М.Л. Краснов, А.И. Киселев, Г.И. Макаренко - Вариационное исчисление (Задачи и упражнения) (1118008), страница 13
Текст из файла (страница 13)
= бу'. На данной экстречали нхгсем У,, = — 12(0, т. е. на линии у = — 2х достигается слабый э а максимум функционала. Прн произвольных значениях у' знак Е„.„. не сохраняется, следонательно, досгаточпые услоапя сгшьного максимума не ныполняются. функция Вейерштрасса Е(х, у, р, у') н даг пои случае имеет энд Е (х, у, р, у') = (у' — р)'(у'+ 2р) н цри некоторых значснг1ях у' она имеет противоположные знаки.
учнтыиая замечаяне на стр. 89, получим, что сильного макси. мума нет. Прим ер 4. Исследовать на экстремум г>ункционал Х(у) = ) (еэ +3) г(х, у(0) =О, у(2) =1, о Р е ш е н и е. Экстремалями являются прямые у = С~х+ Сь Экстремалью, удовлетаоряюшей граничным услоаиям, является х прямая у= —; опа моисет быть включена а центральное поле экстремалей у = Сх.
В данном случае Е„,У ° (х, у, у') =в >О при любых аначеннях у. Следовательно, на экстремали у=— 2 функционал имеет сильный минимум. Пр н м е р 5. Исследовать на экстремум функпнонал а Х(у]= ~ агх, у(0) =О, у(а) =уы )г !+ у'з у у Решен не. Подынтегральная функция не зависит явно от х, следовательно, получаем Š— у' Еу' = С, или н нашем случае ~х1+ у у откуда = Сз или у(1+ у' ) = Сы )'гу)г1 ( у 5 з) ДООТАточные услОВТ!я экптннмумА 93 1 где С, = =. Положим у' с!2 —. Будем иметь у = С, а!п'— 2' ' 2 С, = — (! — соз 1).
Далее, 2 г)р С, з)п1г(1 дх = — = = С~ 5!П вЂ” Ж. 2 с!и — 2 с!и— 2 2 Интегрируя, получим (1 — соз Г) Ж С, х=С! ~ 2 2 (! 5!п 1) + Сз Итак, х = С~ (1 — з1п 1) + Сз, р = С! (! — соз !) — параметрические уравнения семейства циклоид. Из условия у(0) = 0 находим, что Сз = О. Пучок цнклоид х= С (! — юп 1), у = С (1 — сазт) 1 образует центральное поле с центром в точке 0(0,0), включаю. шее знсгремаль Р (1 — з)п Г), '( У = Р(1 — соз1), ) где Р определено из усчовия прохождения пиклоиды через вто.
рую граничную точку В(а, у~), если а ( 2пР (рнс, 12). Рис. 12. Используем условие Ленсандра,.Имеем 1 )г р(!+у')л (гл. и ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИО11ДЛОВ при любых значениях у'. Значит, для о ( 2ийг на циклоиде х )г (! — 51п т), д=)с(! соз!) / данный функционал имеет сильный минимум. Используя условие Лежандра, исследовать следующие функционалы на экстремум: 1 154. У [у] = ~ (у" + хз) пгх; у(0) = — 1, у(1) = 1.
о 155. У[у[= [ —,с(х; (у (2) =4, у(З) =9. 2 у 156. У[у[= [ (ху' — 2уу')с(х; у(1) =О, у(2) =1. 1 а 157. У[у[= ~ (1 — е-а')ТУх; у(0)=0, у(а)=Ь(а>О). о ! 158. У[у) = ) уу' г(х; у(0) а р > О, у(!)=1)> О. о 159. Исследовать на экстремум функционал 1 Х[у)= ~ (еу' +уз+хе)огх, у(0)=0, у(1)=1, о при различных значениях параметра в. П р и и е р б. (Задача Эалера). Стержень длиною ! опирается своими концами и подвержен давлению Р.
При определенном значении Р (критическая сила Эйлера) происходит продольный изгиб стержня. Требуется определить наименьшую величину силы Р, дающую продольный изгиб. Решение. Пусть Š— модуль упругости, Х вЂ” наименьший момент инерции поперечных сечений стержня, р — радиус кривизны, гр — угол касательной с осью. Потенциальная энергия изгиба определяется формулой Х нз и,= — ЕУ ) —. 2 5 о й з! ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВПЯ ЭКСТРЕМУМА йй При опускании конца стержня на величину а= ~ [1 — соз ф) б5 о потенциальная энергия стержня уменьшается на Уз=Ро=Р! — Р ~ созфс[5.
о Если потенциальная энергия до деформацин была равна нулю, то после деформации она выразится формулой У=У~ — У,= ~ ~ — Е! — +Рсозф) г[5 — Р!. Гг! ! ~2 рз с[5 ф Так как р = — и [в случае малых значений ф) соз ф = ! — —, = йр 2 ' то ! У = — ~ЯЕ! ( — ) — Рф з |сг5 = — ЯЕ! ( — ) — Рф'1 бх. В случае равновесия потенциальная энергия принимает минимальное значение. Поэтому решение задачи сводится н определениго минимума интеграла ![ф[ = ~ЯЕ! ~ — ) — Рф') с!х. о В данном случае и уравнение Эйлера принимает вцд Р ф" +азф=О, где а'= —;. Е! ' Общий интеграл этого уравнения будет ф = С, вшах+ Сз совах.
Так как при малых значениях ф илссем [иф са ф н, кроме того, [йр у',то р'= С, ыпах+ Сз совах, (гл, и ЭКСТРЕМУМ ФУЦКЦИОНАЛОВ откуда С1 соз ах Сз э!п ах у(х)=— а а Вслв нижний конец стержня находится в начале координат, то пра х= О будет у=О, а значит, Сг= С=О н С у (.т) = — Ып ах. а Проверим выполнение условий Лежандра и Якоби. Очевидно, что условие у!ежанлра вьшолнсно: ст'Р ОЕ) ~О дф' Уравнение Якоби имеет вил Егг" + Рг=й илв г" +атг=О, причеъг г(О) = О. Поэтому р шение уравнения 5!кобн будет г = А з1п ах.
ял Функция г обращается в пуль прт х, ' (у=1, 2, ...), так а что условие Якоба будет выполнено, если ! ~ —. Отсюда а ' Наименьшее значение критической силы Эйлера будет пт Рю!э = —, ЕЕ (з Прп этом С,, пх у = — 5!п а ! есть уравнение кривой изгиба. Зч Фигуратриса. Пусть имеем фушкционал э'[у] = [ Р (х, у, у') йх.
и Будем считать х и у параметрами и рассмотрим функпию У = Р(х, у, у') как функцию аргумента у'. График этой функции ла плоскости переменных (у', у) называется фигуритрисой. Нетрудно проверить, что функция Вейерштрасса Е(х, у, р, у') есть разность ординат фнгурзтрисы н касательной к ней, проведенной в точке с абсцнссой у' = р. Знзкопостоянство функции Вейерштрасса для векоторых значений у' означаег, что фнгуратриса йз1 ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ ЭКСТРЕМУМА лежит иад касательной или под ней для указанных значений у'. В этом случае имеет место слабый экстремум. Если фигуратрпса лежит с одной стороны от касательной для всех значений у' и для значений параметров х и у, близких к точкам эхстремали„ то илгеет место сильный экстремум. Достаточное условие Лежандра в этих терминах выглядит так; если для всех точек (х, у), близких к экстрелюли, фигуратриса всюду выпукла али загну[а, то имеет место сильный экс.
тремум. П р и м е р 7, Исследовать на экстремум функционал а г [у] = ~ у' дх (а>0); о у(0)=0, у(а)=Ь, Ь)0. Решение. Экстремалямн являются прямые у = Сзх-[- Сз. Ь Искомая экстремаль определяется уравнением у = — х. Она а Рис. 13. включается в ценчрзльиое поле экстремалей. В данном случае ,г фигуратрисой является парабола У у' (рис. 13). Легко ви.
деть, что фнгуратриса целиком лежит над касательной, прове. Ь денной к пей в точке р — при любых а и Ь, а ~ О. Следа. а Ь вательно, экстремаль у — х доставлнет данному функционалу а сильный минимум. (тл И вкстрнмум Функционалов Пример 8. Исследовать на экстремум функционал У (у) = ~ у" бх! у (О) = О, у (а) = Ь, Ь >О. Р е ш е н и е. Искомой экстремалью валяется прямая Ь р= — х, которая включается в центральное позе экстремалей Рис. !4.
р = Сх, с центром в точке 0(О,О). Фигуратрисой является кубическая парабола У = у' (рис. (4). Для значений р', достаточно Ь близких к значению р= —, фигуратриса лежит над касатель- а' ной к ней, проведенной в точке с абсннссой у' = — . Из рис. (4 а' видно, что фигуратриса пересекает касательную в точке с абс- 2Ь циссой у'= — — и левее этой точки расположена над иасап Ь тельной, Значит, на зкстремали у= — х достигается слабый ми- н нимум. Заметим, что если и = О (это отвечает случаю Ь = О, экстремалью является отрезок оси Ох), то касательной к фигура- й з1 ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ ЭКСТРЕМУМА 99 трисе является ось Оу', а сама точна 0(0,0) является точкой перегиба фпгуратрисы. Учитывая замечание иа стр. 89, видим, что в сколь угодно малой окрестноств точки 0(0,0) фигуратриса имеет положительные и отрицательные ординаты.
Значит, функция Вейерштрасса Е имеет противоположные знаки при сколь угодно близких к р = 0 значениях у', и следоватетьно, в этан случае не достигается и слабый экстремум. П р имер 9. Показать, чта экстремаль у = 0 вариационной задачи у(у) = ~(у'т — уу' ) г(к; у(0) у(1)=0 а доставляет слабый мннимукг ф>нкционалу. Решен не. Условие Лежандра в данном случае дает Р.„. ( (2 — Оуу')( =2>0, т.
е. иа экстремали у = 0 достигается слабый минимум. Покажем, что на ней сильный минимум не достигается. Построим фнгуратрису у=у" — уу' для значений у > 0 (рис. 15). Из Рис. 15. рис, 15 видно, что касательная к фигуратрисе, проведенная в точ- 1 ке с абсциссой р = О, пересекает фигуратрису в точке у' у" Таким образои, для точек (к, у), где у > О, близких к тачкам экстремали у = О, функция Вейершграсса Е при значениях у', 1 1 меньших —, положительна, а при д' > — отрицательна.
Со- д у гласно замечаншо на стр. 89, сильного минимума нет. Аналогичное явление имеет место и для д С О. Этот пример характерен тем, что нз выполнения условия Г ° >О на экстремали для любых у' не следует наличия силья'я' ного экстремума. 1ГЛ. Ы вкстрамум еункпиондлов С помощью фигуратрисы исследовать на вкстремум следующие функционалы: 160. У[у]= ~ (1+ х)у' с[х; у(0)=0, у(1) = — 2. о 161.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
