Я ). Далее, 3 2 з 44з" +2л43 з з 1 с) ньо агй(з 4 з 44з + 2з 4 3) = га, н,н агя 1+ = 2л+ 0(К ) В результате получаем ! )у = — (Π— 2а +2л) = О, 2зг т. е. Рассматриваемое уравнение не имеет корней в первом квадранте.
Поскояьку корни уравнения распадаются на пары сопряженных, то корней нет и в четвертом квадранте, а во втором и в третьем имеем их по два. ~ 3. Пусть 2 б А(К), где К = (з б С: [з[ < 1). Доказать сушествование такого числа р > О, по для всех т из кроа К, = (т б х.: ~т~ < р) уравнение з = ш[(з) имеет в круге К ровно один корень. ~ Запишем уравнение в виде ф(з) ч- ф(л) = О, где (о(з) = л, ф(з) = — цгу(з).
При ~з[ = 1 8р(з)~ = 1, 1тйз)[ < ~ш~М, тле М = шах ~~(з)[. При [т! < — ' выполняются условия теоремы руше. М 4. Доказать, что уравнение (2з +!)е' = 2з + 3 не имеет решений с положительной действительной частью. м Запишем уравнение в виле 2зч-3 (о(з) ч- гР(л) = — — е = О. 2з +! В полуплоскости Р, = [з б х. [Вез > — 1) выполняется неравенство [)з(з)! = ! — ,'*"з( > 1, а в полуплоскостн Р, = [з б ч. ! Вес > 0) — неравенство [ф(з)[ = [ — е *~ = е < 1. Таким образом, на границе полукруга Кя — — [з б С: [л[ < )2, Вез > О) )р(с)! > [ф(з)) ч)2 > О. М ф2. Сохранение области и локальное обращение аналитической функции 2.1. Принцип сохранения области. Теорема К Если функция 2 аналитическая е области Р и не раева тождестеенно настоянной, то образ области Р нри отображении !' также есть область. Ы Пусть Р— Р*.
Покажем, что Р* — связное открытое множество. У на 1) Пусть ю, и шз — лве любые точки множества Р', з, — один из прообразов гоп зз— один из прообразов юз при ятображении [: у(с,) = гем У(зз) = юз, с, б Р, с, б Р. В силу связности Р сушествует жорданова кривая .Г, соединяюшая точки л, и лз, лежащая в Р пусть [о, !)[ - т — паРаметрическое представление кривой у. тогда 'г! б [а, щ (о(!) б Р на и ф(а) = зм ф())) = зз.
Так как функция У непрерывная, то композиция ф = Г ь(о, Ре = [а, ()[, б 2. Сохранение области и локальное обращение анжантической функции 301 является параметрическим представлением непрерывной кривой у* С Р', соединяющей точки ф(о) = (У а р) (а) = У(х,) = ш, и ф(Д) = (1 а Ьа) (!)) = ) (зз) = гиз. Следовательно, множество Р" является линейно-связным, так как любые две его точки можно соединить путем, состоящим из точек Р'. 2) Покажем, что В* — открытое множество.
Пусть ша Е В' — любая точка и за — один из ее прообразов: Р(ха) = ша. Так как  — открытое множество, то существует окрестность 0„(за) = (з Е С: !з — за! < г) С Р. Выберем г настолько малым, чтобы в замыкании 0„(за) не содержалось ша-точек функции Г (кроме точки ха). Очевидно, такой круг существует, поскодьку у аналитической функции Г й сопя! ее та-точки изолированы.
Пусть ! = (з Е С: ~х — за~ = г) и р = гпщ|Т(з) — ша~. Очевидно, р > О (т. к. в противном случае, т. е. при р = О непрерывная ят функция з !з(з) — ша!, постигающая на замкнутом множестве своего наименьшего значения, обратилась бы в нуль в некоторой точке з' 6 у„, а зто означало бы, что на кривой э„есть ша-точка функции Р, что противоречит выбору у,).
Теперь покажем, что Ки — — (шЕ С:!ш — ша~ < р) С.У . Действительно, пусть ш, Šʄ— любая точка. Имеем Х(з) ш~ = (Из) ша) Е (ша '"1)~ причем У(з) — гиа~ ~> р на кривой у,, а /ш1 — ша~ < р. По теореме Руше фу!акция з а Т(з) — ш~ имев~ внутри у, столько же нулей, сколько их имеет функция ° Р(з) — и н Последняя имеет в окрестности 0,(за) по меньшей мере хотя бы один нуль, следовательно, функция г Р(х) — ш, также имеет в этой окрестности по крайней мере один нуль, т.е.
существует такая точка з~ Е 0 (за), что )(з~) = ты откуда следует, что ш, Е Р". В силу произвольности выбора ш, Е К„делаем вывод, что Ки С В, т. е. В* — открьггое множество. Из 1) и 2) следует, что В" — область, !ь Замечание !. Непрерывные отображения, оставаяюшне инвариантными открытые множества, называются атирытыии отображениями. Ясно. что любое открытое отображение осгавдяет иивариантными также н области. Следовательно, отображения, осуществляемые анатитическими функциями, являются открытыми. Замечание 2. Открытое отображение А В называется аиутреинии, если для любой точки Ь Е В миоже/ иа ство у '(Ь) ее прообразов (у '(Ы С А) ие содержит никакого континуума. Очевидно, что отображения, осушествляемые аналитическими функциями, являются внутренними, так как УЬ Е В множество У (И состоит лишь из изолированных точек. 2.2.
Локальное обращение аналитических функций. Пусть ш = Р(з) — аналитическая функция в точке за. Рассмотрим два возможных случая. а) Пусть У'(ха) Ф О и у(за) = юа Так же, как и в теореме о сохранении области, выберем круг 0„(за), компактно принадлежшций окрестности аналитичности функции У и не содержащий других ша-точек функции Р, кроме центра за. Пусть, далее, Л = пйп!У(з) — ша), *ат у„= (а б С: !з — ха~ = г), р > О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
