М.Л. Краснов, А.И. Киселев, Г.И. Макаренко - Вариационное исчисление (Задачи и упражнения) (1118008), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Составляем систему уран»»еннй для определения ординат у», уз, Уз. у» искомой ломаной; МЕТОД РИТЦА. МЕТОД КАНТОРОВИЧА ]57 ь ы] Решение этой системы у~ = — 0,08, уз = — 0,]2, уз = — 0,]2, х' — х у, = — 0,08. Значения точного решения у= — в соответ- 2 ствующнх точках совпадают со значениями приближенного решения. Найти приближенные решения задач О минимуме функционалов: ! 215.
7(у)= ) (у' + уз+ 2ху)г[х; у(0)=у(1)=0. о У к а з а ни е. Взять Лх = 0,2. ] 216..[]у) =- ) (у' + 1)г[х; о а) у(0) =О, у(1) =О, б) у (0) = О, у (1) = 1. $14. Метод Ритин. Метод Канторовича 1'. Метод Ритца. Идея метода состоит в том, что при разыскании экстремума функционала т'[у(х)[ рассматривается не все пространство допустимых функций, а лишь всевозможные линейные комбинации допустимых функций вида у„(х) = ~ асф] (х), г=! где и, — постоянные, а система (ф,(х)), называемая системой координатных функций, такова, что функции 2,(х) линейно независимы и образуют в рассматриваемом пространстве полную систему функций.
Требование, чтобы у„(х) были допустимыми функциями, вообше говоря, накладывает на координатные функции рд(х) некоторые дополнительные условия типа условий гладкости или удовлетворения граьичным условиям. На таких линейных комбинациях функционал 1[у(х)1 обращаетсц в функцию аргументов аь аг, ..., агл 7 [ун (х)1 =Ф (аь аз, ..., пн). (2) Находим те значения аь аз, ° ., ан, которые доставляют функ.
ции Ф(ссь аз, ..., а,) экстремум; для этого решаем систему, вообше говори, нелинейных относительно аь аз, ..., а уравнений — 0 (! ],2,...,п), дФ (3) 158 ПРЯМые метОДЫ ВАРЛАННОИИОГО исчИСЛЕНИЯ [ГЛ, 1Н и найденные значения гг, подставляем в (1). Полученная таким образом последовательность [у„(х)) является минимизирующей последовательностью, т.
е. такой, длч ноторой последовательность значений функционала (г'[у„(х)]) сходится к минимуму или к вижней грани значений функционала а [у], Однако из того, что 1гщ г' [у„(х)] = пгш г' [у (х)], л.ь ю еще не следует, что 1пп у„(х) = у(х). Минимизирующая поспел+о довательность может и не стремиться к функции, реализующей экстремум в классе допустимых функций.
Можно указать условия, обеспечивающие с>шествование аб- солютного минимума функциона,ча и его достижение на функ- циях (у„(х)). В случае, когда ищется экстремуьг функционала х, г' [у (х)] = ~ У (х, у, у') г(х, х( У (хг) = Уг У (хг) = Уг этн условия таковы: 1. Функция г(х, у,г) непрерывна по совокупное~и своих ар- гументов при любом г и при (х,у) гж (г, где 0 — замкнутая об. ласть плоскости ХОУ, в которой лежат линии у„(х).
2. Существуют константы гх ) О, р ) 1, [), для которых У (х, у, г) ) а ] г [ + р, каково бы ни было г и для л:обой точки (х, у) сн Ы. 3. Функция У(х, у, г) имеет непрерывную частнуго производ- ную У,(х,у,г), причем эта производная для любой точки (х,у) гп гз есть неубывающая функция от г ( — го ч.. г (+ге). Сформулированные выше условия выполняются, в частности, для функционалов вида х, У[у] = ~ [р (х) у' + д (х) у' + 2г (х) у] с(х, х, у(х,) =а, у(х,) =Ь, где р(х), у(х), г(х) — заданные непрерывные на [х„хг] функции, причем р(х) имеет непрерывную производную р'(х) и р(х) ) О, у(х) ь О.
Если таким методом определяется абсолютный экстремум функционала, то приближенное значение минимума функционала получается с избытком, а максимума — с недостатком. От удач- ного выбора системы координатных функций (гр,(х)) в значи- тельной степени зависит успех пРименения этого метода. Во многих случаях досгаточно взять линейную комбинацию двух. трех функций гр,(х) для того, чтобы получить вполне удо- влетворительное приближение к точному решению, мвтод ритггл: метод цлмторавичл 159 $ !4! В случае, когда приходится находить приближенно экстремум функционалов г'[х(х!, х», ..., х„)], зависящих от функций несколькиз независимых переменных, выбирается коордиватная система функций и! (х! хв ° ° ха) ф» (х! хг ° ° хп).
° ° ф»»(х! хь ° ° , хп) и приближенное решение вариационной задачи ищется в виде х = ~з ааф (хп х, ..., х„), ь! (4) и сравнить с точным решением. Решение. Систему координатных функций гр*(х) выберем так: ф,(х) = (( — х) ха (Гг = 1, 2, ...). Функции ф»(х), очевидно, удовлетворяют нраевым условиям ф»(О) ~ ф»(!) = О, является линейно неаазнсимыми н пред. ставляют в пространстве С! [О, 1] полную систему. При й 1 получаем у»(х) а»(х — х»).
Подставляя это выражение для у»(х) в функционал (4), получим l!у! (х)) ~ (аз(1 — 2х) — аэ!(х — х ) +2а!х(х — хз))!Гх= о ! ° ~ [а~! (1 — 4х + 4х — х + 2х — хч) + 2а! (х — х~)) ох о 10 ! 6 Коэффициент а! находим иэ уравнения дФ 3 1 ба,+ — -О, »Уа! 6 6 где коэффициенты и» вЂ” некоторые постоянные чвсла. для определения их аналогично предыдущему составляем систему урав- дФ некий — 0 (й = 1, 2, ..., л), где Ф(а», аз, ..., а») — результат подстановки х в функционал У[х].
Пример !. Найти приближенное решение задачи о минимуме функционала ! 1[у] [ (у'з — у'+ 2ху) г(х, о у(о) =у(Ц=О (б) 191 РеЯМЫЕ МЕТОДЫ ВАРИАЦИОННОГО ИСНИСЛЕНИЯ [ГЛ ГИ 5 откуда аг — —. Следовательно, 13 ' 5 5 у, (х) — — х+ — хт. 16 !6 Точа о е решение. Уравнение Эйлера для данного функционалаа: у" + у х.
Решая зто неоднородное линейное уравнение, находим у (х) С1 со5 х+ Сл 5!их+ х. Используя граничные условия у (0) = у (1) = О, получим окон. чательно: 51и х у(х) =х — —. Мп! Сравним точное Н р н м е р 2. Найти приближенное решение нелинейного уравневия 3 у — ул, 2 удовлетворяющее условиям у(0) = 4, у(!) = 1. Решение. Этой краевой задаче отвечает вариационная задача 1 7 (у) = ~ (у'5+ уз) дх; у(0) =4, у(1) =1. е Будем искать решение в виде у, (х) 4 — Зх+ а5 (х — хл), где, очевидно, у,(х) при любом значении а, удовлетворяет заданным краевым условиям.
Имеем 1 7 (у,) ~ ([а, (1 — 2х) — 3)'+ (4 — Зх+ ел(х х )) ) нхе а 0,00 0,25 0.50 0,75 1,00 решение с приближенным: Точнее решение Нриближелнее реже ше 0 0 — 0,044 — 0,052 — 0,070 — 0,069 — 0,060 — 0,052 0 О $ !41 МЕТОД РИТЦА. МЕТОД КАНТОРОВИЧА 16! откуда ! — ~ ~ [(1 — 2х) ° 2 [а,(1 — 2х) — 3)+ дУ[у ! да, + 3 (х — хв) [4 — Зх + а, (х — х') )!) с[х.
Условие — = 0 принимает вид д7 [у,! да, 9ат+ 490а + 1407 = О, так что длк а,= — 3,0113 получаем нсшду положительное решение задачи у, (х) = 3,0413х! — 6,0413х+ 4. Найти приближенные решения следуюших задач о минимуме функционалов. Сравнить с точным решением.
! 217. У 1У (х)1 = ) (ц' + 2у) с[х1 у (0) = у (1) = О. о 218. У[у(х)) = ~ (2ху+ ут+ у') с[х! У(0)=у (2)=0. о 219. Найти приб.лиженное решение задачи о минимуме интеграла ! г(У(х)1 = ) (У вЂ” [г'У')с[х; У( — 1) =у(1) =О, -! ! при дополнительном условии ~ ут(х) с[х=1. -! П р и м е р 3. Найти.приближенное решение задачи об зкстремуме функционала г[г(х,у)]=~ ~ '['(д ) +(д ) — 2г|охссу, о где 0 — квадрат: — а ( х ~ а, — а ( у с- а и на границе квадрата г =О. Решение.
Приближенное решение будем искать в виде г, (х, у) ас (х' — а') (у' — а'). 6 М, Л. Краснов н Кр. 162 ппямыв матбды влнилционного исчнслвния (гл. иг 256 т з 32 з у ]хе) = — аза — в аоа Ф (ао). Далее, дФ 612, 32 — = — аоа' — — а' = О, доз 46 В откуда а = —, так что хо (х, у) = —. (х — а ) (у — а ). 5 5, х з з 0 Рда 2 0 ' 16 аз 220. Найти приближенное решение задачи об экст. ремуме функционала з [х (х, у)) = [ [ [( — з — у) + ( — + х) ) агх агу, и х' у' где Р— область, ограниченная эллипсом —, + —, = 1.
221. Найти приближенное решение хз(х, у) задачи о минимуме функционала ~ [(д ) +(д )1 и где область Р: х > О, у > О, х+ д < 1, и функция л (х, у) удовлетворяет на границе Г: х = О, у = О, х+ у= 1, условию г]в= ха+ у'. 2'. Метод Канторовича. Этот метод занимает променсуточное положение между точным решением задача и методом Рнтца н применяется для исследования на экстремум функционалов ! (з(хь х„..., ха)], (6) зависящих от функций нескольких независимых переменных (и > 2), Как и в случае метода Ритца, выбираем координатную систему функций (ах(хь хь ..., х„)) и приближенное решение ищем в аиде ах(х() ф (х, х, ..., х„), (у) а=г но теперь коэффициенты ах(хз) являются неизвестными функциями одной из независимых переменных.
Функционал (6) на функциях вида (7) превращается в функционал У(аг(хз), аз(хз), ..., а (х,)], зависящей от и функций Очевидно. так поставленным х г ох(х у) и ход вання построенная функция хе (х, у) удовлетворяет граничным условиям. Подставляя хе (х, у), (х, у) в функционал, получим после интегриро. $ !41 МЕТОД РИТИА. МЕТОД КАНТОРОВИЧА 153 а~(х!), аз(х!), ..., а,(х!). Эти функции выбираются так, чтобы функционал 4 достигал экстремума, и опрелеляются из необходимых условий экстремума функционала I.
Используя метод Канторовича, получаем приближенное решение, вообще говоря, более точное, чем в методе Ритца при тех же координатных функциях (фь(х„хз, ..., х )) н с тем же числом гл членов приближения. П р и и е р 4. Найти приближенное решение уравнения Пуассона ( — а ~ х ( а, ог = — 1 в прямоугольнике )у: ~ (В) ' [-ь~у .ь при условии г = 0 на контуре.
Решение. Уравнение Лг = — 1 является уравнением Эйлера — Остроградского для функционала ,[,[ ['[д ) +(О ) — 2г) 4(х4(у. О Решение ищем в виде г, (х, у) = (Ьз — у') а (х); функция г4(х,у), очевидно, удовлетворяет граничным условиям (В) на прямых у ~Ь. Подставляя это значение г4 в функционал (9), находим е Г! 15,4 В, В 1 [г [ ~ ! — Ь'а' + — Ьза' — — Ь'а) бх. (10) 3(15 З З а Уравнение Эйлера для функционала (10) 5 5 а" — — а = — —. 2Ь4 4Ь' (!1) Уравнение (!!) есть линейное однородное уравнение с постоянными коэффициентами и его общее решение; г'5 х /5х ! а(х)=С,сй У вЂ” -+Стэй у --+-.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
