А.К. Боярчук - Функции комплексного переменного - теория и практика (1118159), страница 65
Текст из файла (страница 65)
и последовательность функций (д,) вида р! о! с „ ~Л-~ г(г — Ь,)" =! существует мероморфная функция 1, имеюшяя полюсы в точках Ь, с главными частями в них, рав- ными д,(г). ц Не ограничивая общности считаем, что Ь, ф О. Функция д, является аналитической в кр)те К = (г б С: (4 < ~Ь, Ц н, слеловательно, может быть представлена в нем степенным рядом д(г)ш~ *, г . " д!щ(о), (2) ь=о Фиксируем д б)к, где б < д < 1.
Круг К, = (г б С: (г( < д(Ь,1) компактно принадпежиткругу К, в силу чего рял (2) сходится в нем абсолютно и равномерно. Поэтому существует такое и, б )ь(, "* д,"'(о), д,(г) — ~~! ' г < — оуг б К,. о=о Обозначим !ю(б) Ь Тогда 1 1д (г) — Ру(г)~ < —. !Гг б К;. Рассмотрим рял 2 (д, — Р,'1. Он равномерно сходится на любом компакте К С С в смысле данного выше определения. Действительно, ПК С С ЗЖ б (ч) ". Уп )~ р( К С Кй т (г Е С: )г! < д)Ь„Ц. Рассмотрим ряд 2 (ду — Р,:), 1 > )гг. Его члены являются аналитическими функциями на К н мажорируются геометрической прогрессией 2 -', г ) )ог. Следовательно, его сумма 3и(г)— аналитическая функция в круге К.
259 б 2. Целме и мероморфиые функции Пусть функция у определена равенством н-! У(л) = ~~~,(ду — Р,) + ун(л). Функция у аналитическая в круге К, за исключением полюсов Ь; (з = 1, )У вЂ” 1) и имеет в Ьу ~лавные части д,(х). Поскольку К вЂ” произвольный компакт, то функция У мероморфная, имеет в С заданные полюсы Ь; с главными частями д;. м Следствие. Любую мероморфную функцию у можно лредставить суммой ряда У(л) = 6(л)+ .'Е;(д-(л) — Р-(х)), т равномерно сходящегося на каждом камнакте, где Ь вЂ” целая функция, д„— главные части лоранавгких разложений у' в окрестности Ь„(полюсы Ь„занумерованы в порядке возрастания их абсолютных величин, Ь| ф О), Є— некоторые миогочлены.
М По теореме Митгаг-Леффлера строим функцию уо, где уе(л) = ~~> (д„(л) — Р„(г)). Она имеет те же полюсы и те же главные части в них, что и г". Следовательно, У вЂ” Уе = 6— целая функция. М замечмеае. если функиия У имеет полюс в точке г = О с главной частью до, то в наших рассуждениях везде / заменим на г — де. Иногда термин "мероморфная функция" используется в более общем понимании. Именно, функцию У называют меранорфиой а области, если г не имеет в ней кроме полюсов других особенностей. Такая функция также не может иметь более чем счетное множество полюсов.
Если зто множество беаконечное, то предельные точки множества полюсов принадлежат границе области. 2.3. Разложение мероморфиык функций иа простейшие дроби. Пусть ( у(() — любая меромарфная функция, у — замкнутая жорданова кривая, окружающая начало координат и не проходящая через полюсы функции У.
Пусть (Ь„; й = 1, и)— множество полюсов функции у, принадлежащее внутренности т, Чй = 1, и Ьь ф О, дь — главные части лорановских разложений функции г в окрестности полюса Ь„. Если ( = Π— полюс функции /, то главную часть лорановского разложения в его окрестности обозначим до (если ( = О не является полюсам, то считаем де ая О). Пусть л — любая фиксированная точка, принадлежащая внутренности Г. Рассмотрим функцию 2.дь(() ь=о Она рациональная в С, имеет на бесконечности по меньшей мере нуль второго порядка и, слеловательно, ее вычет на бесконечности равен нулю.
Воспользуемся теоремой Коши дпя неодносвязной области, а также определением вычета на бесконечности. Получим Еде(0 Еде(О 2 д.(0 ь о 1 ь о ь=е д(= —, д(= — гез =О .(l ~ — -1 г г 260 Гл. 7. Вычеты и их применения (здесь Г„= (7„, та ), 7„= (Ь 6 С: 1(1 = Я) — окРУжносаь, охватывающаа 7). Отсюда слелУет равенство У(0 — д рь(0 2ла' У Г вЂ” з 2лаУ Г вЂ” з г г Функция У вЂ”,> дь аналитическая в области, ограниченной кривой у (устранимые особено=о ности этой функции считаем устраненными). Согласно теореме Коши У(0- Ер (0 — д( = У(а) — ~ ра(з). 2ага у ( — г ь=о В результате получим равенство У(з)=~ рь(з)+ —.
У вЂ” дГ 1 У У(0 2.;/ 0-я о=о Допустим, что существует послеловательность (7 ) замкнутых жордановых кривых„окружающих начало коорлинат и не проходящих через гюлюсы функции У, с такими свойствами: 1) Ущ Е (а) 7 приналлежит внутренности у +„' 2) г -! со при гп оо, где г — расстояние от начзла координат до кривой 7 Из этого, в частности, следует, что агЛ > 0 существует такое апо Е (а(, что круг Кл — — (( Е С; Ц < )а) ощ > апо(Я) принадлежит внутренности у 3) Нщ / — =О, Г =('у 7 ),!4<В. УУ(0 Г (2) ---./ Г- г„, Запишем формулу (1) лля Г . Обозначим через и число полюсов, охватываемых кривой -! Получим: У(з) = ~~а дь(з) 4 — а(0 ап > апо(Л). 1 УУ(0 2лаУ Г вЂ” з ь=! (3) Перейдем в (3) к пределу при щ оо.
Принимая во внимание формулу (2), имеем У(х) = !пп ~~а дь(з). (4) ь=! Таким образом, функция У в круге Кл представлена в виде предела последовательности сумм главных частей ее лорановских разлоакений относительно полкков, принадлежащих внутренности 7т ° Укажем достаточные условия справедливости формулы (2). Из оценки —. ~ — < / ~У(01!дь! У У(0йь 2ла / à — з 2аг(г — Я) г следует, что для выполнения соотношения (2) достаточно„чтобы йщ / !У(0~ Щ = М, М < оо.
(5) Покажем, что разложение функции У можно получить и при более слабых ограничениях, чем (2). и 2. Целме и мероморфные функции Пусть существует такое целое неотрицательное число р, что 2б) (б) Достаточным условием соотношения (б) является следующее: — )' .у(() 1пп — у —, Щ < оо. (7) При !2! < )(! имеем 1 1 :=-':=Х: — '+ ).
— '=Е (- ( 1-а ("" < =о =у+! =а Подставим полученное разложение — '„в (3): у 1 Л ) = , 'д.( ) + „ '" ,†., У »=а =а р+ ! у )+! ("Ы ГР»2 (1 ' (аа> бг+)(б 2) =о Ы>„„"" )' Х(()А( (" а! 2>г! / (»)(( х) г„, Принимая во внимание равенства )'.ук) и) ""' <.> »=а »=о имеем ,"' г у(() =К" 'ЕЕ""' — ', у »=а »=о»=о У(0 У(у) = ~~! (д), (г) + Р), (2)) + — ! 2к! / ба»)(б — х) А(, »=о (8) где Р»(2) = ,'>" =о Переходя в А<»" >а" — многочлен степени не выше р. (8) к пределу при гп — ! со и принимая во внимание (б), имеем 1(2) = йш ~~' (д»(2) + р»(2)), ~2! < )2.
(9) 2*+11 вн2 +!)! ->у+1~ ~ 1 — 2у е2м 1 еьи2 .<-!) е — 2у 1 1 .) е-2у 2) а = х ж ! ()и + 1<) а, 2' а<2 +!) + 1 !оглу! = ез! ее<2 +0 у<2 +!) + 1 1+ < (ее<2 +'> — Ц 1 — е< Равенство (4) (или (9)) и является искомым разложением мероморфной функции на простые дроби.
Пример. Найти разложение функции а ! с)82 на пРостые ДРоби. Имеем Ь» = йя (й Е Е), д» вЂ” — — '„. Пусть 7 — границы квадратов с центрами в начале координат и сторонами длиной (2т+ 1))г, параллельными координатным осям. Оценим с)82 На сторонах квадрата; 1) параллельных мнимой оси; 2) параллельных действительной оси. 1) у = х(2<и+ 1) 2 + )У, 202 Гл. 7, Вычеты и их применения ы«-" Принимая во внимание,что †, ', „ > 1, получаем: 1+ ~с1ав) <, л б у 1 — е Условие (7) выполняется для сща при р = О. Действительно, --( ) )сгйл! 1+е 4(2то+1)тг 8(1+е ) 0(а! < при пт со. ~4 1 — е (то+ 11 л ! — е- 1/ 7 Таким образом, Р„(з) являются постоянными (многочлены нулевой степени): р сщГ Р„(з) = Аь = гез —.
- ( (10) Отсюда 1 Ра(т) = 0 Рь(з) = —. ля По формуле (9) получаем разложение сщ а на простые дроби сщл = — + йщ ~~> +— 1 2а .щ.=-+',)., ',, (12) гм Замечаяяе. В качестве у можно было взять окружности у = (з б С; ~з( = от -~- -'1. При злом оцеиз> ' ка (10) остается прежней. Рассмотрим задачи. 25. С помощью теоремы Митщг-Леффлера найти общий вид мероморфной функции у, имеющей полюсы второго порядка в точках Ьь = йк (й б Е) с главными частями в них 1 9.(л) = (л — пя)з Ч Очевидно, ряд из главных частей 2,'; — -' — т, п б Е, равномерно сходится на любом компакте (в смысле определения и.
2.2.), так как махсорируется в любом круге Кл — — (в б С: 14 < В) сходящимся рядом 2 -„— -' лгу. Поэтому по формуле (3), п. 2.2, полагая в ней Р„(з) = О, получаем: 1 ~(а) = й(л) + Е 1 26. В условиях запачи 25 найти функцию Ь, если У(л) = —, ми а М ФУНКЦИЯ а ь й(л) = -„+ — 2,' -,--' —,т ПЕРИОДИЧЕСКаЯ, С ПЕРИОДОМ тт. ИЗУЧИМ ЕЕ В полосе С = (я б С: 0 < Ве а < я).
Имеем Чп б Х )в — пя( 3 гиг — )з( ) зг(п — 1). (символ,у указывает, что й принимает все значения из множества Е, за исключением й = 0). Принимая во внимание абсолютную и равномерную сходимость ряда (11), последнюю формулу можно также записать в виде б 2. Целые и мероморфные функции 263 Следовательно, Е ! 1 7~ 1 ~ 1 ( — + чт +2 ~ -~О при х-~ос.
(х — их)з ~ !х!г с-~ !х — ихр ~-~ (и — !)зхг =ть! Поскольку ~ пп'х( = з)из х+ з)тз у — со при з — оо, О < )(ел ( х, то функция 6 ограничена в полосе 0 и, в силу периодичности, она ограничена и в плоскости С. Согласно теореме Лиувилля, Ь(а) ш О. Таким образом, 1 у~ 1 2' згпг х ~-~ (х — их)з 27. с гюмошью теоремы миттаг-леффлера найти общий вид мероморфной функции г, имеющей полюсы первого порядка в точках Ь„= и (и Е Щ с вычетами в них соответственно равными и. и Имеем + — + (х — у! + ..., !4 < и, и и и 1 д„(х) = — = — —, = — 1 х — и (д) 1 — — * и(и — х) и(х — и) Принимая во внимание, что х' 1 <, УхЕ(хЕС:!4<ьГи), и(х — и) ьгй(и — т й) 2 делаем вывод о том, что ряд 2 „„', равномерно сходится на любом компакте К С С в смысле определения п.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
