М.Л. Краснов, А.И. Киселев, Г.И. Макаренко - Вариационное исчисление (Задачи и упражнения) (1118008), страница 22
Текст из файла (страница 22)
У2Ь 2. Постоянные С, и Сз находим из граничных условий а( — а) а(а) О, 1 что дает С,=О, С! = —, так что /5 а 2 с)г '~/ —— 2 Ь 1 а(х) =— 2 бе [бй ПРЯМЪ|Е МЕТОДЫ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ [ГЛ. Н1 Таким образом, получаем !в си ~сс — — ~ 2|(х, у) = 2 й 15. Вариациониые методы нахождения собственных значений и собственных функций Уравнение Штурма — Двувилля — — (р (х) у') + д (л) у = ау, а| (1) где р(х) м 0 имеет непрерывную произнодную, й(х) — непрерывна, при условиях у (а) = О, у (Ь) = О (2) для любого действительного или комплексного Х всегда имеет нулевое (тривиальное) решенне у мч О. Совокупность уравнения (1) и граничных условий (2) называют краевой задачей Штурма — Лиувиллл (1) — (2).
Те значения параметра Х, при которых краевая задача (1) — (2) имеет нетривиальные решения у(х) Ф О, называются собственными значениями, а сами эти решения — собственными функкиями данной краевой задачи. Уравнение (П есть уравнение Зйлера, огвечаюшее следующей задаче на условный экстремум: найти минимум функпио- нала э(у)= ~ (ру +чу) [» а (3) Для получения более точного приближения можно искать решение задачи в виде х,(х, у) = (Ь' — у') а, (х) + (Ь' — у')' аз (х). 222. Найти приближенное рсшениеуравнения Пуассона сзг = — ! в области с), являющейся равносторонним треугольником, ограниченным прямыми у=~ — х Кз 3 и х = Ь, обращающееся в нуль на границе этой области. 223. Найти приближенное решение уравнения [хг = — -1 в области с), являющейся равнобочной трапецией, ограниченной прямыми у= +- — х и х = 1, рсЗ 3 х = 3, обращающееся в нуль на границе этой области. 4 1щ сопстВенные знАчения и сОБстВенные Фуггкиии 185 при условиях (2) н условии Ь уг (х) г(х= 1.
а (4) Если некоторая функция у(х) будет решением этой вариационной задачи, то она будет и решением задачи (1) — (2), отличным от тождественного нуля в силу условия (4). Поэтому собственные зязчения и собственные функпии краевой задачи Штурма — Лиувилля называют также собственнь1ми значениями и собственными функпнями функционала (3) при условиях (2) и (4). Собственная функция у(х) называется норашрованной, если Ь уг (х) г(х = 1, а П р и м е р !.
Найти собственные значеаня и собственпьш функции функционала г (у) = ~ [(2х + 3) г р — у'1 па о (3) при >словиях р(О) =О, д(3) =О, !/г (х) бх — 1, о (8) Р е ш е и не. Уравненце Штурма — Лиувплля нлгеет вид Уравнение (8) подстановкой 2х + 3 = е' свалится к линейному уравнению ((!1], стр.
!43) с постоянными коэффициентами 4 —,+ 4 — '+()г+ 1) у=О. с(гр (О) Его характеристическое уравнение 4йэ+ 42+ )г+ 1 = О имеет корни 1 1 г— й,,= — — ш — у -~. 2 2 (1О) — р — — ((2с+ 3)'у') =)у г)х нлн (2х+ 3)' у" + 4 (2х+ 3) и' + (Х + 1) у О. (8) 1бб НРЯМЫЕ МЕТОДЫ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ !ГЛ. !Н Рдссмотрнм три случая. !) А < О. тогда общее решение уравнения (9) будет р (1) = С,е ' + С,е о, Граничные условия (6) дают С, З'+С,З'ь=О, С, ° 9»' + Сз9»' = О, откуда С, =О, С, 0 и у(х) — = О. 2) 2 = 0. Тогда Р (1) =- (С, + Сзс) Е ', а значат, у (х) = [С~ + С, 1п [(2х + 3)] ! ]"2х+ 3 Нз граничных условвй получаем С, + Сз !п 3=О, 1 С!+се!п 9=0, [ откуда С, = О, Се = О, а значат, у (х) = О.
3) А > О. Тогда й,,= — —.-~- ! — и общее решение урав- 1 .1А 2 2 пения (9); р(1) =е ' [С|сок — 1+ Сзз1п — 1). Р'А , Р'А з Переходя к переменной х, волучим С, соя~ — !п (2х+ 3)1+ Сз з1п ~ — !п (2х+ 3)~ 2 ] 1 2 (11) Граничные условия (б) дают С, соз [ — 1п 3] + С, з1п [ — 1п 3) = О, Сг соз [ — )п 9/+ Сз з1п [ — 1п 9) О. гр" Х 1, 1р"А 2 1 [~2 (12) где», и», — действительные числа, а значит, общее решение уравнения (3): у (х) = С,(2х + 3)»' + Сз (2х + 3)»'. $ !З) СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ И СОБСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ !Оу Система (!2) будет иметь нетривиальные решения, когда ее определитель р авен нулю: соз( — !п 3) Нп ( — 1п 3) соз ~ — 1п 9) з(п ~ — 1п 9) =О что дает 2 С„= ~ )' 1п 3 а значит ии 1п (2х + 3) ~ 2 !и 3 рч(х)=== ! (и = 1, 2, ...).
!' 1п 3 )' 2х + 3 В следующих задачах найти собственные значе- ния и собственные функции: 1 224. 7[у) = ~ (уз+ у')с(х, о у(0)=у(!)=0„) уз!!х ). о нли з!п (у Л 1п3 — — 1п3) О, т. е. з1п~ — !п 3) О, от- )'Л Л 1'г'Л куда —, (п 3 ли. Собственные значения будут: )'Л 2 4л'из Ли = тт- (и = 1, 2, ...). )п 3 Беря любое уравнение системы (12), например первое, и подставляя в него Л„вместо Л, получим С1 соз пи + Сз 51п пп О или С,( — 1)"=О, откуда С,=О.
Положив в (11) С,=О и ,!11 Ла= — получим собственные функции данной задачи 1пз3 ' рл(х) = Си пп 1и (2х + 3) ~ 1п 3 (и 1,2, ...). Р'2х+ 3 Козффицненты Со накоднм из условия нормировки з ) у~(х)1(~=1, о )бй нрямыи митоды влрийнионного исчислнния(гл, ~тг 225. Х (у) = ~ хзу' цгх у (1) = у (2) = О, ~ уз е[х= 1. 1 1 е 226.
У(у) =~ (6уа+ х'у') Ых, ! у (1) = у (е) = О, 227. У (у) = ) (у' — у' ) с(х, ) уздх=1. у (н) = у (2тт) = О, у (0) — у (Ц вЂ” О, ) у с[х — 1. о Собственные эвачения н собственные функция вариационной задачи (3), (2), (4) обладают рядом важных свойстг. 1) Если Лл и Л вЂ” два различных собственных значе:шя функционала (3), при условиях (2) и (4), а уе (х) и у (с)— соответствуюшне им собственные функции, то эти функции у~(к) и у (х) ортогональны, т. е.
2) Все собственные значения Л, функционала (3) вещественны. 3) Если Л есть собственное значение функционала (3), а у (х) — соотнстствуюшая нормированная собственная функция, то У [ул (к)1 = Лл 4) Наименьшее из собственных значений совпадает с мини.
мумом функционала (3) при условиях (2) и (4), 228, У[у] = ~ [Зуз — (х+ 1)зу' ~с(х, о ь ую (х) у„(х) Фх = 0 (т чь л). а е ~ утЫх=[. 1 й !з) сОБственные знАчения и сОБственные Функции 169 П р и и е р 2. Доказать нерааенстзо ~ у' (х) г(х ) ~ у'(х) г(х, у (О) = у (и) О. о о Решен ке. Найдем пнп ~ у' (х) бх при услоннях 7 о ~ у'(х) г(х 1, у(0) = у(ч) = О. о Уравнение Эйлера для функционала у(у) = ~ Ь" (х) — Лу (х)) Ь о имеет ннд у-+ Лу=0; у(0)=0, у(п)=0.
Собственные функции последней задачи суть у (х) = з!п их, а собственные значения Л = л'. Наименьшее собстненное значение есть Лг = 1. Поэтому, согласно свойству 4) пнп ~ у" (х) г(х = !. о Следовательно, для любой функции у (х), для которой ут (х) г(к = 1, иьгеем а ~ у" (х) г(х~ ~ у'(х) г(х. о о з!п х Это неравенство улучшить нельзя, так как при уг(х) =— )га имеем ~ у, (х) г(х = ) у! (х) г(х = 1. !ТО ппямын митоды ваниационного исчислнния 1гл, ги 3 а м е ч а ни е. Если ~ д'(х) г(х=йз ~ 1, то задача свое д (х) дится к предыдущей путеи введения функции х(х)= й Пользуясь экстремальным определением собственных значений, укажем способы их приближенного вычисления с использованием метода Ритца.
При этом следует иметь в виду, что метод Рнтпа дает для собственного значения приближение с избытком. П р им ер 3. Найти приближенно первое собственное значение задачи „- + Л д = О, Ц=д(Ц-О. Р е ш е н и е. Задача о минимуме функционала ! ) д' Фх ! при условиях ! и ~ д'(х) !(х=! — ! д(-Ц=д(Ц О является изопериметрической задачей и сводится к задаче о минимуме функционала ! у= ~ (д' — Л'дэ) Лх, для которой уравнение Эйлера совпадает с заданным дифференциальным уравнением д" + Лэд = О; д( — Ц = д(Ц = О Общее решение уравнения есть д(х) = Сг сов Лх+ Сз з(пЛх. Из граничных условий ваходим С,сов Л вЂ” Сз э1пЛ= О, С, соэ Л+ Сз з1п Л = О, (!3) так что условием существования ненулевого решения системы (13) является условие э!и 2Л О или пп 2 Таким образом, для первого собственного значения имеем Л! 1! — ! и основной тон струны точно дается решением й] пх и д соз —, Л= —; первый обертон д=зшпх, Л=п; второй 2' Зпх 3 обертон д соз — Л вЂ” л и т.
д. 2 ' 2 4 !И СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ И СОБСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ 871 Будем искать для сравнення приближенно четные решения '(четные тона струны) в аиде многочлена, расположенного по четным степеням х. Возьмем координатные фуннции в виде гр«(х) = = х'"-з — хз«(й = 1, 2, ...) и будем минимизировать функционал У на функциях у,п (х) = ~~ са!р (х). Ограничиваясь А=! а!8 16 у!(х) = с«Ф«(х), буде«! иметь У с ! — — — Лз), так что для !(3 Рб определения с! получасы дУ 78 16 2, ~У вЂ” Лз) О.
дс, ' (3 15 И так как дол!кно быть с«чь О, то Лз = 2,5. Беря в качестве у У = с!!Р! (х) + с«к«(х), найдем и для определения с! и сз получаем систему дс, 1 3 !5 ! з (, 15 105 1 дУ ! 16 32 з! У 176 :12 дс« ), 15 105 У (« 105 315 Условием сушествования ненулевых решений с, и сз последней системы является равенства нулю опрелелвтеля системы, что дает Л вЂ” 28Л + 63 = О, откуда Л! = 2,46744, 7. = 25,53256. Сравним найденные приближенные значения Л! и Лз~ с точным.
2 гита Точное значение Л! есть ~ — ! ~ 2,46740, точное значение Лз (,2) Гдп!з з есть ( — ~ = 22,20661, так чта полученное приближение дли Л, (,2~ весьма точно, в то время как для второго собственного значения получено грубое приближение. П р и м е р 4. Найти первое собственное значение задачи у" + Л(1+ х') у=О, у( — 1) =у(1) О. Р е ш е н и е, Возьмем в качестве координатных функций функции гр«(х) = 1 — х««(й = 1, 2, ...), очевидно удовлетворяющие граничным условиям. Принимая у (х) = с, (! — х') + сз (1 — х'), 172 ПРЯМЫЕ МЕТОДЫ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ (ГЛ. П! поставим задачу о минимизации функционала 7(у) 1 (р' — Л(1+ хз) рт) дх, -! для которого данное уравнение есть уравнение Эйлера.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
