М.Л. Краснов, А.И. Киселев, Г.И. Макаренко - Вариационное исчисление (Задачи и упражнения) (1118008), страница 16
Текст из файла (страница 16)
У!+у" +г"! (19) (20) Решим систему уравнений (19) — (20), используя условие связи !5х — 7у+ г — 22 = О. (2!) Искомые функции у= у(х) и г = г(х) удовлетворяют следующим граничным условиям: у(1) =-1, у (2) =1; г(1) =О, г(2) = — 1. (22) Уыножая уравнение (20) на 7 и складывая с (!9), получим о ( у' + 7г' — )=о, откуда у +7г !' У! + у" + г" (23) Из (21) имеем г' = 7у' — 15. (24) у (х) 2х — 3.
(25) Подставляя зто значение г' в (23) и решая полученное диффе- ренциальное уравнение, найдем у(х) .= С)х+ Сз. Граничные ус- ловия (22) дают С! =, 2, Ср = — 3, так что (гл. Н ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛОВ !!6 Из (24) с учетом (25) находим 2 (х) = 1 — х (26) (граничные условия для функции (26), очевидно, выполняются), Из (19) илн (29) получаем А(х) — О. Искомое расстояние: 2 1 = ', :(1 ! + р' + г' с(х = )' 6. 1 Этот результат сразу получается нз очевидных геометричеси1ж соображений. 3'. Геодезические линии. Пусть поверхность задана вектор. ным уравнением (21) г=г(и, Р) Геодезической линией называется линца наименьшей длины, лезнзшая нз ланной поверхиосзя и соединяющая две данные точки понерхности.
Уравнения геодезических линий можно получить кан уравнения Эйлера, соответствующие вариационной задаче о нахождении кратчаишего расстояния на поверхности между ее даулгя заданными точками. Линия, лежащая иа поверхности г = г(и, о), мо1нет быть задана параметрическими урааясниячи и = и (1), о = о (1).
(28) Длина ее отрезна между точками, соответствующими зяачснням 1, и 1, пара11етрз 1, равна 1 (и, о] = ~ ~)1 Еи' + 2Еи'о'+ 0о' 111, (29) где Е, Е, 0 — нозффицненты первой хвздратнчной формы понерх. ности (27), т. е. Здесь (и, Ь) — скалярное произведение векторов и и Ь. Для функционала (29) система уравнений Эйлера имеет вид Еии' + 2Еии'о'+ 0ио' 1( 2 (Еи'+ Ео') )1Еи' +2Ги'о'+ 0о У Еи' + 2ри'о'+ 0о' Е„и' + 2Е„и'о'+ 0„Р' 8 Еи'+ 0о' 'у' Ейз+ 2ри'Р'+ 0о "1 'тг Еи'а + 2ри'о' + 0о' П р и м е р 8.
Среди всех иривых на сфере радиуса Е, соединяющих данные ее две точки, найти кривую кратчайшей длины (геодезическую иривую). УСЛОЕНЫИ ЭКСТРЕМУМ Ф в! Повтому Г=(г, г )=Л'яптВ; С=(г, г ) =)2т! Г=(г, г )=О, Ф' Ф в ' а' е Ото!ода по формуле (29) имеем в, в, У(ф,О)=)2 ~ )' ПВ'+яп'Ос(фв =И ~ )/ !+в(п'9 ° фж(8) с10, в, в, Подынтегральное выражение пе содержит искомой функпвл ф(О), поэтому уравнение Эйлера буде~ д — (,=О, где оО яп' О ° ф'(В) Ф' У ~~ 1+ яп'0 ° ф' (8) так что МпО р(9) 1 р' 1+ Мпе В ° р" (В) Отсюда р (0) япО 'г в!п 0 — С, тг.
е т Г С;' яп'8 1/ 1 — —.. в!па О С,с( (с12 О) япа 0 1~'(! — С',) — С';с19тО )у(1 — С',) — С', с1йа 0 Интегрируя, получим ф (О) = агссов ' + С С, с!90 'р'1 — С-,' или ф (0) = агссов (С ° с19 В) + С„где С )/1-С! Отсюда С ° с!9 О = сов[ф (О) — С,] с19 0 = Л сов ф (8) + В яп ф (9), или (32) где сов С, А= —, С В= —, в!п С, С Умножая обе части (32) на й в!п В, получим )2 сов В = А)2 сов ф в(п 8 + В)с и! п ф яп 8 Р е ш е н и е. Пусть ф — долгота, Π— широта точки на сфере, а ф = ф(0) — уравнение искомой кривой. В данном случае имеем г = г (ф, О) = к (ф, 0) в + у (ф, О) 7 + к (ф, О) й .
(гл и ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛОВ 118 или, переходя к денартовым координаталп г = Ак + Ву. Это — уравненне плоскости, проходящей через центр сферы и пересекающей сферу по большому кругу. Таким образом, кратчайшая линни (геодезнческая) есть дуга большого круга. Пример 9. Показать, что в каждой точке любой геодезической на поверхности вращения произведение радиуса параллели на синус угла между геодезической и меридианом есть величина постоянная (теорема Клеро). Р е ш е н и е.
Уравнение поверхности врагцения в цилиндрических координатах имеет вид х= 9 сов еь Д=р Мпю, я=)(р). Найдем коэффициенты Е, Е и Оз 5=1+ Г', В=О, а-р-", так что дифференциал длины ду. гв о5 на поверхности вращения имеет вид '5=(у рэ+Х(+( )р Иф.
Геодезические линни на поверхности вращения являются экстремаляыи функционала Рис. !8. Подынтегральная функдня не содержит явно Ф и потому мы. сразу получаем рэ = сола( )р~р'+ () + (,") р" ир илн рт-~к-= сопка Замечая, что р — ~= а|па (рнс. 18), полу- о5 Д5 чаем р з1пю = сопя(, что и требовалось доказать. 170. Найти кратчайшее расстояние между точками А(1, О, — 1) и В(О, — 1, 1), лежащими на поверхности к+у+Э=О. 171.
Найти геодезические линии круглого цилиндра г 1(. й ов) ЗАДАЧИ С ПОДВИЖИЫМИ ГРАИИПАМИ 119 ф 10. Варнацноиные задачи с подвижнымн границами рь Простейшая задача с подвижнымн границами. Пусть Е = Е(х, у, у') — трижды дифференцируемая функция своих аргументов и пусть в плоскости ХОУ заданы дае кривые у = ор (х) и у = ф (х), (1) где ср(х) он С, [а, Ь] и ф(х) он С, [а, Ь]. Рассмотрим функционал У [у] = ~ е (х, у, у') дх, (2) определенный на гладких кривых у = у(х), концы которых А(хо, уо) и В(хь уо) лежат на заданных ливнях (1), так что уо = ор(хо), уо = ф(хо).
Требуется найти экстремум функционала (2). Те о р ем а. Пусть кривая йс у = у(х) дает зкстречуи функ- ционалу У[у]= 1 У(х, у, у) дх среди всех кривых класса Со, соединяющих две произвольные точки двух дачных кривых у = йо(х), у = ф(х). Тогда кривая у является акстреиалью и в кокосах А(хо, уо) и В(хь уо) кривой у выполняются условия трансверсалькости [у+(р' —.у)у„,][ =о, 1 [у+(ф — у') у„,]] =о. ) (3) Таким образом, для решения простейшей задачи с подвижными границами надо: 1) Написать и решить соответствующее уравнение Эйлера.
В результаге получим семейство экстремалей у = ](х, Со, Со) зависящее от двух параметров Со и Со. 2) Из условий трзнсверсальностн (3) и из уравнений [(хо, Сь С,) = до (хо), ] ) (хь Сь Со) = ф (хо) определить постоянные Сь Сь х,, хь 3) Вычислить экстремум фуакционала (2). Пример 1. Найти условие трансверсальности для функционала х, в[у]= ]т [(х у)е'"ывв']'1+у" дх (5) хо [ (х.
у) ~ О. 1гл. и ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛОВ 120 Р е ш е н н е. Пусть левый конец зкстремали заиреплен в тачке А(хс, ус), а правый нонец В(хну~) может перемещаться по кривой д = ф(х), Тогда получим (У+(р — д) У„,~( =О. В нашем случае х ( ( ) загс!ну' '(гг~ + з л ((» у) евгс!на' + У 1+ У'1+ д" Условие трапсверсальности аапишется так! ~((х, д) еаг'!ка' т)/1+ у'т + ')г(+д" 1(,=„ Отсюда, в силу условия 1(х, д) Ф О, получаем ф У (6) 1+ ф'у' Геометрически условие (6) означает, что зкстремали д = д(х) должны пересекать кркную д = ф(х), по которой скользит гра- В ннчная точка В(хи уг), под углом Рнс.
19. В самом деле, соотношение (6) можно представить так: поло>кит!, что иасательная к зкстремали в точке В(ход,), лежащей иа кривой у = ф(х), пересенает ось Ох под углом а, а касательная к заданной ириной д = ф(х) — под углом 6 (рис. 19). Тогда 1нсс = у', 1нр ф и левая часть формулы (6) дает ВТ и 1н(6 — сс)1 но-! 19(- — 1, поэтому () — а= — —, откуда Я а = 6 + †, что и требовалось показать, 4' й ий влдлчи о подвижными границами г2( х, (7) при условии, что левый конев экстремалы может перемешаться по кривой у = хз, а правый — по прямой у = х — 5. Таким об. разом, в нашем случае имеем р(х) = х', $(х) = х — 5. Оби се решеине уравнения Эйлера будет: р = С,х+ Сз, где С~ и Са —. произвольные постоянные, которые предстоит определить.
Условия трансверсальности (3) имеют вид [у ~~',-а* — 1, 2,1~ -ч ~у,~„, ~.о „,) " ~! о, где р' = Сь Уравнения (4) в нашем случае принимают вид С~хо+ Сз — — хо, 2 С1х~+ Са — — х~ — 5. Итак, имеем систему четырех уравнений относительно четырех нензвестнык Со Сз, хм хз. =О, 1 )т ( + С~ + (2хо — С1) $'(+ С', У)+С', +(( — С) )т)+С', 2 С~ха+ Сз = «е, С х, + Са = х, — 5, (8) решая которую, получим: 1 ха 2' 23 хг ~ —. 8 ' 3 Са= —, =дт С1 = — 1, Пример 2.
Найти расстояние между параболой у = х' и прямой х — у 5. Р еш е н не. Задача сводится н нахождению экстремального значения интеграла !гл и ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛОВ !22 З Значит, уравнение зкстремалн есть у = — х + — и расстояние 4 между заданными параболой и прямой равно з а )' !+(-!)' г(»= г"2») 19 1'2 8 ! 3 172. Найти кратчайшее расстояние от точки А(1, 0)' до эллипса 4»з+ 9уз = 36, 173. Найти кратчайшее расстояние от точки А ( — 1, 6) до параболы рз = х. 174. Найти кратчайшее расстояние между окруж.
постыл хз+ дх = 1 и прямой х+ д = 4. 175. Найти кратчайшее расстояние от точки А( — 1,3) до прямой у = 1 — Зх. 176. Доказать, что для функционала вида х, У(у) = ) й(х, у) )г 1+ у'~ с[х, х, где Ь(х, у) ФО в граничных точках, условия трансверсальности имеют вид у'(х) =— Ф'(х) т. е. условия трансверсальности сводятся к условиям ортогональностн.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
