М.Л. Краснов, А.И. Киселев, Г.И. Макаренко - Вариационное исчисление (Задачи и упражнения) (1118008), страница 15
Текст из файла (страница 15)
1) Возьмем эллипс, фокусами которого служат концы основания рассматриваемых треугольников (рнс. 17), Иэ Рис. 17. свойства эллипса заключаем, что все треугольники АСВ имеют один и тот же периметр. Очевидно, что наибольшую плошадь будет иметь треугольник с наибольшей высотой, что отчечает случаю, когда вершина треугольника совпадает с вершиной Сэ эл. липса.
Треугольник Аѻ в этом случае — равнобедренный. 2) Согласно закону взаимности наименьший периметр при заданной плошади и заданном основании имеет равнобедренный треугольник, Г! р им е р 3. Найти минимум интеграла Х ]у] = й] и' (х) бх при условии б~ рз (х) Ых = 1, у (О) = р (и) = О. |гл. и ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛОВ 109 Р е ш е н и е. Составим вспомогательный функционал Л [у[ = й~ (у'з + Луз) Ых и выпишем для него уравнение Эйлера 2Лу — — (2у') = 0 или у" — Лу О, г)х (9) С| 5|п йх лх = 1, о откуда С, = ш1,' —.
Значит, у(х) = Ш 1Г« — з!пйХ. Но среди ««2 экстремалей у сн 1㫠— зшэх, проходящпх через тоски (О, О) и (и, 0), условию Якоби удовлетворяют только две, а именно ««2 У(х) = —" 1« — з|п х. На этих экстремаляк у [у[= [ у' (х) с(х= [ — сазаках=!. 2 Г 2 о о Пример 4. (Задача Кельвина.) Пусть плоскость ХОУ покрыта массой с непрерывной плотностью И(х, у) и пусть на плоскости дана кусочно-гладкая кривая С' и на ней две точки Рз и Рз Характеристическое уравнение «'-Л = О нлн «ь з = ш ) Л. Ясно, « что Л должно быть меньше нуля, так как если допуститгь что Л>0, то общее решение уравнения (9) будет иметь вид у= С~а "+ С,е |«~х и граничные условия у(О) у(п)=О будут удовлетворяться только при С, = О, С, = О, т.
е. прн у(х)ем О. Но в таком случае не бу„.ет выполняться условие у'(х) с(х = 1, Аналогично в случае Л = О решением уравнения о Эйлера (9), удовлетворяющим заданным граничным условияи будет функция у (х)= — О. Поэтому считаем Л(О, так что «,э=ч = Ш )« — И и общим решением уравнения (9) будет у = = С, гйп)« — Л х+ С, сов[ — Л х. Условие у (О) = 0 дает С, = О, а условие у(н) =О дает — Л= Лл (Д = 1, 2, ...), Итак, у(х)= = С, з|п йх, где С, пока не определено. Воспользоваашйсь условием связи ~ у' (х) с|х=1, получим о $ э! нсловнын зкстрвмум !09 Среди всех кривых заданной длины 1, соединяющих точки Рг и Рз, найти ту, ноторая вместе с дугой РгРз кривой С ограэ ничнвает область 0 с максимальной массой, Точки Рг и Рз моа гут совпадать. Р еще н н е.
Введем функцию У(х, у)= ~р(х, у)Ых. Тогда, согласно формуле Грина дУ Ь О т где контур Г состоит из кривой й и участка РгР~ данной кри- вой С. Интеграл вдоль этого послелнего участка имеет известное значение, которое мы обозначим через К Поэтому, считая, что кривая Е задана параметрически полу гаем Ц р (х, у) г(хну= ) У(х, у) у Ж+тТ. Задача свелась, таким образом, к нахождению максимума функционала г, 1 =~У(х,р)уд1 прн условии, что ~ Рг ха + уз д1 = 1, га Введем вспомогательную функцию Р = Уу+ Х )/хз+ 92 так что уравнение Эйлера в форме Вейерштрасса будет иметь вид ! ! дУ г !ь дх ' и воспользуемся Имеем дУ Р хя дх х= х(1), 1 <1<!о р=у(1), вейерштрассовой формой уравнения Эйлера, Рхх Р = —" ( х з + р з ) !гд н экстркмум оункционалов нлн, учитывая выражение для функции У(х,у), 1 р(х, у) л где г — радиус кривизны искомой кривой, В случае, иогда р(х,у) = сопя!, получаем, что кривизна искомой кривой постоянна и, следовательно, экстремалями являготся окружности.
Ясно, что оии доставляют функпионалу Хь максимум. Изолерихгегрическими задачами называют также такие вариационные задачи, в которых требуется определить экстремум функционала ! (и) = ~ Р(», Уи Уг... У, Уг, Уз... У )а(» хр при наличии так называемых изопериметрических условий ~р(» У! Уз ''' Ул У! Уз ''' Ух)Р» 1! (!0) (1Ц «р (! = 1, 2, ..., т), где !! — постоянные. Для получения основного необходимого условия в изопери. метрической задаче о нахождении экстремума функционала (10) при наличии связей (11) надо составить вспомогательный функ.
ционал хр !р ри рр,р- ( (р+ ~ я,р,) р*. хр ! ! (!2) где )р! — постоянные, и написать для него уравнения Эйлера. Произвольные постоянные Сг, Сг ..-, Сг» в общем решении системы уравяений Эйлера и постоянные йн )гг, ..., ) определяются из граничных условий Уа(хо) = Ухе Уа(х!) =Уа! (и = 1 2 ° °, и) и из нзопсриметрнческих условяй (11): хр ~61<И=!! (! = 1, 2, ..., т). П р и мер 5. Найти экстремаль в нзопериметрической задаче об экстремуме функционала Х [у (х), »(хН = ~ (у' +»' — 4х»' — 4») Их, с у(б)-б, »(б) =б, у(!) = 1, «(!) = 1, УСЛОВНЫЙ ВКСТРЕМУМ врн условии (13) (у'з — ху' — а' ) г(х = 2. Р е ш е н ие.
Составляем вспомогательный функпионал ! Ф = ~ [у' + х' — 4хх' — 4х+ Л(у' — ху' — хы)~ йх о и выписываем для него систему уравяений Эйлера — — (2у' + 2Лу' — Лх) = О, з) ох Ы вЂ” 4 — — (2Х' — 4х — 2ЛХ') = О, ззх решая которукь получим Лхз+ 2С,х У(х)= 4(1+Л) +Сз С.
х (х) = 2 (! Л) + Се Граничные условии дашт ЗЛ+ 4 С!=, Се=О, Се=2(1 — Л), Сз О, так что Лх'+ (ЗЛ+ 4) х У («) =,! (! х(х) = х. Для нахождения Л воспользуемся нзопернметрическим условвем (!3). Так как у'(х) = , а а'(х) = 1, то по2Лх+ ЗЛ+ 4 4(! + Л) лучаем [(2ЛХ+ЗЛ+4)з (2Лх+ЗЛ+4) х 1б (1+ ЛР 4(1+ Л) о откуда после простых, но громоздких выкладок будем иметь уравнение для определении Л: — (23Л'+ 46Л+ 24) = 48 (Лз+ 2Л+!).
1 3 экстрвмум оннкннонллов !гл. п 112 1О 12 Отсюда Л, = — — и Лз — —. Подстановкой в (13) убе. 1! !1' 12 ждаемся, что Л, — — изопериметрнческому условию не удо- 11 1О влетворяет, а Л, = — — удовлетворяет. 11 Искомая акстремаль определяется уравнениями ух — 5х' р(х) = 2 а (х) х. Пример б. Пусть стержень длины ! заделан в точках (хь ус) и (хо уг).
Из теории упругости известно, по потенциальная знергня стержня в деформированном состоянии пропорциональна интегралу, взятому вдоль стержня, от квадрата его кривизны. Примем за независимую переменную длину стержня а, отсчитываемую от точки (хира), и обозначим через 0(з) угол, образованный касательной к стержню с осью Ох. Кривизна будет выражаться производной 8' (з) и интеграл, экстремум кото. рого ишется, имеет вид з = ) (8'(з))'с(з.
о Известно, что огх = соз 8 с(з, Лу = а!п 8 г(з, значит, мы имеем следующие уравнения связи: 1 созйг(з=х,— хз, ) з!пбг(з у,— рм о о (14) Кроме того, зацелзнность стержня равносильна заданию функция 8(з) прн з = 8 н з = 1; 8(0)=а, О(!)=Ь. (15) Составим функцию Лагранжа Ф (8, 8 ) = (8 (з)]'+ Л, соз 8+ Л, з! и 8. Введем новые постоянные ~"',+, И-С+ УЛ,'+ Л,'. С+ ~г'Л', + ~4 Функция Ф не содержит независимой переменной з, а потому можно сразу выписать первый интеграл уравнения Эйлера: 8' = С+ Л, сов 8+ Л, з1п8. (18) услОВный экстрнмум пз и вместо 0 введем новую переменную 0 — 0 2 Теперь ((6) приводится к виду о(ф рта — = — р ! — )о' а(п' ор аа 2 \ где 8, агс(я —.
ро ло' откуда получаем 2 ~ Ир '= г- ", . +то. ) й и р'! — аоа!поф Постоянные й, 'ао, Оо н ао должны опредещйься иа условий ()4) н ()5). Декартовы координат!о точек стержня находятсн так: Их= саввах= сов (2ф+ Оо) о(а, о(у = а!о Она=о!о (2ф+ Оо) о(а, нли в силу того, что ь= 2ч до юпо ф получим 2 соа (2р+ О,) „2 ып (2ор+ 0 ) ах — — орф, ау = )гл()-Яомп'ф) ' Р'и(! — х оы ф) откуда х и у определяются прн помощи квадратур. Найти экстремали в следуюшнх изопериметрических задачах.
166. Задача о положении равновесия тяаселой однородной нити под действием силы тядсести. Среди всех плоских линий длины й концы которых лежат пзаданныхточках Мо (хо, уо) и М, (хн у,),найти ту, у которой ордината центра тяжести минимальна. ! 167. У]у(х)]=] у' (х)йх, у(0)=1, у(!)=6 о ! при условии ~ у(х)йх=3.
о ! 168. У ]у (х)] = ] (х + у' (х))о(х, у (0) = О, у (1) = — О, о ! при условии ] уа (х) йх = 2. о экстгкмум ФуцкцпО!!хлои [ГЛ. !! 114 4' 1 169. У(у(х)!= ] у' (х)с(х, у(0)=0, о ! при )словпи ] (у(х) — у (х)1с(х — —. о 2'. Вариационаой задачей на условный экстремум является также задача 7!агранжа нахождения экстремума функционала 7(уь ..., у ] при условии, что на функции, от которых зависит функционал 7, наложены некоторые связи.
Задача ставится так. Найтя экстремум функционала х, ] р(х у! ' ун у! ° . ун)с!х у (х„)=у . у (х!)=у! ()=!...„н), прн наличии условий !рг(х у! ' у„) = О (! = 1, ..., яи и< и), (!8) которые считаются независимыми. Те о р ем а. Функаии у!, уг, ..., у„, реализующие экстремун функ!(искала (17) при наличии условий (!8), удовлетворяют ири соответствующем выборе множителей Л!(х) (! 1, 2..., т) уравнениям Эйлера, составленным для функционала к~Г ю г- ! (гчЪ г,ч,]г*. х, !=! г Ф вЂ” — Ф,=О е! йх е' ! и р,(х, уи ...,у)=о (1=1, ..., ). Уравнения !р = О можно считать уравнениями Эйлера длв функционала 7 если аргументами функционала считать не толы!о функции уз, ух, ..., ун, но и функции Л~(х), )з(х), ..., Л (х).
П р н м е р 7. Найти кратчайшее расстояние между точкзчи А(1, — 1, 0) и В(2, 1, — 1), лежащими на поверхности 15х — 7у+ + а — 22 = О. Обозначим для краткости Р+ ~и~~~ Лгф =Ф(х, уп .. „у„). !=! Тогда функции Л, (х) и у,. (х) определяются из уравнений Эй- лера УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ 115 Решение. Известно, что расстояние между двумя точками А(хр, ур, гр) и В(кь у), г)) на поверхности )р(к, у, г) = 0 определяется по формуле к, ! = ) У! + у' + г' с(ю к, где у = у(х), г = г(х) .
Надо найти минимум ! при условии )р(х, у, г) = О. В нашем случае хр 1, х,=2, )р(х, у, г) =15х — 7у+ г — 22. Составим вспомогательный функционал )' -(1 ) р)о р ".)))))Б* — у ). * — )2)!р к ! и выпишем уравнения Эйлера для него: ~ У1+ у" + г" "" ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
