М.Л. Краснов, А.И. Киселев, Г.И. Макаренко - Вариационное исчисление (Задачи и упражнения) (1118008), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Следовательно, уз глх+ и, у, ух+ у. !гл. и ЭКСТРЕМУМ ФУ»!КЦИОНАЛОВ !36 Зап»»шел» условие (11). Имеем гз у! о! )г ! + у! и! )г ! + у! г дР, Р— уев дуз Подставляя эти выражения в (!!), найдем 1+»! у! 1+ ! уз ,2 / ! + у, о, ! 1 + уг (!3) Пусть у — угол, образонанный касательной к линия раздела вточ.
ке с с осью Ох, а — угол левого луча с осью Ох, 6 — угол правого луча. Тогда бл =1" у, у! =!Еа, уз =»ПО и условие (!3) примет внд 1+ 1йа16 у ! +1Е61йу о, ) ! + 162 а оз )' ! + 16» () соз (у — а) соз (у — 6) о, где у — а и у — д — углы между лучами и касательной к линии раздела. Вводя вместо них углы ф н О между нормалью к линии раздела и лучал»и, падающиы и преломленныл», получаем япф о, — — = соп51, гаО т. е.
известный закон предал»пения луча света. 2'. Односторонние вариации. Ищется экстремуи функцно. нала (И) (!5) при условии у — »р (х) )О (или у — »р(х) ~0) (16) (ограничивающие условия могут быть н более сложного вида). В этом случае искомая экстремаль может состоять иэ кусков экстремалей, лежащих в области (16), и кусков границы у ф(х) этой области. В точках стыка указанных кусков искомая , дР Р,-у',—, ду', 1 ,2 оз)' !+Уз х, У (у) = ~ Р ( .
у, у') д , у (х,) = уь у (хг) ул экстремаль может быть гладкой, но может иметь и угловые точки. Условие в точке стыка имеет вид [В (х, у, у') — Г (х, у, ~р') — (ф' — у') У„, (х, у, у')[ [ = О. Если Р„,з, чь О, то в точке стыка М(х,у) экстремаль касается границы у = гр(х) области.
П р им ер 4. Найти кратчайший путь из точки А( — 2, 3) в точку В(2, 3), расположенный в области у л хл, Р е ш е н и е. Задача свод!пса к вахождению экстремума функционала 7(у]= [ 'у 1+у"( )бх (17) при условиях у~(хз, у( — 2) =3, у(2) =3. Экстреллалямн функционала (!7) являются прямые у Сл+ Сзх. В данном случае 1 [!+у" ( )[' и искомая экстремзль будет состоять нз кусков прямых АМ и А!В, касательных к параболе у = х', в куска МОЛ! этой параболы (рис. 24).
Обозначим абсциссы точек касании через х и — х (нспользуем симметрию задачи). В точке касания совпадают ордипаты и угловые коэффициенты прямой и каса-,Ю / тельной параболы, так что будем иметь С! + Слх= хз, ! (18) Сл = 2х. С другой стороны, касательная должна проходить через точку В (2, 3), следовательно, Рнс. 24. С, + 2Сз=3. (19) Иснлючая Сл и Сз из (18), (19), находим х' — 4х+ 3 = О, откуда хл = 1 н хл = +3. Второе значение х не подходит, Итак, х = Е Отсюда С, = -1, Сз = 2.
Искомая экстремаль 4 лй РАзрыВиыи ВАДАчи. ОдиОстОРОииик ВАРиАции 139 [гл, и экстремум Фуикционллов (единственная) есть ~ — 2х — 1, если — 2К;х( — 1, у ( х', если — 1(х(1, 2» — 1, если 1 ~( х (2. Ясно, что она доставляет функционалу (17) минимум. 191. Найти кривые, на которых может достигаться экстремум функционала 1о У (у)= ) у' а[х, у(0)=0, у(10)=0 при условии, что допустимые кривые не могут проходить внутри круга, ограниченного окружностью (х — 5)в+ ут = 9, 192.
Среди кривых, соединяющих точки А(а, уе) и В(Ь,у[), найти ту, которая дает экстремаль:[ое значение функционалу 7 (у)= ~ у У 1 — у'у" г(х и прн условиях д О, 1 — уту'т ~ О. 9 12. Теория Гамильтона — Якоби. Вариациониые принципы механики 1'. Каноническая (гамнльтонова) форма уравнений Эйлера. Уравненая Эйлера для фуакцнонала х!у у ° ° у 1= ) Р(х, у[, у„..., у„, у,, ут,..., у„)г[х (1) к, имеют вид à — — (Р .)=О (а=[, 2, ..., л).
(2) вв с[» нв ТЕОРИЯ ГАМИЛЬТОНА — ЯКОбИ $ гы 141 В случае, когда определитель Р ,, Р ,, ... Р , ° Ога! агяя игал Р ,, Р .. .,. Р ° ° "2"1 "2"2 агап ФО, (3) апи! "лги2 "л "л положим (4) Р, =р (»=1, 2, ..., л). к» т Из уравнений (4) можно выразить у» через х, Уг, Уз, ° ° . Улт Рь Рь ° ° ° Рп: У» = гР» (», У! Уз, У, !тг, !22, ° !зл) (5) Функция Н от переменных х, уь Уь °, Ул Рь Рь ° ° Рп определяемая равенством Р (х У! Уз Ул У!.
Уг г Ул) + + '~~ у»Р , (х, уг, ..., Ул, ут,..., у'„) , (6) »=! "» "» еп называется сомипьтокиапом для функционала (!). Гамильтопиан удовлетворяет следующим соотношениям: д(Х йу дН йр» — — — — — (»=1, 2, ..., и). (7) др» йх ' ду, йх Уравнения (7) называются канонической или сомильтопооой системой уравнений Эйлера (2); переменные уь уг...,, у, рь рг, ..., р называются каноническими переменными.
Замечание 1. Условие (3) для функционала 7[у]= ~ Р (х, у, у') йх дает Р ° ° ~ О на [хг, хг]. а'я' х, 3 а м е ч а н и е 2. Уравнения (4) разрешимы относительно т у» в целом на отрезке [хг, хг], вообще говоря, не однозначно. При выполнении условий теоремы существования неявной функции ил!ест место локальная однозначная разрешимость уравнений (4). П р и м е р 1. Составить каноническую систему уравнений Эйлера для функционала 7(ту!.У,.1-~ (2Угуз — 2уг+У! -Уз)й». о !42 ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛОВ [ГЛ.
И Решение. В нашем случае 1 ю 2 /2 /2 Г = Р (х, у!, УУ, ун ут) = 2У !уз — 2У, + у, — Уз . Полагаем Р,=рн У, Тогда / / Р! 2У!. Рз = 2У2 Здесь определитель У,У! У,У2 Р, ° Р У2У! У2У2 2 О ! = — 4 Ф О. Π— 2 с Рт Уз = 2 ' / Р! У! Находим гамильтониан данного функционала: Р~ Р. у'--— 2 2 2 2 2; Р! Рз (-2У!Уз+ 2У!+У! — Уз) Р, 2У! — 2Уьрз+ 4 4 ! 2 Р* 2 Используя соотношения (7), получим каноническую систему уравнений Эйлера: '(У! Р! .
с(У Р 1 ! !!» 2 ' г!» 2' ггР! г(Р2 — — 4У! + 2У2, — = 2уг с(» с!» здесь У!=У (»), у,-у,(х), Р,=Р,(х), !2,=Р,(х) являются неизвестными фуикцинмн от х. Пример 2. Составить каноническую систему уравнений Эйлера для функциовала з (У! У2~ = ~ У!Уз(» + У2+ У2) с(»' I / Разрешая полученные соотношения относительно у2, уз, найдем ТЕОРИЯ ГАМИЛЬТОНА — ЯКОБИ 4 !2] 143 Решение, Здесь Р у!Уз (» + у! + уз).
Находим частные производные Р '=Угуз 2 2 Ы! Р, = !!!Уз, 2 2 "2 Полагаем Р! У!У2 2 2 2 2 Рз = У!Уз Ы!и! Ы!Ыз [ О О [ Р ,, Р ,, [ О О ! Ы2Ы! Ы2Ы2 П р и и е р 3. Составить каноническую систему уравнений Эйлера для функционала 1 [у) = ~ хуу' г)х. Решение. Имеем Р = хуу', Р„, Зхуу' . ,! чз Положим р = Зхуу' . Отсюда У у' е У )/ Зху ' 22Г Зу Данный функционал имеет два гамильтониана: Н2-[-Р+УРы,)~ Р "'=" У З»Ы 3 ~ 2 / р! ~ 2хуу' 2 /р' Ы ~ы.,/ ЗРЗ У ху' Г З»Ы I Ф Эти соотношения не содержат производных у!, Уз неизвестных / г функций у! и уз, поэтому у! и уз нельзя выразить через переменные р! и Р„Следовательно, для этого функционала нельзя составить гамильтониана. В этом примере условие (3) не вы!шлниется ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦНОНАЛОВ 144 згл.
н В соответствяи с этим мы получим две канонические системы уравнений Эйлера: ! дх др У' Зху ' дх ду 3 1 Зху' ' / з дх 3 1Г Зху' ' Составить канонические системы уравнений Эйлера для следующих функционалов: 193. У = ~ ху~/ г!'агх. 194. У = ~ хуу' !Ух. 19о.
У = ~ Ухе-1-уз УГ1+ у" ггх. 196. У = ~ (у,' + уз +. у'.„') сух. ! !97. У = ~ (хз+ у,у', + узу,,') ах. з ° йп Уравнение Гамильтона — Якоби. Теорема Якоби, Кано. ническая система уравнений Эйлера (7! явдяегся системой уравнений Эйлера для функционала х, ~ и ъч г- ! Ч,ьь — ни,„,,...,д р,,...,р)1г,, х, в ! если уь ..., у„, рз, ..., р, рассматривать как неизвестные функции от х. Гтанный функционал У является решением уравнения в част. ных производных первого порядка вида дФ' / д!У дат д!У ! дх ! * '"' "' ду,' дуз'"'' дузУ которое называется уравнением Гамильтона — Якоби, ТИОРИЯ ГАМИЛЬТОНА — ЯКОЗИ ц!т! дгцт дтцт дг(уг дул дС! дул дСз дул дСп Тогда равенства дцт дцт — -В, — -р (и=!.2,..., и), дСА а' ду„а где С* и Вь — произвольные постоянные, дают решение канонической систел~ы (7), которое зависит от 2п произвольных постоянньгх, П р и м е р 4.
Найти зкстремали функционала х, 7= ) $'хт+ «гУ'(+у" дх х, при помаши решения уравнения Гамильтона — Якоби. Р е ш е н и е. Для получения уравнения Гамильтона — Якоби находим гамильтониан данного функционала. Имеем Н = — ) х'+ у' — р'. Уравнение Гамильтона — Якоби имеет вид — — 17 х'+у' — ( — ) =й дх У (дуг' или ( — ) +( — ) к +у'. (8) Перепишем уравнение (8) в виде и нрименим метод разделения переменных, Ясно, что если по« требовать, чтобы ( — ) х'= — С, ( — ) -ут Теорема Якоб (см.
[5]) уравнения условию дтцт ду~ дС~ дтцт дуг дС1 н. Пусть Цт является полным интегралом Гамильтона Якоби, удовлетворяющим дьцт дтцт ду~ дСг ' ' ду, дСл д'ЦУ д'Цт дуг дСз "' дуь дСп 1гл. и ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛОВ где С вЂ” произвольная постоянная, то уравнение (8) будет удо- влетворяться. Отсюда находим дйг — «Ргхх — С, — 1' уз+ С, дйг дх ду Полный интеграл уравнения (8) будет: Чг ~ )' х' — С их+ ~ 1'уз+ С г(у 1 —, С з = — х Р'хз — С вЂ” — 1п ! + Р'х — С!+ — у Р5з+ С + 2 2 2 + — !и ~ у+1 уз+ С (+ С„ С 2 где С н С, — произвольные постояняые.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
