М.Л. Краснов, А.И. Киселев, Г.И. Макаренко - Вариационное исчисление (Задачи и упражнения) (1118008), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Будем иметь Дяя определения с, и с, получаем систему д/ / 16 64 ! / 32 5888 доз '15 45 / з(7 3465 / ' ) откуда, взяв меньший корень, находим Лг = 2,17?5. Принцип !'злая. Пусть имеем задачу о собственных зна- чениях Л (у) = — — ! р (х) — ) + д (х) р = Лт (х) р, / др1 дх ~ дх) агу(п)+(!гу'(о)=О, аз+(1т >О, азу (Ь) + Озр (Ь) = О, аз+ рз > О, (14) (15) где Р(х), рт(х), 4(х), т(х) непрерывны на (а, Ь); Р(х) >О на (а, Ь).
Функцию у (х) назовем допустимой (у ~ /?), если она дважды непрерывно днфференпируема и удовлетворяет краевым условиям (!5). Предположим, что для каждой допустимой функции у(х) выполняется условие: ) уй (у) дх > О. а В этом случае краевая задача (!4) — 15) имеет лишь действительные собственные значения Л. Задаче о собственных значениях можно поставить в соответствие следующую вариационную э а д а ч у: Условие существования ненулевого решения последней системы дает 52Л' — 1668Л+ 20?9= 0, $1в) сОБстВенные энАчения и сОБстВенные Функйии 173 среди всех допустимых функцнй у(х) таких, что Ь ~ г(х) утс(х) б, а (16) ~ рй(р) бх а найти такую, для которой = щ(п. г (х) рз лр а Пусть р = ф(х) есть решение этой задачи, Если Л~ есть минимальное значение, т. е.
если ~ уй (р) бх ) ф,Л(ф,) с(х а а Л, = пн(п ямо ь ~ г(х) уз с(х ~ «ф1бх то Л~ является наименьшим положительным собственным значе. вием, а ф~(х) — соответствующей ему собственной функцией. Если на допустимые функции, кроме условия (16), наложить еще одно условие б гф ну с(х = 0 Р (условие ортогональноств), то задача ) уЛ (у)с(х = ш)п ~ гр'1(х а Л1(~Л,ч ...
~ЛВ снова будет иметь некоторое решение ф,(х). Если Лз — соответствующее л1иничальное значение, то Лз будет следующим по величине (Лз ) Л~) собственным значением, а фг(х) — соответствующей ему собстяенной функцией, ортогональной к ф~(х). Вообще, если уже известны первые й положительных собственных эначенай !у4 пнямып мптоды влпилционного исчислинии (гл. гн и соответствующая им ортогональная система собственных функций ф,(х), ф (х), ..., ф,(х), то следующее собственное значение равно [ уЕ (у) Фх Лье, = щ1п нмо ~' гребя а причем теперь рассматриваются те допустимые функции у(х), для которых, кроме (!6), выполнены следующие дополнительные условия: г(х)фт(х)р(х)да=О (т=!,2,..., й). а Если в уравнении (14) функция г(х) >0 на [а,б), то для оценки сверху наименьшего положительного собственного значения )и часто используют следующее неравенство (принцип Рзлея): ~ ОЕ (у) бх а ь '[ грег(х а Пример 5.
С помощью принципа Радея оцепить л, для следующей 'краевой задачи: — р"=йр, д'(О)=О, р(1)-О. Р е щ е н и е. В нашем случае Е (р) = — р", т. е, р(х) ~ =1>0, д(х)ааО н г(х)= — ! >О на [0,1). О евнлно,а! О, [) 1, а = 1, [) = О, так что и! + р; = 1 > О, и'; + О,", 1 > О. В ккчсстас допустимой функции возьмем у(х) = 1 — х';согласно 5 Щ СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ И СОБСТВЕННЫЕ.ФУгшшц1 175 принципу Радея будем иметь ~ 2 (1 — хг) г(х ~ (1 — кз) г(х о о =Я' Отметим, что точное значение Л, = — ~ 2,4674, 4 В следующих задачах оценить наименьшие собственные значения: 229. — у" =Л(10 — хг)у; у( — 1) =у(!) =О. 230.
— у"=Лу; у(0)=у(1)=0. 7г!етод Канторовича (метод приведения к обыкновенным днфференциальпьш уоавнениям) также может быть использовав в задаче разыскания собственных значений и функций. Пусть, например, имеем ураннение в области 77 и пусть где à — граница области 77. Будем искать решение в виде гаг = ~ а (х) Фз (х, У) + та(х, У), а=! причем коордннатные функции грх(х, у) и неизвестные пока фуинции ад(х) выберем так, чтобы г, (х,у) обращалнсь в нуль всюду ва Г.
Функции мг(х), осе(х), ..., ам(х) должны удовлетворить системе уравнений ~ [Агш+ Лгм] <ра (х, у) г(у = О (й = 1, 2, ..., сп) (17) ох и обращаться в нуль при крайних зна ~синях аргумента. Здесь 77 — сечение области 77 прямой х = сопз1. Те значения 77, при которых система (17) имеет нетривиальное решение, дадут приближенную величину собственных значений, а сами решения дадут приближение к собственным функциям. ~ ЕЛ(у) дх о Лг< ~ гузг!х Ьг+ Ля= О г )т = О, 4 2,5.
16 пРямые методы ВАРИАниОИИОГО исчисления !Гл. 1Н Пример 6. Найти приближенно первое собственное зиаг чение и первую собственную функцию задачи бх+ Ля=о )Г О, где область 0 — пряиоугольпик: — а(х(а, — Ь(р(Ь. Р е ш еи и е, Ищем решение задачи и виде а, (х, у) = (р' — Ь') а, (х). Уравнение (!7) в атом случае примет вид ь ') (2аг+ (у — Ь ) а, + Л(у — ь ) а! ((и — ь ) гуу О или — Ьа +! — ЬЛ вЂ” — Ь1а О, 16 г а 716 з 8 з! 15 ' ( 15 3 а, (- а) =а, (а)=0.
(18) Общее решение (18) есть 5. -/ 5 а (х) = С, з!п )//Л вЂ” — ' ° х + С, соз 1кг Л вЂ” — ° х 2Ь' 2Ьг * Сг О Сгсоз )г/ Л а — О 5 2Ь' откуда ясно, что нетривиальное решение получится только, если 5 и //Л вЂ” — а (2Ь вЂ” 1) —. 2Ьг 1 (2Ь вЂ” 1)' и' 5 Л= (Еа) 2Ьг ' + — ° В частности, для Ь = 1 находим и' 10 Л= — +— (2о)' (2Ь)' вместо точного значения иг г Л= — + — ° (2а)г (2Ь)г ° Ошибка меньше 1,37з. Учитывая симметриго задачи и выбирая частное решение, полу- чаем й 1Н совстввннын знлчвнин исовстввннывоннкции 1тт Для первой собственной функнии получаем приближение 21(х к) (р~ Ь ) соз— за В следующих задачах найти приближенно первое собственное значение; 231.
ум+Лед=О, д(О)=д(Ц=О. 232. у» + Л (2 + соз л) р = О, у (0) = у (н) = О. 233. Найти приближенно первое собственное значение задачи стг+ Ля= 0, в|в=О, где область с) — круг единичного радиуса с центром в начале координат. ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ 1. а) )м!а=О в точке (0,0); б) )м,к=1 в точке (0,0); в) экстремума нет. 2, Экстремума нет. 3. )и,!и = — 8 в точках (рх2, — р'2) и (-)'2, р 2); в точке (О, 0) экстремума нет.
4. )„,!и = 0 в точке (О, 0); в точках окружности х'+ у'=! имеет местонестрогвймаксинум.5 )таз=УЗ в точке (1, — 1).6. (пнп 4 в точке ~ —, 1, 1). 7. )пнп — ! в точке (1,О). 8. )мы 11 (2' З)З 72л 2л! З)хЗ !л л! = — — в точке ( —, !' )мпх = — в точке ! —, — ). (3' 3)' пхе и+И 1 ) а 2 9. )мпх = ! л'+ и+ 2) при х, = х, = ... = х„ л'+а+2' 11. Нет. 13. Числа аь н Цэ должны быть коэффициентами Фурье 1 ! 1 функции ) (х). 14. (пнп — — в точках ( —, — =~! н 2 (,ф' 2 )х'2 / ( —. -'- ! 18 121 = 15 (пни= — в точке —, — ! 16 )пнп 4 в точ- !3 (, 13 ' !3 !' 4 !4 4 7! ках (2,2, !), (1,2,2) и (2, 1,2)! !мах=4 2 в точках( —, —, — ), а' ( ) ~ ) 7 4 4! /4 7 4! — — — и ( —, —, — ) ° !7 )мах=а .
18 )мы=( в точке ! —; — 1; !щах —— !1 в точке ! — —, — — ) ° 19 )пнп= — 9 (5 ' 5)' 5х 57 1 в точке ( — 1,2, — 2); )щах — — 9 в точке (1, -2, 2), 20. )щах =в 8 в точке ( —, —, — 1. 21. Указание. Искать минимум функ- (6 ' 6' 5/' и п 4Р б цин х = — (х" + рп) при условии х + у = 8. 22. с'. 23.— 2 19 )Г2 24. —, 25. Квадрат со стороной а=!7 Р'2.
26. Радиус 8 ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ Ь Ь 67. ЬУ= ~ Ьудх. 88, 61=2 ~ (убу — у'бу')1(х. а а 1 69. ЬУ = 2у (О) ° бу (О) + ~ (х Ьу + 2у' бу') дх. о 60. ЬУ ) (у'созубу+з!пуду')дх, о ь щ Гу ГУ д[ д[ д[ (! ду! дуз дуа 62. Ьсу [у, у) = 21 [Ьу, бу[. 68 бтзн (и! — зн 00((ЬР)З+ ЬЗР) Ь 66. б'у = ~ р бу!ь! Ьу!'1 дх, 0зР ду!з! ду!О а Ь,г=с 66, Ь 1 = ~ ~ ~Р (Ьг) + Р, Ьгба + ... С +Р (Ьг )~дхду, и з ~1 З1ЗЬ з!Уь а 1,Ь=! 1,Ь 1 а ь З=1 з;з 68. Ввести в рассмотрение функционал У [!р + ад[ = Ф (и) и воспользоватьсн нторым определением вариации. Требовавне 61=0 приводит к интегральному уравнению ~ У( (з, !) ф (з) с(з + ф (!) — [ (!) О. а 69.
Постуиая аналогкчно тому, как сделано в предыдущем примере, находим, что функциональное уравнение Эйлера, выра- 181 ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ жающее обращение в нуль первой вариации, имеет следующий вид: (рф')' — 9 (х+ 2) — 9 (х — 2) + 9 (х) + ) (х) = О. Это — смешанное дифференциально-разпостное уравнение. з5 (2 — х) 70. — (р9')'+ 49=((х). 71.
у= — хз. 72, у— зй ! 73. Две зкстремали 1 + (3 ш 2 )' 2 ) (2х — | )' у 4(У2 ш 1) 3 3 74. Две зкстремали у=ту (х+ |)', у= )''(3х — 1)'. 75. у= (С+ х) з|п х, где С вЂ” произвольная постоянная. 76. у | х 7 1, |3 = — [е "+ (1+ а) хе "— 11. 77. У= — х- — х'. 78. у= —,х- 2 б 6 ' ' б з —. хз+ 2. 79. у = |и х. 81, Интеграл не зависит от пути интеб грнрования; вариационная задача не имеет смысла.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
