М.Л. Краснов, А.И. Киселев, Г.И. Макаренко - Вариационное исчисление (Задачи и упражнения) (1118008), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Общее ре.пение уравнения Эйлера даняого функционала дйг А найдем из соотношения — = †, где А — произвольная по- дС 2' стоянпая. Имеем х ! — à — — ! х+Р'х' — С(+ 4)хз С 2 +— 4 (х+ ~ х~ — С) Ргх' — С 4 Р у'+ С вЂ” + + + — !п ~ у+ Ргу' + С ~+ 1 1 А 2 4 (у+ )/уз + С) Ууз+ С После несложных упрощений получим у+)гу + С ) у+) у'+С х+) х' — С х+)'хз — С откуда окончательно будем иметь ! — Аз У Аз+ 11' х' — ху — у' = С ~ А 2А Это — семейство гипербол. Найти экстремали следующих функционалов: 199. У = ~ худ/у'г(х.
х, а 200. г = ~ хуу' с(х; у(1) = О, у(е)=1. ! (47 ТЕОРИЯ ГАМИЛЬТОНА — ЯКОБИ 4 (з! к, 201, У = ) 6(у) 1(г1+ у' цгх. х, 202. Найти минимум функционала ! У = ~ ( — у' + уу'+ у'+ у) (Ух, о если значения на концах интервала не даны. 208. Найти функцию поля р(х, у) и само поле зкстремалей, проходящих через начало координат, функционала Гх а! 1 . ( >О). (о, о! 204, Среди линий, соединяющих прямую х = О с точкой М,(х„ у,), Где х, > О, у, > О, найти ту, которая дает минимум функционалу х, (Ух (у > 0). 0 Пусть имеется функционал к, l(р1 ) Г" (х, у, у') г(х х, и дано его поле зкстремалей у = ф(х, С).
Тогда в каждой точке поля известно направление трансверсали полн, проходящей через эту точку. Все трансверсали поля получаются как решения дифференциального уравнения первоге порядка: Р„, (х, (р (х, С), ф„ (х, С)) †„ О (х, !р (х, С), !р, (х, С)1, где вместо параметра С, определяющего экстремали поля, надо подставить его выражение через координаты точек поля. Здесь Н(х, р, р) — гамильтониан.
П р и и е р 5. Найти трансверсали для поля экстремалей у = Сх функционала к, ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛОВ !Гл, Ц 148 Р е ш е н и е. Находим гамильтониан данного функционала. Имеем Р=у', * Р,=йу' (и„,„, 2 ~О). О =(- у' + 2у' ° у') ~ Трансверсалн получим, решая дифференциальное уравнение Р, — „Н~ и' х пу у=сх Х ~у=22'=2С где вместо С надо подставить его выражение через координаты точек поля С = —.
Имеем у Так как С Ф О, то 2 — =С или 2 — —. Отсюда находим, уу иу у Пх с)х х что семейство трансверсалей у'= Сх — параболы. 205. Найти траисверсали для поля зкстремалей у =Сх фуикциоиала к, 206, Найти траисверсали для поля зкстремалей у = х+ С функционала хр У= ) (ху" — 2уу")22х. х, 207. Найти траисверсали для поля зкстремалей ха у = х — — функционала 1 = ) Угу (! — у' ) сзх (С ) О, х > О, у ) 0). Ъ'~ Полагая р = Р ., найдем у' = —. Тогда Р и" 2у' ~ — = — ~ и.ти СХУХ 4 22С У = 1 Р (у') г)х. 2С вЂ” = Сг. ду йх (гл. и экстРемум Функционалов '50 Уравнение (9) для нахождения искомой функции Р имеет ччд Р— г — = х'+у дг ! дг,) (10 ) Продиффереипируем по 2 обе части уравнения (10): дР дтР дР дР дзР дг с(гз дг дг дг' .
/ з+ ~дР)' )/ "+ у — ~ — ) дР Разрешая зто соотношение относительно производной дг айнем дР 2) хз-(- у' дг ) !+2' Подставляя (11) в (1О), будем иметь 2 угх'+ ут )' ! + 2 =~~ха ! уз) !+ —,з Таким образом, искомая подмнтегральная функция имеет вид у= ~у" +у'~' +у' В следующих примерах найти функционалы, если известны их уравнения Гамильтона — Якоби: ~~8' ( д ) + ( д ) 209.
4 — ° — =х у. дйг дйг дх ду дзР отбрасывая случай, когда — О (он дает обшее решение). дгз :олучим ду дг ТЕОРИЯ ГАМИЛЬТОИА — ЯКОБИ $ !2! ( дх)+(й д ) 3'. Вариационные принципы механики. а) Принцип Гамильтона — Остроградского.
Пусть имеется система и материальных точек А(»(х», у», а») «г = 1, 2, ..., н), массы которых соответственно равны лч» (й = 1, 2, ..., а). Положим, что движение системы подчинено связям !р)(х, у, х, !) =О (! 1, 2, ..., нл), где а!» н, (12! н происходит под действиел! сил Р»(Х», У», Л») (А = 1, 2, ..., л), имеющих потенциал (силоную фуннцию) 0 = 0(хы уы х», !): дО га = —. = д,' дс» !'а = —, ду дУ Ха= —, дха ' Кинетическая энергия этой системы будет равна т = — т гна [х;+ у, + за).
Ъ~ ° т 2 .2 а=! у= ~(т+П)ж. (13) Каждо»!у допустимому движению системы соответствует За функций х»«), у»(П, х»«) (й = 1, 2, ..., л), определенных в промежутке [!ь, !ю], удовлетворяюших уравнениям (12) и имеюших заданные значения на концах промежутка «а, тл], Таким образом, имеем вариационную задачу со связями (!2) и закрепленными границами. Для решении этои задачи состанляется вспомогательная функция Лагранжа Р у+и+~А!«)ф, )=! Пусть из некоторого положения А, соответству!ошего моменту времени ! = 1», эта система переместилась к моменту времени ! = (! в положение В.
Из всех нозможных перемещений системы из А в В выбирается класс допустимых движений, а именно тех движений, которые совместимы с заданными связями и в заданный промежуток времени [!ь, !л] переводят систему из А в В. Действительное движение системы из положения А в поло. жеане В удовлетворяет необхолиыому условию ЬУ = О экстремума интеграла г, (гл. и ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦНОНАЛОВ 152 н дли нее выписывается система уравнений Эйлера — Остро градского: чсчт д!р! т х — Х вЂ” ь Л,.
(!) — =О, ~1 ! дх 1=1 ъ т дйэ! гл д — У вЂ” ~~ Л (!) — =О, а ь Ь нге' ! др ! ! (14) т др аха-Х -«~, й (!) — =О. 2й | дх ь 1=! Уравнения (14) совпадают с дифференциальными уравнениями дейстпительного движения системы. б) Принцип наименьшего действия в форме Лагранжа. Пуст~ связи гр! и потенциал (Т ие зависят от времени !. В этом случае имеет место интеграл энергии Т вЂ” У = й = сопз1.
Интеграл называется действием. Из интеграла (13) следует, что с, ~ (Т+ и) д! = 2 ~ т д! — ~ й д!. гь ьь Для действительного движения, по принципу Гамильтона— Остроградского, интеграл действия должен иметь минимальное значение: Т = ) Т иь! = т!и. Принципу наименьшего действия можно гридать форму Якоби: )' 2 ((' + Ь) дз =пэьп (дз — дифференциал дуги у), в которой исключено время. 3 а и е ч а н и е 1. Здесь счнтаютси допустимыми движениями такие, которые удовлетворяют уравнениям связи фт(х,у, х) = О (! = 1, 2, ..., гп) и уравнению Т вЂ” ьг = 6 с тем же самым звачением й, что и для действительного движения, и которые имеют ТЕОРИЯ ГАМИЛЬТОНА — ЯКОБИ $ !э) !63 +2 ~~ 61 1=! +2 !) Ь! 1=! +2~~) 61 1=1 дяг! дх д(1 ш х дх ь д(7 ш у ду дф1 дуь ' д(1 ш» д» А дф ! д», ' П р и м е р 7.
Исходя из принципа наименьшего действия, найти траекторию магериальной точки (единичной массы), движущейся под действием силы тяжести. Р е ш е н и е. Направим ось Оу вверх, тогда потенциал силы тяжести будет равен и=-уу. (!5) Согласно принципу наименьшего действия на искомой траек. торин у ингеграл 7= (')г2((!+ Ь) дз (!6) т должен иметь минимальное значение. Следовательно, траектория точки будет экстречалью функционала (!6).
Подставляя (!5) в (!6), получим », ()7) Х) Уравнение Гамильтона — Якоби имеет вид дйт Г 1 дйг !а — 2Ь вЂ” 2ду — ! — ) 0 дх ( ду ) или ~ — ) + ( — ) ~2(Ь вЂ” уу), фиксированное начальное и конечное положения и фиксированный начальный момент времени 1ь Конечный момент времени для них не фиксирован. 3 а м е ч а н и е 2. Потенциальная энергия вхолвт не в интеграл, а в дополнительное условие Т вЂ” (1 = Ь. Составляем вспомогательную функцию Лагранжа г" = —,Т+ — ((1+ Ь) + ~~ Ь(ф1. ! ! ч 1=! Затем пишем уравнения Эйлера — Остроградского нашей эа. дачи, которые являются'уравнениями дейсгвительного движения: ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛОВ )гл, и 154 Вго полный интеграл будет аг = Ах+ ~ 1' 26 — 2ду — А'ду = ! = Ах — — 127г — 2уу — А') Л+ В, 3 Зд где Л и  — произвольные постоянные.
Накодич зкстремалн функдионала О7): А 2 л х+ — 12А — 2ду — Ат) Ь = С у или Ь А' у У= — — —,1х — С)т; Л н С=гопак 2у 2А« В частности, зкстремали, проходящие через начзло координат, найдем из условпя у10) = О. Получаем однопараметрнческое семеиство парабол у 172А А т 2А' А х.
212. Найти траекторию движения точки в плоскости под действием силы отталкивания от оси Ох, пропорциональной расстоянию точки до этой прямой и направленной параллельно оси Оу при условии, что ннтеграл живой силы имеет внд — — — =О, нсхо- 2 2 дя из интеграла действия «2 Х = ) у )г 1 + у' с1х гу > 0). «, 213.
Материальная точка описывает окружность р = 2Й созгр (р, ф — полярные координаты) радиуса й гг под действием центральной силы — . обратно про. рз порциональной пятой степени расстояния от центра, находящегося в начале координат. Показать, что на любой дуге этой окружности ( — — «р, ~~<р~(гр, < — ) интеграл действия достигает сильного минимума.
214. Изучить движение материальной точки под действием притягивающей центральной силы, пропорциональной расстоянию от центра О, исходя из принципа наименьшего действия и применяя метод Гамильтона — Якоби. ГЛАВА 1П ПРЯМЫЕ МЕТОДЫ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ $13. Конечно-разностный метод Эйлера Пусть дана простейшая вариационная задача: найти экстремум функционала ь У(у(х)] = ( Р(х,у, у') гЬ! у(а) =А, у(Ь) =В. (1) а В методе Эйлера значения функционала (1) рассматриваются не на произвольных, допустимых в данной вариационной задаче кривых, а лишь на ломаных, составленных из заданного числа н прямолинейных звеньев, с заданными асбциссами вершин Ь вЂ” а а+ ох, и+ 2 Ах, ..., и+ (и — !) ох, где ох= —. На этих ломаных функционал 2(у(хЦ превращается в функцию Ф(уь уе, ..., у„,) ординат уь уь ..., у, ~ вершин ломаной.
Сзрдинаты уь ум ..., у ~ выбираются так, чтобы функции Ф(уь уи ..., у,) достигала экстремума, т. е. они определяются из системы уравнений дФ дФ дФ вЂ” =О, — О,..., — О. ду~ дуз ' дул- ~ (2) У(у(х))= ~(у" +2у)дх; у(0)=у(1) =О. о Полученная ломаная является приближенным решением вариационной задачи (!). П р и м е р. Найти приближенное решение задачи о минимуме функционала 156 пРямые методы ЕАРНАЙИОИИОГО исчисле[[ия [Гл. Ги 1 — О Решение.
Возьмем Лх — 0,2 н положим 5 уз у(0) 0 у» у(02) уз у(04) у, у(0,6), у,= у(0,8). Уз =у(1) =О. Значения производных приближенно заменим по формуле / I Уз+[ Уз уь-у (хь) Тогда у,-о у (о)= —, 0,2 у'(0,4) = у'(0,2) = о г У (0,6) = ь,2ь. У (0,8) = ' О »[[анный интеграл заменяем суммой по формуле прямоугольников ~ 1(х)»[х (1(а) +1(х,) + 1(хз) + ...
+1(ха з)) Ьх, а Будем иметь (Уз Уз Уз У»)=~Я +~ ') +гу»+( з ~) + +2уз+~ 02 ) +2уз+~ 02) +гу»~ 02, — — — +2=0, 1 д»Р У» Уз У» ог' ау, о,ог о,ог — — — +2=0, у, — у, у, — у, 0,2 дуз 0,02 0,02 02 дуз 002 002 — — '+2 О, 1»)бз Уз — Уз У» Уз 1 дЭ У» — Уз 0,2 ду» 0,02 0,02 — — — + — '+2=0 2У, — уз — 0,04, — у, +гу,-у,= — ОО4, — уз+2у,— у, — 0,04, — у, + 2У, — 0,04.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
