А.К. Боярчук - Функции комплексного переменного - теория и практика (1118159), страница 76
Текст из файла (страница 76)
По теореме Вейерштрасса уо б А(Р). Пусть К = у = (г б С !г — а! = г) С Р. $4. Принцип компактности. Функционалы иа семействах аналитических фуикций 311 Тогла Уе > О Зи, б )г): У(и > и„з б .У,) (Т„(х) — То(х)~ < е. ПРименим неРавенство Коши длЯ коэффициентов степенного ряда (см, формулу (б), п. 1.7, гл. 5): ~1(Т.)-1(Л)1-~1(Т. То)! < „ Это и означает непрерывность функционала 1.
Определение 3. Компактное мнахгестео функций ОЛ назыааетсл компактным в себе, если предел лкюой последовательности ( 1„) функций из 9Л, равномерно сходящейся на любом компакте К Сч Р, принадлеокит множеству ОЛ. Таким образом, множество 9Л функций 1: С С называется компактным в себе, если из любой последовательности (1„) функций из 9Л можно выделить подпоследовательность (1„,), равномерно схоляшуюся на любом компакте К Сч Р к некоторой функции из гг). Примером компактного в себе множества функций является множество аналитических в области Р функций, равномерно ограниченных в Р. Теорема. Если функционал 1 непрерывный на компактном а себе множестве 9Л функций 1: С С, то ега модуль )((Я~ достигает своей точной верхней грани, т. е. существует такая функция уо б 9Л, что УТ б 9Л )1(Т)! < )1(То)!.
М Пусть а = зпр )1(Т)(, (е„) — бесконечно малая послеловательность положительных чисел. ге ел По свойству точной верхней грани чи ч Я 31„й 9Л: — „<жТ.и<а, откуда 1пп ~1(Т„)~ = а. Таким образом, существует последовательность (1„) функций из множества 9Л: 1пп Щ„)) = а. Поскольку множество 9Л компактное в себе, то существует подпоследовательность (Т„о), равномерно схоляшаяся на любом множестве К Се Р к некоторой функции Го б Й). В силу непрерывности функционала 1, 1ггп )1(Т„о)( = (1(То)! = а.
Отсюда следует, что а < со и г(Т б аг) ь- 11(У)~ < ~1(То)~ ° м 4.4. Теорема Гурвица. Следующее утверждение принадлежит А. Гурвицу (! 859 — 1919). Теорема (Гурвица). Лусть последовательность (1„) функций, аналитических в области Р, РавнамеРно сходитсЯ к фУнкЦиц 1 й сопзГ ки любом компакте К Сч .Р.
Тогда, есги 1(хо) = О, хо б Р, то в любам круге К„= (х б С; 1з — хо! < г) С Р асе функции 1„, начиная с некоторой, также абращаюгпся в куль. м По теореме Вейершграсса 1 б А(Р). Так как 1 й О, то существует проколотая окрестность точки го Ор(хо) = (х б С ( О < )х — хо~ < р) С Р, в которой 1 т- О (нули аналитических функций изолированы). Пусть р = гпгп|Г(х)), р > О, гле у = (х б С: ~х — хо~ = р). В силу того, что 1„~ У в Его области Р, сУшествУет и„бМ: У(и~ )ио, г бур) 11 (х) — 1(хП < Р н чх с То г = о +(г г). По теореме Руше число нулей у функций 1 и 1, вггутри Т„одинаково, но 1 имеет по меньшей мере один нуль, следовательно, все функции У„при и > и„также имеют нули внутри Т .
м Следствие. Если последовательность функций (1„), аналитических и адналистных в области Р, сходится равномерна на любом компакте К Се Р, то предельная функция либо однолигтна, либо постоянна. щ Пусть 1!ш 1„= 1 и 1 Л соим. Допустим, что существуют две различные точки з, б Р, хг б Р и 1(хг) = 1(хг). Рассмотрим последовательность функций (д„), где д„(г) = 1„(г) — 1„(хг) и круг К„= (х б С: )х — ег! < г), г < 1хг — хг~. Имеем )пп д„(х) = 1(х) — 1(зг) = д(х), д(х,) = О. Отсюла, согласно теореме Гурвица, получаем, что все функции д„, начиная с некоторой, также обрашаются в нуль в круге к„. Это противоречит свойству олнолистности функций Т„.
м 312 Гл. 8. Некоторые общие вопросы иометрнческой теории аналитических функций 55. Существование и единственность конформного отображения 5.1. Конформные нзоморфизмы и автоморфизмы. Конформное отображение Г области Р, на Рз назовем канформным изаморфизмам Р, на Вз, а области В| и Рз — канфармна-изоморфными. Конформцый изоморфизм области на себя называется канфармным аетаморфизмам. Совокупность автоморфизмов произвольной области Р образует группу, которая называется группой автамарфизмае этой области и обозначается символом Л(Р). В качестве групповой операции берут композицию ()зз о (с~)(з) = (сз(уо,(з)), единицей является тождественное отображение е: х з, а обратным элементом к уо является обратное отобрюкение з = чо '(т).
Замечание. Слово "конформный** в выражении *'конформный нзоыорфнзи (овтоиорфнзм)" часто булем ллл простоты опускать. го Теорема. Если Р, Хгз — какой-нибудь фиксираеанный изамарфизм, то санакунвкть всех на изоморфизмаа Р, на Вз анределяетсл формулой У =Р ° Уо, где оз — нраизеальный аетаморфизм облатки Рз. М 1) Очевидно, что тР О Л(Р,) композиция (о о Хо лвляется изоморфнзмом Х), на Р,. 2) Пусть Х вЂ” любой изоморфизм Р, на Р,.
Рассмотрим композицию (с = Хо Хо '. Очевидно, что (о О Л(Рз), Т = уоо То 5.2. Примеры автоморфнзмов. 1) Р = С. Пусть )о — любой автоморфизм С. Тогда существует единственная точка х, О С, такая, что )о(зо) = со. Поэтому функция л уо(з), аналитическая на множестве С 1 (зо), в точке зо имеет полюс первого порядка (полюса выше первого порядка не может быть, поскольку функция уо дояжна быть однолнстгюй). Поэтому по теореме Лиувилля имеем А чо(з) = + В.
х — хо при зо ,—~ со и ы(з) = Аг + В при зо = со. Таким образом, совокупность всех дробно-линейных отображений образует группу автоморфизмов С. 2) Р = С. Рассу:каая аналогично, получим, что группу Л(С) образует все множество целых линейных функций (с(з) = Аз + В. 3) Р = Ь = (з б С: ~з ~ < 1) . Пусть уо — произвольный автоморфизм единичного круьа К и пусть (о(0) = то. Построим дробно-линейный автоморфизм Л круга К: т — то Л(т) =, Л(то) = О. 1 — тот Рассмотрим композицию Х = Л о уо.
Очевидно, !Х(з)! < 1 )гз б К, У(О) = О. Следовательно, )г удовлетворяет условиям леммы Шварца и ЗГз б К 1У(зИ < )4. (1) Рассмотрим обратное отображение Х '(и) = х. Огю также удовлетворяет условиям леммы Шварца и, таким образом, ) Х '(т)) < /т/, или )х) ()Т(з)) 'оз б К. (2) Из (1) и (2) получаем равенство /Т(з)) = )з/, т.
е. Х(з) = еь» з — простейшая линейная функция, а ы = Л ' о У вЂ” дробно-линейная функция. Следовательно, любой автоморфизм круга К является дробно-линейным и, таким образом, имеет вил (формула (3), п.!.3, гл. 3): з — о дт т=еь», )о(<1, обХХ, отагз— 1 — аз' дз 313 $5. Существование н единственность конформного отображения Получили, что автоморфизм единичного круга К зависит от трех лействительных параметров: двух координат точки а и а. Покажем теперь, по, подбирая эти параметры, можно найти олин и только олин автоморфизм Л б й(К), удовлетворяющий следующим условиям нормировки: Л(а) = Ь, ыКЛ'(а) = а, (3) где о и Ь вЂ” любые фиксированные точки из К, а а — любое действительное число.
Действительно, построим два автоморфизма круга К с — о в — Ь (ой()=е", (= (»= 1 — са' 1 — Ьв и рассмотрим автоморфизм Л = и о р. Имеем Л(а) = Ь, Л'(с) = —,, агК Л'(а) = агК р'(а) — агК и'(Ь) = а — 0 = а. и'(()' Таким образом, мы построили автоморфизм единичного круга Л = и о н, удовлетворяющего — 1 условиям (3). Рассмотрим композицию Т' = и о Л, о р где Л, — другой автоморфизм круга К, удовлетворяющий тем же условиям. Очевидно, у(0) = О, агК у (0) = агзи'(Ь) + агКЛ~(а) — агзр~(а) = 0 е а — а = О. Следовательно, Л,(0) = О, агКЛ~,(0) = 0 и по лемме Шварца Т = е — тождественное отображение, т. е. е = и о Ла о р ~ Л1 = и о р = Л.
У(со) = во, агКУ'(со) = В, (1) где зо б Р„во б Ра — нроизвольныс точки, В б Ж вЂ” произвольное число. < Пусть Т), — К, Р, К. Тогда отображение уо — — уа о у, явяяется конформным изод /2 на на морфизмом Р, на Р,. По теореме п. 5.1 совокупность всех отображений Р, на Ра определяется формулой 1 Ч о Уо где (о — произвольный автоморфизм области Ра.
Поскольку группа й(Ра) автоморфизмов области Ра зависит от трех действительных параметров, то и совокупность конформных отображений В1 на Рз также зависит от трех действительных параметров. Таким образом, первая часть теоремы доказана. Пусть Л(зо) = а, агКЯхо) = Вн Уа(во) = Ь, агКУа(во) = В„ а Л вЂ” анюморфизм единичного круга К с нормировкой Л(а) = Ь, агв Л'(а) = В+ Ва — В„ (такой автоморфизм, как мы уже знаем, определяется единственным образом). Рассмотрим следующий изоморфизм Р, на Р,: у = у;"л.у,, (2) (3) 5.3. Существование и единственность изаморфизмов областей, нзоморфных единичному кругу. Отметим следующее: поскольку группа автоморфизмов единичного круга зависит от трех дей- ствительных параметров, то н группа аатоморфизмоа любой области Р, нзоморфной единичному кругу, также зависит от трех действительных параметров.
Следующая теорема устанавливает существование и единственность изоморфизмов областей, изоморфных единичному кругу. Теорема. Если области Р~ и Ра иэоморфны единичному кругу К, то совокупность изомор- физмов Р, на Ра зависит от трех дсйствительньах нарометров. В частности, существует одно и г только одно отображение Р~ Ра, нормированное условиями на 3 14 Гл. 3.
Некоторме общие вопросы геометрической теории аналитических фуикпнй Имеем У(зо) = мо~ агйу(зо) = — ыйуз(по)+агйл(а)+ агйу~(зо) = -Вз+ В+ Вз — В~ +В, = В, Таким образом, доказано, что существует изоморфизм Р, на Р,, удовлетворяющий условиям нормировки (1). Теперь докажем единственность такого изоморфизма. Пусть существует изоморфизм В| — ~ Рю удовяетворяюший условиям (!). Тогда на Р = г е д Е Л(Рз), Эг(па) = по, агйЭз'(шо) = агйу (зе) — агйд'(ле) = О.
Рассмотрим автоморфизм единичного круга К р = Уз е ы е у . Имеем -1 р(Ы= Ь, агйр (Ь) = агйр'(по)+агЛУз(юо) — агйУг(що) = О. Отсюда следует, что р = е и, следовательно, ю = е, т.е. у од ' = е, нли д = Т, м 5.4. Теорема существования. Теперь естественно возникает вопрос: какие области конформно изоморфные единичному кругу, а значит и конформно изоморфны друг другу? Ответ на посташгенный вопрос содержится в следующей теореме. Теорема (Римана) . Любая односаязиил область, гранича которой содержит белее одной точь ки, конформио изоморфиа единичному кругу К = (з Е С: )з) < 1) .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
