А.К. Боярчук - Функции комплексного переменного - теория и практика (1118159), страница 77
Текст из файла (страница 77)
Замечание 1. Ограничение, наложенное на гранину области, существенное. Расширенную коыгпексную плоскость нельзя конфорыно отобразить на круг, плоскость С даже не гомеоыорфна кругу К (сфера не гоыеоыорфна кругу). Если взять 'С с выколотой точкой, то можно дробно-линейно отобразить ее на С, но С отобразить конформно на круг К нельзя. Действительно, если бы отображающая функиня существовала, то она была бы иглой и ограниченной по модулю еднниней, а гакая функаня по теореме Лнувнлля тождественно равна постоянной.
Замечание 2. Если граница олносвязной области содержиг более одной точки, то она обязательно будет содержать бесконечное множество точек, поскольку она связная. М 1) Покажем, что в области В существует по крайней мере одна аналитическая однолистная функция, ограниченная по модулю единицей. Пусть а Е ВР, Ь Е дР и а ф Ь. Рассмотрим полную аналитическую функцию з ~-~ ы(з) = ф=', допускающую выделение в области Р двух однозначных ветвей л ~ (з~(з) и з ~ (зз(з), так как тз Е В ='„~ ( е . В каждой точке з Е В их значения отличаются знаком. Покажем, что кажлая из этих функций однолистна в В. Допустим, что это не так.
Пусть Рь(з,) = ыь(зз) (Ь = 1, 2). Тогда Эзь(з,) = р~ь(зт), что эквивалентно равенству з| — а зз — а (1) з~ — Ь лг — Ь Отсюда, в силу однолистности дробно-линейной функции, получаем равенство зз — — зы ю Фг Пусть Р— ~ Вы В л Вз. Покажем, что Р, н Рт не имеют общих точек. Предполона ' на жим, что Р, и Р, имеют общие точки. Это означает, что в Р имеется пара точек л, и лз, для которых (л~(л~) = грз(зз). Из этого равенства следует (1), а из (1) — равенство зз = зп т.е. РПз,) = узз(лг). Принимая во внимание, что (е,(лг) = -Эзз(л,), получаем равенства (ль(з,) = О (Ь = 1, 2), которые невозможны, т.
к, тз Е Р (лл(з) ф О. Пусть круг Кл = (щ Е С: )ш — ше! < р) С Рз такой, что функция (е, не принимает значений в этом круге, т.е. Уз Е Вг ~(л,(з) — пе) > р. Поэтому функция л ь-~ д(з) = — (л — —, очевидно, аналитическая и однолистная в Р и Чз Е Р ~д(з)) < 1. 2) Пусть 99 — множество всех аналитических и однолистных в области Р функций, ограниченных по модулю единицей. Оно непустое, поскольку д Е 9Л.
Согласно принципу компактности, это множество компактное в Р. Пусть а — некоторая фиксированная точка области Р. Обозначим через ОЛ, часть множества ОЛ, состоящую из всех функций у Е 9Л, для которых 12'(а)) > )д'(а)) > О (послелнее неравенство является следствием одиолистности функции д). Покажем, что множеспю Щ компактное в себе. Пусть последовательность (У„) функций б б. Соответствие границ н приввип симметрии прн ковформном отображение 315 из множества Щ равномерно сходится на любом компакте К а В и 1пп У„= уа, Поскольку уп б а( !У' (а)! > !д'(а)(, то !га(а)! ~ )!й'(а)!. Кроме того, согласно сяедствию из теоремы Гурвица, ЛИбо уа ы савы, либо Са однолисгна в Р.
Случай уа Ы СОПЫ исключается в связи с посЛедним неравенством. Следовательно, Уа б Щ . Рассмотрим на множестве функций Щ функционал 2(у) = у'(а). Поскольку он непрерывен на компактном в себе семействе функций Щ (см. $4), то его модуль достигает своей точной верхней грани, т. е, существует такая функция Ь б 93(п что 'Ф~ б Щ выполняется неравенство ! г (а)! ( (!Ь (а)!. Рассузкдая от противного, покюкем, что 6(а) = О. Действительно, при 6(а) ~ О функция 6(г) — 6(а) г1 Н(г)= бЩ 1 — Ь(а)6(з) !Н (а)! = > /Ь (а)/, !Ь'(а)! ! — !6(а)!з что противоречит экстремальному свойству функции Ь.
3) Покажем, что Р— а К. Допустим, что это не так. Пусть 6(г) не принимает в В некоторого на значения Ь б К. Поскольку 6(а) = О, то Ь Ф О. Очевидно, что функция Ь не принимает в В также 1 и значения Ь' = г, так как !Ь*! > 1. Тогда можно выделить в В однозначную ветвь Ь( —,'*Т'„—,. Обозначим ее через 4(г). Очевидно, функция 4(з), как и функция Ф(г) = 4(г) — 4(а) ! — 4(а)4(з) принадлежит множеству Ой. Непосредственным подсчетом находим: 4 (г) = Ь (з)(1 — /Ь! ), 4'(г)(1 — !4(а)! ) й (г) = 24(г)(! — ЬЬ(г)) (1 — 4(а)4(г)) Отсюда Ф'(а) = „= !Ф (а)! = 4'(а) Ь'(а) (1 — !Ь!'), )Ь'(а)! (1 + !Ь!) > !Ь (а)!.
1 — !4(а)!з 2~Ь(! — !Ь!)' 2 „4Ь! Следовательно, Ф б 9)(, и |ар'(а)! > !Ь'(а)!. Последнее неравенство противоречит экстремальному свойству функции Ь. и Следствие. Любие двс односвлзниг области, гриници которых содержат более чем но одной точке, кон4ормно изомор4ни друг другу. 5 6. Соответствие границ и принцип симметрии при конформном отображении б.!. Теорема о соответствии границ. В теореме Римана ничего не сказано о соответствии границ при конформном отобрюкении, о поведении отображающей функции на границе области.
Ответ на затронутые вопросы содержится в следующем утверждении. Теорема (Каратеолори). Если граници областей Р и Р' ягляются криоьони Жордана, то кон4ормног отоброжекис В В можно продолжить на границу области Р до гомеомор4изма У на замыканий Р и В . Доказательства теоремы здесь не приводим. Заметим только, что условия, налагаемые на границы областей, существенны. Можно показать на примерах, что утверждение теоремы становится неверным, котла границы областей не являются жордановыми. 316 Гл.
8. Некоторые общие вопросы геометрической теории аналитических функций Установлено также несколько более точных результатов о граничном поведении конформного отображения с жордановыми границами при дополнительных предположениях об этих кривых. Укажем два из них'Г. 1) Реву*атома Шварца. Если границы областей Р и Р' — аналитические жордаиовы кривые, ! то коиформное отображеиие Р В лродагжаетсл до аналитической фуккции в В.
ча 2) Резулыиат бииделефа. Если граиицы областей Р и Р' являются гладкими жордаиовыми кривыми, а Г осущестасяет коиформное отображение Р иа Р', то агв ~'(г) иродолисается до чепрерывиои функции в Р, причем ГГ( б дВ агврч(~) = д' — д, где д и д' — угаы поклона касателаяых к кривым дВ и дР' в точках ( и г(() соответственно. В случае конформного отображения областей, ограниченных кривыми Жордана, условия единственности отобрюкения можно определить по соответствию трех пар граничных точек. А именно, пусть а, Ь, с — три произвольные точки границы дР, а', Ь, с' — трн произвольные точки границы дР', которые устанавливают одинаковые направления их обходов относительно областей Р и Р .
Тогда существует такой изоморфизм  — В, для которого выполняются / иа условия у(а) = а, у(Ь) = Ь, у(с) = с . (1) д, й Действительно, пусть Р К, Р К, К = (г б С: !г( < 1). По теореме о соответствии иа па границ уг осуществляет гомеоморфизм замыканий Р и К, а уг — гомеоморфизм замыканий Р и К. Пусть гс!(а) = а, гсг(Ь) = )У, Гд(с) = 7, Тг(а ) = а, (г(Ь ) = (), гсг(с ) = 7 . Существует, и притом единственный, автоморфизм единичного круга К Л: К К, удовлетворяющий условиям Л(а) = а', Л(Д) = б', Л(.!) = 7'. Очевидно, что отображение У = уг ' е Л с ~, является конформным изоморфизмом В на Р', удовлепюряющим условиям (!).
Пусть теперь кроме Г существует еще изоморфизм В Р', иа удовлетворяющий условиям (1): й(Ь) = Ь, р(с) = с. й(а) = а, Очевидно, по 97 = г' с й ' является автоморфизмом области Р,, удовлетворяющим условиям: 'тт(а ) = а, 77(Ь') = Ь', гр(с ) = с. Рассмотрим следующий автоморфизм единичного круга К: И 72 97 72 удовлетворяющего условиям Р(а)=О, Р()3)ш)7', Д(7) = 7 и, таким образом„являющегося тождественным отобрахсением е. Из вида отобразкения д следует, что и р = е, т. е. й = г . 6.2.
Принцип снмметрна, Следующяя теорема устанавливает применение принципа симметрии Римана — Шварца аналитического продолжения функций к конформным отображениям. ГГ Читателя, иишрссрюшспмя псасясиисм ксифорашсто стобраисиия иа граииис обчисти, отсмаасм к книгам: Хцмгмсодари Х Коиасрмисс стсбрамсиис. — М.-да ГГГИ, Г 93аг Г у и Г.
М. Гссмстрич акая теорие Еуиагшя исмпясасисгс осГммсииогс, М.-Л., 1967. б б. Соответствие граыиц и приышш симметрии при коыформном отобрюкеыыи 317 конформио отображает область В, Ы 7! Г/ Р; иа область Вт Г/ 72 Г/ Р;. Предполагается, что В! 1! В! я3 В2 3! 'В2 Уас. 91 <ч Не ограничивая общности можем считать, что 7! и 12 — отрезки действительной оси, а Р, и Вт — области, лежащие в верхней полуплоскости (рис.9!). Этого всегда можно добиться с помощью дробно-линейного отображения. Пусть Р, — ! В,.
По теореме о соответствии / на границ функция / будет непрерывной в замыкании Р! и устанавливает гомеоморфизм Р, на Р2. При этом, в силу условий теоремы, / непрерывна на 7 и принимает на 7 действительные значения. Согласно принципу симметрии Римана — Шварца функция / аналитически продолжается в Р; по закону /(*) = /(г), а это и означает, что продоюкенная функция конформно отобрюкает В, 13 -/, О Р; на В2 23 72 и В;.
В Рассмотрим задачи. 18. Построить конформное отображение области В, Рас. 92 представляющей собой внешность единичного круга с разрезами по отрезкам тя = (е Е С~ 1 < (е! < а, агпз = — '"„) (й = О, и — !) (рис.92) на внешность единичного круга. <ч Согласно принципу симметрии, задача сводится к построению конформного отображения области П! = (2 Е С~ 1 < !с! < оо, О < агйг < — '" ) (Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
