М.Л. Краснов, А.И. Киселев, Г.И. Макаренко - Вариационное исчисление (Задачи и упражнения) (1118008), страница 17
Текст из файла (страница 17)
2'. Задача с подвижными границами для функционалов вида х, / [у, з) = ) г (» р, з, р', з') г(х. (9) х, При исследовании на экстремум функционала (9) считаем, что хотя бы одна из граничных точек А(хз, уь зс) или В(хь рь »3 перемежается по заданной кривой. Экстремум з'[у,х) может достигаться лишь на интегральных кривых системы уравнений Эйлера и — — р,=о,) г( з г(х л' ' [ (1О) р,— —" р,=о.~ г(х Пусть точка А(ха,ра,ха) закреплена, а другая граничная точка В(х„уа,х,) может перемешаться по некоторой кривой, заданной уравнениями р = Ча(х), ( х ар (х). ) (11) Условие трансверсальности в этом случае принимает вид [Р+ (ар' — р') Р„. + (ф' — х') Р,,| ! = О.
Аналогично выписывается условие трансверсальности и для левого нонна (еслн он тоже перемещается вдоль некоторой кривоц р = Ф (х)~)! [Р+ (Ф' — р') Р' ° + (ф' — х') Р .) / = О. Пример 3. Найти кратчайшее расстояние от точки М(ха, ра, аа) до прямой у=тх+Р, ) х= лх+ д. Р е ш е н и е. Задача сводится к нахождению экстремума (минимума) интеграла х, 1[д,х)= ~ у 1+у' +и' агх (13) ха при условии, что правый конец экстремали может перемешаться по прямой у = глх+ р, ~ (14) х= их+ д, т. е. в нашем случае функции Ча и ф имеют соответственно вид ф (.с) = тх+ р, ф (х) = их+ д.
Общее решение соответствующей системы уравнений Эйлера будет у=с,р+Ст, [ и= Сах+ Сь ) (!5) где С< (а = 1, 2, 3, 4) подлежат определению. Условие трансверсальности (на правом конце) выглядит так: 'аг 1+ р'+ х' + ( л — р') " + [ [г (+ уа" + а" аа 4 ао) вддлчи с подвижными грлницлми 123 ВКСТРРМУМ ФУНКИИОНАЛОВ (тл. ы откуда, в силу того, что у' = Сп г' = С„получим 1+ тС, + иСз — — О. (16) Соотношение (!6) выражает условие лерпендинулярности искомой прямой (15) к заданной прямой (14). Воспользуемся тем, что искомая прямая (15) проходит че. рез точку М(ха, уо, го): уо — — С,хо+ Сь 2о = Сзхо+ Сз (17) а также тем, что правый конец перемещается по прямой (14): Сх,+Сз=тх,+р, ~ (18] С,х, + С,= ггх, + а).
Из пяти уравнений (16), (!7) и (18) надо определить Сь Сз, Сз, Сз и хз (ха, уа, га, т, и, р, д — заданные числа). з(ля нахожлс. пия интеграла (13) достаточно знать хз, Сз и Сз, Имеем ха+ и'(Уо Р) + и (го 4) ! + из+ т' тха+ тп (га — 4) (1 + иа) (уо — р) т (Уа — Р) + и (го — а)) — (газ + и') хо ихо+ ти (уо — р) — (1+ т') (го — 4) т (Уо — Р) + и (го — 4) — (зиз + из) ха ' Подставляя зти величины в (!3), получим й — пзгп 7 (зб 2) = =1/ ха+ (Уо Р) + (20 У) (хо+ ги (Уо Р) + го(го Ч)1 1+ и'+ иР х' + уз + г' = 1. (26) Если граничная точка А(ха,уо,го) неподвижна, а другая граничная точка В(хь уз, гз) может перемешаться по некоторой поверхности 2 = гр(х, у), то условия трансаерсальности будут: '(Р— у Ря,+(ф„— 2 )Рг,)) =О, 1 )Р„,+Р.,ф'„1) =О.
~ Условия (19) совместно с уравнением г = ф(х,у), вообще го. Веря, дают воаможность опоеделить дяе произвольные постоянные в общем решении системы уравнений Эйлера (две другие постоянные определяются из условия прохождения зкстремали через неподвижную точку А (ха, уа, го) ). Если подвижной точкой является грапвчпая точка А(ха, уа, га), то прн х = ха получаем условия, совершенно аналогичные условиям (19).
П р им ер 4. Найти кратчайшее расстояаие от точки А(1, 1, 1) до сферы 4 !01 ' ЗАДАЧИ С ПОДВИЖНЫМИ ГРАНИЦАМИ 125 Р е ш е н и е. Задача сводится к исследованию на экстремум функционала 1 /[у, г[ = ~ у/ 1 + р' (х) + г' (х) с(х, (2!) х, где точка В(хоуьг,) должна находиться на сфере (20). Экстре- малямн функционала (21) являются прямые у= С,х+ Сз, ) г= Сзх+ Со (22) Из условия прохождения экстремали (22) через точку А(1, 1, 1)' получаем С +С С +С,=1. [ (23) Условия трзнсверсальности (19) с учетом (22) имеют внд с У!+у' +г' — х г + ( — 1, „,1 т — г~ „,1 -о, ~ )/'1+,'+ "" ~ ! в г (-и) ~/!+„,т+гы )/1, „,з+гж )//! хз „з~ откуда после веслоязных преобразований будем иметь г,— Сх,=О, [ С,,— Сзд,=О, ) (24) где хь уь г~ — координаты искомой точки В.
Из условия прохождения зкстремалн (22) через точку В (хь рь гз) имеем у,=С~к,+Сь ~ г~ = Сзх~ + Со (25) Из (23), (24) и (25) находим Ся 1 Сз 0 Сз 1 Са 0 так что уравнение экстремали (23) Так как точка В (хь уь г,) должна лежать иа сфере (20), то с учетом (26) получаем, что х,+х!+ х, 1, т.е. х,= ~ —.
1 )/3 ' ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛОВ !гл, Н 126 Таким образом, получаем две точки Нетрудно видеть из геометрических соображений, что зкстремаль (26), соединявшая точку А с точкой Вь дает функционалу (21) минимум, ванный ! г ) ГчлтаТлг ут — Л ! РЭ а зкстремаль (26), соеднняюшаи точку А с точкой Ва, дает мак- симум ! )г 3 !ух = рг3 +!. Хапал = ! лгз г,— Саха=О, ( Сг — Су =О,) (27) а условна на подвижном конце будут у, Сх,,( г,=Сх!. ) (28) Наконец, х, +у!+ г! — — 1, г Р з (29) Для определения пяти велачнн Сь Са, хг, у! и г! мы имеем пять соотношений (27), (26), (29), из которых независимыми являются только три у! = С!хг, г! — — Сах!, хе + у! + г, = 1.
(30) Замечание !. При выводе условий трансверсальности !2а ~г (*. )=Π—.г — . н,у тиа что условия (24) сохраняются, если гр(х, у) = — — У 1 — х' — уа. 3 а и е ч а н и е 2. Из геометрических соображений видно, что зкстремаль (26) ортогональна сфере х'+ у!+ г' = 1.
П р и м е р 5. Рассмотрим ту же задачу об экстремуме функционала (2!), но в качестве А возьмем центр сферы 0(0, О, 0). Р е ш е н и е. Экстремалями функционала являются прямые (22), н условие прохождения экстремали через точку 0(0,0, 0) сразу дает Са = С! = О. Условия траисверсальности будут прежними: й !01 ЗАДАЧИ С ПОДВИЖНЫМИ ГРАНИЦАМИ 131 Используя соотношения (30), находим 1 ! к,=~ г з' У ! + С', + С, 'У 1+ С', + С', ! г| = + г )г !+ с!+ Сз где Сь Сз — произвольные постоянные. Этот произвол ясен из геометрических соображений: расстояние от точки 0(0,0, О) до сферы (20) олииакова по любому направлению, т.
е. при любых значениях С, и Сз. Значение функционала 1 (у, г) иа зкстремалях у=С,х, ( я=С,х 1 равно ! )г !+с',ьсгз 1(у, г) ~ )Г!+С!+Сз г(х=! о П р и м е р 6. Найти условие трансверсальности лля функционала ж 1(у, г)= ~ )(х. у, г) ~Г!+у" +г" г(х, (31) если точка А(хьумгю) закреплена, а точка В(хьуьг~) лежит на поверхности г = гр(х, у). Р е ш е н и е.
В линном случае условия трансверсальности булут (1+ р', ')) -0,1 (у +ф„° г')) =0 нли Это есть условия параллельности касательного вектора т(1, у', г') к искомой экстремали в точке В(хь уь г~) с вектороч и (ф„, фц, — 1) нормали к поверхности г = ф(х, у) в той же точке. Таким образом, для функционалов вида (3!) условия трансверсальности сводятся к условиям ортогоиальпостн. акстувмум оункциондлов [гл. и 128 177. Показать, что если условие трансверсальиости совпадает при всех начальных данных с условием ортотональности, то подынтегральная функция Р имеет следукицую структуру: В =((х, у, г) )г 1+ у" + г", где )(х, у, г) есть произвольная дифференцируемая функция х, у, г. 178.
Найти кратчайшее расстояние от точки М(0, О, 3) до поверхности г = х' + ут. 179. Найти кратчайшее расстояние от точки М (2, О, 8) до поверхности г = х' + у', 180. Найти кратчайшее расстояние между поверхностями х у е — + — + — = 1 и хз+ ут+ ге= 4. 25 16 9 181. Исследовать на экстремум функционал я, У[у, г) = ) (у' + г' + 2уг)с[х о при условиях: у(0) = О, г(0) = 0 и точка В(хг, уь г~) перемешается по плоскости х = хь 35 Геодезическое расстояние.
Величину интеграла а Х [у[ = ~ Р [я, у, у') дх, А [32) взятого вдоль линни у от точки А до точки В, называют У.дли. ной линии у, Если у — экстремаль, то Х[у] называлот ееодезиче. ским расстоянием мезтду точками А и В, илн же Х-расстояниеи, а саму экстрсмаль — У-нрямой.
П р и и е р 7. Найти геодезическое расстояние от точки А[О, О) до точки В(1, !), если это расстояние определяется с помощью функционала Х [у) = ) уту' йя, А Р е щ е н и е. Геодезическое расстояние от точки А до точки В есть значение данного функционала на экстремали, соединяющей й гз) задачи с подвижными границами эти точки. Уравнение Эйлера 2уу' — — (2уту') 0 ,з дх или уу" +у' =О. Легко видеть, что з г( уу" +.у' = — (1ту') с(х 1 1 далее, 2уу' =1, уу' —, и следовательно, (уу')'= —, Геоде2т зическое расстояние между точками А и В, согласно определению, равно г 1(А, В) = ~ — огх= —. 4 4' о Лусть лана линия 2': З~(х, у) = О.
Геодезическим расстоянием ~очки В, лежащей вне 2', до этой линию называют геодезическое расстояние точки В до точки А гж Ы такое, что функционал (32) вычисляется вдоль экстре- мали т, соединяющей точки В и А, причем ч пересекает линию Я' з точке А трансверсально. 1-окружностью (геодезической окружностью) называют линию, есе точки которой находятся на одинаковом геодезическом расстоянии от заданной точки. Аналогично вводятся понятая 1.эллипса, 1-гиперболы. Л р и м е р 8 Найти 1-окружность с центром в точке 0(0, 0) радиуса )(, если геодезическое рассгояние определяется с помощью фуннционала в 1(у) = ~ у'у' т)х.
А Р е щ е н и е. Экстремали функционала пересекагот геодезическую окружность трансверсально. для экстремалей имеем (см, предыдущий пример) у'= Сгх, 2уу' = Сг и, следовательно, у У 2х ' 5 М, Л. Краснее е др. так что 2уу'=С, и уч С,х+С,. Используя граничные условия у)„ з О, у), ~ = 1, получаем С, = 1, С, = О. Таким образом, зкстремалью, соединяющей точки А и В, будет парабола ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛОВ (ГЛ. !1 Из условия трансверсальности угу' (2ф' — р') = 0 находим, что угловой нозффициент иасательной к у-окружности ф — н, значит, дифференциальное уравнение г-окружности У 2 есть у = —, откудз уравнение г-окружности: у' = Сх.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
