А.К. Боярчук - Функции комплексного переменного - теория и практика (1118159), страница 80
Текст из файла (страница 80)
Рес. ню 20. Отобразить верхнюю полуплоскосзь С+ — — (» б С ~ 1пг» ) О> на ромб в ш-плоскости с углом хи при вершине А и стороной г( (рис. 100). Соответствие точек задано схемой гв (А = О, В ы г(, С = г((! + ег "), В = нег"") -г»(0, 1, со, -1). Обосновать возможность такого отображения. ° 4 Пусть функция гв = у(») осугцестшшет конформное отображение первого квадранта на треугольник АВС. При атом 1(0) = А, у(1) = В, 1(со) = С.
57. Конформное отобракеине многоугольников. Интеграл Кристоффеля — Шварца 329 Согласно свойству соответствия границ, прообразом стороны АС будет мнимая полуось х = гр (у > 0). По принципу симметрии функция / аналитически продолжается на всю верхнюю полуплоскосгь и это продолжение осуществляет конформное отображение верхней полуплоскости на ромб. При этом /( — 1) = Р. По формуле (3), п. 7.1, имеем в=с/С" (1 — Ь ) "а'(. Постоянную с находим из условия с /(1) ~ + (1 () А( Р(,1 а), о откуда с =, .
Окончательно получаем: в(я,з- ) ' !' 21. Найти конформное отображение верхней полуплоскости 6, = (х Е С [ 1гпх > О) на область, содержащую первый квадрант, граница которой состоит из полупрямых 7, = (в Е С [ Кев ( О, !гпв = Ц, 7, = (в Е С [ Кев > О, !шв = -1), а также из отрезка [-з, г[ Соответствие точек задано схемой в(г, — з, сс) — ! а( — 1 1! со). и Согласно формуле (3), п.7.1, при а, = -1, аз — — 1, аз —— со, а! = —, а, = — имеем 3 ! ! //1+(Х, з = /(х) = С, 7 [ — [ А( + Сп l ~1-д ! ! / /1.!.»гзз 2 2! в(П=С = — ', в( — 1)=!=С!/! ~ — ~ !(( — 1= — Сзя — г, Сз=- —, l [ -(,) зг ! 2! //1+(~з 2! г г —; в = /(г) = — — з( 1 ) А( — ! = — (Х/1 — г' — асса[па) .
1» ту 11 — () т ~~ ! 22. Найти конформное отображение верхней полуплоскости б» = (х Е С [!шх > 0) на верхнюю полуплоскость Р» = (в Е С [ 1шв > О) с разрезом вдоль луча 7 = (в б С [ Кев < О, 1шв = зг). М Область в плоскости в является треугольником с двумя вершинами А!, Аз на бесконечности (рис. 101) и углами: а,зг, аззг, аззг, где а, =О, аз=2, аз= 1 Полагаем а, = О, аз = — 1, аз = со, По формуле Кристоффеля — Шварца получаем: =/( ) =С, / < '(1+0)й(+и=С,( +1+0! — Ы)+ ' . 330 Гл.
8. Некоторые общие вопросы нометрической теории аналитических функций уае гог Зля определения С, воспользуемся тем, что при обходе точкой г полуокружности Т„ = (х Е С: !х( = г, 0 < ага г < л) по часовой стрелке фуггкпия в, определенная равенством (1), получает приращение -)лС, в О(г). С другой стороны, при этом обходе соответствующая точка в переходит с луча А~Аз на луч А,Аз. Следовательно, приращение функции гьв мачо отличается от -гл. Таким образом, С, = 1. Окончательно имеем в = 1'(а) = а Ч-1 Ч- )па. и 23. Найти конформное отображение верхней полуплоскости 6 = (х б С ~ 1т г > 0) на в— плоскость с разрезами вдоль лучей Т, = (в б С ! Кев < О, )щв = -л) и Тг = (в Е С ! Кев < О, 1гп в = гг) (рис.
102), при котором точки г = Т! переходят соответственно в точки в = ллй гв, гоз М Введем в рассмотрение вспомогательную ('-гщоскость. Функция в = уг(() = (+! +!и( отображает верхнюю полуплоскость плоскосгн ( На ВЕРХнюю полОвиНу Области в и-плоскости (см. предыдущую задачу). При этом действительная пололпительная полуось 1 = (( Е С ! Ке( > О, 1т( = 0) переходит в действительную ось в-плоскости. По принципу симметрии функция ( г уг(С) аналитически продолжается через эту полуось в нижнюю полуплоскость и это продолжение конформно отображает (-плоскость с разрезом по отрицательной действительной полуоси на всю заданную в в-плоскости область. Отобразив ('-плоскость на верхнюю полуплоскость 6, окончательно получим.
в = -а + 1+ 21пг — гл. В 2 24. Найти образ верхней полуплоскости 6, = (х Е С ~ 1щ х > 0) при отобралгении Найти расстояние между параллельными полупрямыми для каждой из пар, составляющих границу области. м По виду функции г' заключаем, что искомая область является четырехугольником с лвумя вершинами на бесконечности: аг = О, а~ — — О, А~ = оо; аз — — а, аз — †-', Аг = 0; аз = Ь, из = О, Аз — — оо; а4 = со, а, = †,, Аг — тРебуется найти. б7. Кввформное отобравгение миогоугольиюгов.
Интеграл Кристоффеля — Шварца 331 г .газ Исследуем поведение производной 7'(г) на интервале (а„аз). Имеем 1 У(х) =, ~(з) < 0 згх й(аз, оз), з(з — Ь) ъ'л — о' Г А( гага = — / + О(г) = — — + О(г), / (ЬьгаС Ьх/а г,. Г„= (7„, 7'"). Следовательно, Ь, = ф-, Аналогично находим Ьн определяя приращение функции га при обходе точкой г полуокружности с центром в точке Ь; "'- Ь,/Ь-. При Ь = 2а, 6~ — — Лз. м 25. Найти конформное отображение круга К = (х Е С (х( < 1) на внутренность п-конечной звезды — 2п-угольника, стороны которого, а также углы (через один), равны.
° Пусть тупой угол звезды равен я(1+ А), тогда ее острый угол равен а. (1 — Л вЂ” т ) . Используя принцип симметрии, считаем, что прообразы вершин острых углов являются корнями и-й степени из единицы, а прообразы вершин тупых углов — корнями и-й степени из — 1. По формуле Кристоффеля — Шварца получаем: м=У()=С~),, 0<Л<1 — —. Г (!+ С")х ДС 2 (1 С-)" о Принимая во внииа~ ие, что 2(1) = Ам находим С. М 26.
Найти вид функции, осуществляющей конформное отображение внешности единичного круга на внешность произвольного и-угольника с внешними углами аья. м Требуемую функцию получим с помощью формулы (5), п. 7.6, заменой х = —,', отобралгаюшей единичный круг на его внешность: ш = У ~-) = С~ / ~~(( — еь) ' —, + Оз. а т.е. ага У'(г) = я и образом интервала (оп а,) является отрицательная действительная полуось. Принимая во внимание, что ог = -,', образом интервала (а„а,) будет отрицательная мнимая полуось. Теперь очевидно, что вершина А4 принадлежит третьему квадранту, а сама область имеет внд, изображенный на рис.
103. Чтобы найти Км рассмотрим приращение функции 21гс при обходе точкой г полуокружности 7 =(хЕС~х=ге*", 0<зг<я) 332 Гл. 8. Некоторые общие вопросы помегрвчеожой теорвв аналитических функций Заменив переменную интегрирования, полагая Г = — ' и приняв во внимание равенство гг по = и+2, Е ью преобразуем полученную формулу к виду г тт, ь го(Гг го = гг(г,) = С, ~ П((г — аь) ' — + Сг. М 0 *о 27.
Найти конформное отображение внешности круга К К' = (г Е С: 1г~ > 1) на внешнюю г (ь-и часть правильного и-угольника с вершинами в точках Аь —— е' » (6 = 1, и), которые остаются неподвижными при этом отображении. м Отображающая функция определяется формулой (1) предыдущей задачи прн аь —— 1+ -„, аь = А„, С,' = 1, х, = 1, а С,' определяется из равенства А, = уг(Аг): г ' е» вЂ” 1 е 2гз(л д пяп -" С!— гы .)' ((" - 1) = Я г 2 2 / (яп (о) г((о о г ' ) е-"(е*- — 1)к АВ о Упрагкнения дяя самостоятельной работы 1. Доказать, что при Л > 1 уравнение ге" * = 1 имеет в круге К = (г Е С: ~г~ < 1) лишь один и притом действительный корень, 2. Сколько корней имеет а круге К = (г Е С: 1г~ < 1) уравнение е — 4з" +1 = 0 (и Е К)? 3. Доказать, что уравнение е* = аг" (и Е?() при а > е имеет а круге К = (з Е С: 1г( < 1) и корней.
4. Сколько корней имеет в круге К = (з Е С: ф < 1) уравнение +аог +а,г+аг = О, г имеет в круге К = (х Е С: ~х! < 2) и корней. 8. Разложить в ряд по степеням ю функцию г = д(ю), определенную уравнением ю = е *(е* — 1), а Е?Ч и условием д(0) = О. Найти радиус В сходимости полученного степенного ряаа.
9. Доказать, что внутри области„ограниченной линией уровня модуля функции 7' (т. е, линией, во всех точках которой 12(х)) = сопзг) и компанию принадлежащей области аналитичности у, найдется хотя бы один нуль этой функции (/ й сопя). 18. Доказать, что когда Р(х) — многочлен степени и и 1Р(х)~ < М ча Е К = (з Е С: 1х~ < 1), тог(е бК' =(е Е С: )4 >1) (Р(х)) » (МЦ". 11. Пусть Р(з) — многочлен степени п„Ег, Вг — два софокусных эллипса с полуосями а„6, и ог, Ь, (а, < аг, Ьг < Ь,) и птсть, палее, М, = игах 1Р(з)(, М, = шах)Р(х)1.
Доказать, что *елг *ело мг > мг ггч+ь,г" ' мгьь,г" ' если ~ао) > 1аг~ + )аг) + 1 (и Е И)? 5. Доказать, что уравнение го + аг+ Ь = 0 (а > О, 6 > 0) имеет в первом квадранте один и только один корень, и его аргумент больше —,. й. Доказать, что уравнение (г — 1)е* = г — 2 не имеет решений с отрицательной действительной частью. 7. Доказать, что уравнение Р(г) = Ь, где Р(г) = П -„Яь;, ~аь~ < 2 ой = 1, и и 1Ь! < 2 ьщ Упражнения лая саектоятельиой работм 333 12. Пусть функция у аналитическая в круге Кп — — (х б С: ~х~ < В), уловлетворяет при )4 = В неравенству !1(х)/ < М и обрашается в нуль в точках а„х„..., х„этого круга. Доказать неравенство Ч(х)! < М П !н)*:,*,—,'(! 64 < В) й=! 13.
Пусть функция 1 аналитическая в круге Кл — — (х б С: !х! < В) и удовлетворяет тх Е Кп неравенству (~(х)~ < М, а )(0) = О. Доказать, что !у'(0)~ < м, причем знак равенства возможен только для функции 3(з) = Ме'" л, р Е !й. 14. Пусть -со < а~ < аз < ... < а„< чоо, 0 < оь < 1 (Л = 1, и), ~ аь — — и — 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
