М.Л. Краснов, А.И. Киселев, Г.И. Макаренко - Вариационное исчисление (Задачи и упражнения) (1118008), страница 25
Текст из файла (страница 25)
«(у р бр «У гэ з Ф - э «!х $ х'+у' — р' 196. — = —, — О, — —, — = 2у,. !97.— «(У«Р«««Р««(уз Рз «(рз «зу«Р1 «(х 2 ' «(» ' «Ь 2 ' «Ь ' '«(х 2У«' 3 2 «!Уз Рз «)ЫЫ«)рз Рз 2' «(х 2у «)х 4у« «(х 4уз «(Уз — «!Р««(рз — = — Ур, — =2х, — 0; а«х з ««х ««х ) Рзз — 2», — О. «)Р««(рг «!х ' «(х 198. — "' о«» ««У«Р« «(х 2 ' р« 2 ' 200. у'= (пзх 199. Уз С,хз ( С 20!.
х=С, Х ду хз — х — 1 + Сз 202. На экстремали у= У()т(у) - с', 5 достигается сильный минимум: ппп Х вЂ” —. 203. Р(х у) 4' , Экстремали — полуокружности у у С! — (х — Сз) уз — х' з« 2ху 07ВЕТЫ Ы УКАЗАН*Я' 187 „2„0*; щие через начало 0 (О, 0); поле — верхняя полуплоскость. 204. Дуга окружности с центром в точке 0(0; О), проходящая через точку А42 (х2, у2) дает сильный минимум. 206.
хг ( — ) С. /у! (,х) 206. Эллипсы Зхз — 8ху+ 6уг = С. 207. хз+ 2уз — Зху'-2хгу=С. 208. (= (2 !+у'. 209. ( ху У у'. 210, (=хуу". 211. (= у 1 — + —,) (х у + !22). 212. Ценная ливия. / А 2!3. Указ ание. Интеграл действия ! = ~ р' — +24 Х ~l 02 х гу Х )2 р'+ р'2(42. 214. Траеутории — зллипсы — + С 20 — С 2 соз !) 22пт 6 зй х ху= —. 2!3. Точное решение у= — — х, )'"С (20 — С) Ь з)2! 2!6.
Точные решения, а) у — О, б) у= х. 217. Точное решение 1 2 25)2 х у = — (х' — х). 218. Точное решение у = — — х. 219. Ук а- ,2 з]2 2 з а н и е: приближенное решение искать в виде у„(х) = (1 — х') 7 а„х . Точное решение у=сов —.
220. Ука- 2 22 пх 7! 2 в=с з в н н е: в качестве координатаой функции взять ху; тогда Ь' — а' и, =,, ху. 221. Указание: в качестве координатных Ьз+ а' функций взять 2рс (х, у) = хз+ уз, ~р2 (х, у) = ху (! — х — у), 222(х, у) = ху (! — х — у), ..., 4л (х, у) = х"у(! — х — у). Тогда хз (х, у) = ха + уз + ху(! — х — у) (3,0401 — 0,0562(х+ х')]. 222. У и аз ив не: первое приближение искать в виде я2 (х, у) = х'! ~у' — — ) а (х). Тогда и, (х, у) = — — 11 — — ) ! у' — — ) . 3 ) 3 7 1 '22'1 — 3' 2 3' 223.
х, (х, у) = — ~уз — — х') ( х — — х ' — !), з )(, 1-з' 1-з 224. Л„=1+ »2»2, у„(х) = св )' 2 з|плпх (л= 1, 2,...). !п22+ !»2»2 ~ !и 2 1 х) 226. Лл= пз Ул(х) =ж, 226. Лл— )22!и У 2 ггх 25+ 4лгп' )' 2 ып(лп!п х) ° Ул (х) (л=1, 2, ...) Лл = 1 — л ул(х) ж р' — з1пля (»=' 1, 2, ...), /2 л ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ 228. ! пп!п(!+ а) ! 13 ! па 2 + 4 лепт л 4!па2 ю Ул( ) г )' 1п У2 )Х1+х (л = 1, 2, ...) 33 229. Берем у=! — х', поаучим Х, ( — '. Точное значение 138 ' 1 А, = —. 239. Берем у = х (1 — к), получим Х, - !О. Точное значение Х,=п~.
231. Х~ — — 10; точное значение Х( — — и . 232. 31=0,493. 233. Х, 6; х,(х, у) а(ха+уз — 1). ЛИТЕРАТУРА 1. А х и е з е р Н. И., Лекции по вариационному исчислению. Гостехиздат, 1955, 2. Бе р н ш те й н С. Н., Об уравненвях вариацнонного исчисления УМН У! Н (!94!). 3. Гельфанд И. М., Фомин С. В., Вариационное исчисление, «Наука», !969, 4. Г у р с а Э., Курс математического анализа, т.
1Н, ч. 2, ОНТИ, 1934, 5. Г ю н те р Н. М., Интегрирование уравнений с частными производными первого порядка, ГТТИ, 1934. 6. Г ю и те р Н. М., Курс вариацнонного исчисления, Гостехиздат, 194!. 7. Гюнтер Н. М., Кузьмин Р. О., Сборник задач ио высшей математике, т. Н1, Гостехиздат, 1947. 8. Л ем и д о в в ч Б. П., Сборник задач и упражнений по математическому анализу, «Наука», !972. 9.
Канторович Л. В., Крылов В. И., Смирнов В. И., Вариацнонное исчисление, М., «Кубуч», !933. 10. Канторович Л. В., Крылов В. И., Приближенные методы высшего анатиза, Физматгиз, !962. 11. Киселев А. И., Краснов М. Л., Макаренко Г. И., Сборник задач по обыкновенным дифференциальным уравнениям, «Высшая школа», !967.
12, К ол л а т ц Л., Численные методы решения дифференциальных уравнений, ИЛ, 1953. 13, Кудря в цен Л. Л., Математический анализ, т. П, «Высшая школа», !970. 14. К у р а н т Р., Г ил ь 5 ер т Д., Методы математической фи. вики, т. 1, П, Гостехиздат, 1951. 15 Л а ар витье в М. А., Л ю стерн и к Л, А., Курс вариационного исчисления, Гостехиздат„ 1950. 190 литература 16. М их ли н С.
Г., Прямые методы в математической физике, Гостехиздат, 1950. 17. Мы шкас А. Д., Лекции по высшей математике, «Наука», 1969. 18. Рождестве нсний Б. Л., Лекции по математическому аналнзу, «Наука», 1972. 19. См и р и о а В. И., Курс высшей математики, т. 1Ч, Физматгиз, !958. 20. Толстов Г. П., Курс математического анализа, т.
11, «Наука», 1966. 2!. Нл а ф Л. Я., Варнационное исчисление и интегральные уравнения, «Наука», 1970. 22. Шилов Г. Е., Математический анализ (Специальный курс), «Наука», 1970. 23, Эл ьсгопьц Л. 3., Дифференциальные уравнения и вариа' цнонное исчисление, «Наука», 1969. ОГЛАВЛЕНИЕ Г л а в а П1. Прямые методы вариационного исчисления 6 13. Конечно-разностный метод Эйлера 9 14.
Метод Ритка. Метод Канторовича 6 15, Вариационные методы нахождения собственных чений и собственных функций . 155 . !55 157 зна- 164 178 189 Ответы и указании Литература Предисловие . . . . . . . . , . . . . . . . . , . 3 Предварительные замечания . .
. , , , 5 Глава 1. Экстремум функций многих переменных.... 7 1. Безусловный экстремум,...,..., ., 7 9 2. Условный экстремум ............ 15 Глава П, Экстремум функционалов....,,... 22 6 3. Функционал. Вариация функционала и ее свойства 22 6 4. Простейшая задача вариационного исчисления.
Уравнение Эйлера.......,..... 46 6 5. Обобшения простейшей задачи вариационного исчисления........,....,,, 61 6. Инварнантность уравнения Эйлера . . . . . . . 73 9 7. Поле зкстремалей . . . . . . , . . . . . . 76 8. Достаточные условия экстремума функционала , . 88 ф 9. Условный экстремум . . . . . .
. . , . . . 103 !О. Вариапионные задачи с подвижными границами . 119 6 11. Разрывные задачи. Односторонние вариации . . . 131 6 12. Теория Гамильтона — Якоби. Вариационные принципы механики , 140 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
