Семинар (1) (1117025)
Текст из файла
СЕМИНАР 1Основные понятия. Составление (вывод) дифференциального уравнения. Понятие решения дифференциального уравнения. Решение методом разделяющихся переменных. Решение линейного дифференциального уравнения общего вида. Стационарное состояние. Устойчивость стационарных состояний (случай одного уравнения): определения, аналитический метод определениятипа устойчивости. Формула Тейлора.Как можно описать динамику биологических систем?В каждый момент времени биологическая система обладает набором некоторых характеристик. Например, наблюдая за популяцией какого-то вида, можно регистрироватьее численность, площадь занимаемой территории, количество доступного питания, температуру окружающей средыи т.
д. Протекание химической реакции можно характеризовать концентрациями участвующих веществ, давлением, температурой, уровнем кислотности среды. Совокупность значений всех характеристик, которые исследователь выбрал для описания системы, является состоянием системы в каждый момент времени. При создании модели в указанной совокупности выделяют переменные ипараметры. Переменные — это те величины, изменениякоторых в первую очередь интересует исследователя, параметры — условия «внешней среды». Именно для выбранных переменных составляют уравнения, отражающиезакономерности изменения системы во времени.
Например, при создании модели роста культуры микроорганизмов, в качестве переменной обычно выступает ее численность, а в качестве параметра — скорость размножения.Возможно, существенной окажется температура, при которой происходит рост, тогда этот показатель также4Семинар 1. Основные понятиявключается в модель в качестве параметра. А если, например, уровень аэрации всегда является достаточным ине оказывает никакого влияния на ростовые процессы, тогда его вообще не включают в модель. Как правило, параметры остаются неизменными во время эксперимента, однако стоит отметить, что это не всегда так.Описывать динамику биологической системы (тоесть изменение ее состояния во времени) можно как дискретными, так и непрерывными моделями.
В дискретныхмоделях предполагается, что время представляет собойдискретную величину. Это соответствует регистрациизначений переменных через определенные фиксированные интервалы времени (например, раз в час или раз вгод). В непрерывных моделях биологическая переменнаяявляется непрерывной функцией времени, обозначаемой,например, x(t).Часто большое значение имеют начальные условиямодели — состояние исследуемой характеристики в начальный момент времени, т.е.
при t = 0 : x(0) = x0 .При изучении непрерывного изменения некоторойхарактеристики x(t) нам может быть известна информаdx. Например, пусть изция о скорости ее измененияdtвестно, что популяция бактерий растет так, что в единицу времени в среднем произойдет деление на две (размножение) одной клетки из десяти. Это означает, чтоскорость роста популяции в момент времени t равна размеру популяции, поделенному на 10. Необходимо описатьэтот процесс роста дифференциальным уравнением.
Обозначим размер популяции бактерий в момент времени tdxкак x(t). Тогда по условию скорость ростав момент tdtdxравна 0.1x(t ) , т.е.= 0.1x(t ) . Получили дифференциальdtное уравнение первого порядка для функции x(t).5Учебное пособие «Математические модели в биологии»Дифференциальное уравнение для функции x(t) — этоуравнение, содержащее непосредственно функцию x(t), еепроизводные по времени t и, возможно, само время t.Порядок дифференциального уравнения определяетсякак наивысший порядок производных функции x(t),встречающихся в записи уравнения:dx= 2 x;dt2dx+ 2tx = e − t – уравнения первого порядка,dt3d2x⎛ dx ⎞+ 4 ⎜ ⎟ + 4 x = 0 – второго порядка,2dt⎝ dt ⎠d 3x+ x 2 (1 + t 4 ) = 0 – третьего порядка.3dtВ общем случае информация о скорости изменения исследуемой характеристики x(t) может быть записана в виде:dx= f ( x, t ) .dt(1.1)Такая формальная запись означает, что скорость измененияdxнекоторой исследуемой характеристикиявляется функdtцией времени и величины этой характеристики f ( x, t ) .Если правая часть дифференциального уравнения видаdx= f ( x, t ) явно не зависит от времени, т.е.
справедливо:dtdx= f ( x) ,dtто такое уравнение называется автономным (система, описываемая таким уравнением, называется автономной). Со-6Семинар 1. Основные понятиястояние таких (автономных) систем в каждый момент времени характеризуется одной единственной величиной –значением переменной x в данный момент времени t.Если дано дифференциальное уравнение для x(t), томожно ли найти все функции x(t), удовлетворяющие этому уравнению? Или: если известно начальное значениенекоторой переменной (например, начальный размер популяции, концентрация вещества, электропроводностьсреды и т.п.) и имеется информация о характере изменения этой переменной, то можно ли предсказать, какимбудет ее значение во все последующие моменты времени?Любая непрерывная функция, которая удовлетворяет дифференциальному уравнению, называется решениемэтого уравнения.
Пусть заданы начальные условия x = x0при t = 0 . Если для уравнения (1.1) выполнены условиятеоремы Коши (функция f ( x, t ) , заданная в некоторой∂fобласти, и ее частная производнаянепрерывны в этой∂xобласти), то имеется единственное решение уравнения(1.1), удовлетворяющее заданным начальным условиям.Это означает, что мы можем однозначно предсказыватьповедение биологической системы, если известны характеристики ее начального состояния, и уравнение моделиудовлетворяет условиям теоремы Коши.7Учебное пособие «Математические модели в биологии»РЕШЕНИЕДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ МЕТОДОМРАЗДЕЛЕНИЯПЕРЕМЕННЫХНАПРИМЕРЕУРАВНЕНИЯЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОГО РОСТАЕсли необходимые для популяции ресурсы имеются визобилии, то естественно предположить, что скорость ростабудет пропорциональна размеру популяции.
Такое предпоdx= ax(t ) , где а — неколожение описывается уравнениемdtторая константа. Возможна и другая интерпретация выводауравнения: пусть x(t) — численность (а точнее плотность)популяции в некоторый момент времени. Тогда скоростьdx(t )прироста популяции во времени описывается как.dtТак как в изменении численности (плотности) популяцииучитывается вклад каждой особи, то изменение численности (плотности) популяции следует рассматривать как сумму вкладов в этот процесс каждой особи.
Тогда, средняяскорость изменения численности (плотности) популяции вd x(t ) 1⋅=a,расчете на каждую особь определяется какdt x(t )где а — коэффициент воспроизводства популяции. По сутиэто выражение означает, что удельная скорость ростачисленности (плотности) популяции (скорость роста наединицу численности популяции) постоянна.Решим полученное уравнение методом разделенияпеременных: при помощи умножения и деления приводим уравнение к такой форме, чтобы выражение в однойчасти содержало только x, а в другой — только t:dxdx= ax(t ) ⇒= adt .dtx(t )Затемdxинтегрируемобе∫ x(t ) = ∫ adt + C ⇔ ln x(t ) = at + C . Здесь8частиравенства:С — константа, кото-Семинар 1.
Основные понятиярая определяется начальными условиями задачи. Выражаем искомую функцию x(t): x(t ) = C ⋅ eat . Рассмотрим зависимость полученного решения от начальных условий:пусть в момент времени t = 0 значение переменной равноx(0) = x0 . Тогда x0 = x(0) = C ⋅ e a⋅0 или x0 = C . Таким образом, искомое решение имеет вид: x(t ) = x0 ⋅ e at (Рис. 1.1).x(t)a>0x0a<00tРис.
1.1. График решения уравнения экспоненциальногороста. При a > 0 решение является возрастающей функцией(численность популяции растет), при a < 0 — убывающей (популяция вымирает).9Учебное пособие «Математические модели в биологии»ОБЩЕЕ РЕШЕНИЕ ОДНОРОДНОГО УРАВНЕНИЯДифференциальное уравнение называется линейным, если члены уравнения содержат функцию x(t) и еепроизводные только в первой степени, и нет членов, содержащих произведение функции на ее производную (таdxких, как x ). В противном случае — уравнение называdtют нелинейным.Общий вид линейного дифференциального уравнения первого порядка:dx+ a (t ) x = f (t ).dtЕсли правая часть f (t ) = 0 для любых t, то уравнениеназывают однородным (иначе — неоднородным). Есликоэффициент а(t) — постоянный, то уравнение называютуравнением с постоянными коэффициентами.dxРассмотрим однородное уравнение+ a (t ) x = 0 .dtdx1 dx+ a (t ) x = 0 ⇒= −a (t ) .
Интегрируем обе части:dtx dttln x(t ) = − ∫ a( s )ds + Const ,x(t ) = e⎛ t⎞⎜ − a ( s ) ds + Const ⎟⎜⎟⎝⎠∫= Const1 ⋅ e⎛ t⎞⎜ − a ( s ) ds ⎟⎜⎟⎝⎠∫.Значение константы можно найти, если известно начальное условие.10Семинар 1. Основные понятияСТАЦИОНАРНОЕ СОСТОЯНИЕ. УСТОЙЧИВОСТЬБудем рассматривать автономное дифференциальноеуравнениеdx= f ( x) .dt(1.2)В стационарном состоянии значения переменных всистеме не меняются со временем, то есть скорость измеdxdxравна 0:= 0 . Если ленения значений переменныхdtdtвая часть уравнения (1.2) равна нулю, то и праваяравна 0: f ( x) = 0 . Корни этого алгебраического уравненияx1 , x2 ,… , xn являются стационарными состояниями1дифференциального уравнения (1.2).ПРИМЕР 1.1: Найдите стационарные состояния уравнеdx+ η x4 = γ x2 .нияdtРЕШЕНИЕ: Перенесем слагаемое, не содержащее произdxводную, в правую часть равенства:= γ x 2 − η x 4 .
По опредеdtлению в стационарном состоянии x выполняется равенство:dxЗначит,должновыполнятьсяравенство= 0.dtdx0== γ x 2 −η x 4 .dt1также их называют «особыми точками»11Учебное пособие «Математические модели в биологии»Решаем уравнение:γ x 2 −η x 4 = 0 ,x 2 ⋅ (γ − η x 2 ) = 0 ,x2 = 0илиx1 = 0илиx2,3 = ±γ −η x 2 = 0 ,γx2 = ,ηγ.ηИтак, уравнение имеет 3 стационарных состояния:x1 = 0 , x2,3 = ±γ.ηБиологические системы постоянно испытывают различные внешние воздействия, многочисленные флуктуации. При этом биологические системы обладают гомеостазом, то есть способностью сохранять постоянство своего внутреннего состояния посредством скоординированных реакций, направленных на поддержание динамического равновесия. На математическом языке это означает, что переменные при малых отклонениях возвращаются к своим стационарным значениям. Будет ли отражатьтакой характер поведения биологической системы ее математическая модель? Устойчивы ли стационарные состояния модели?Стационарное состояние является устойчивым, еслипри достаточно малом отклонении от положения равновесия система никогда не уйдет далеко от особой точки.Устойчивое состояние соответствует устойчивому режимуфункционирования системы.Существует аналитический метод исследования устойчивости стационарного состояния — метод Ляпунова.12Семинар 1.
Основные понятияdx= f ( x) устойчивоdtпо Ляпунову, если для любого ε > 0 всегда можно найтитакое δ > 0 , что если x(t0 ) − x < δ , то x(t ) − x < ε для всехСтационарное состояние x уравненияt0 ≤ t < ∞ .Для обоснования метода Ляпунова напомним формулу ряда Тейлора. Говоря нестрого, формула Тейлора показывает поведение функции в окрестности некоторойточки. Пусть функция f ( x) имеет в точке x0 производные всех порядков до n-го включительно. Тогда для f ( x)справедлива формула Тейлора:f ( x) = f ( x0 ) +++f ′( x0 )f ′′( x0 )⋅ ( x − x0 ) +⋅ ( x − x0 ) 2 +1!2!+f ( n ) ( x0 )⋅ ( x − x0 ) n + o ( ( x − x0 ) n ) .n!Отбросив остаточный член o ( ( x − x0 ) n ) , который представляет из себя бесконечно малую более высокого порядка, чем ( x − x0 ) n , получим приближенную формулуТейлора:f ( x) ≈ f ( x0 ) +++f ′( x0 )f ′′( x0 )⋅ ( x − x0 ) +⋅ ( x − x0 ) 2 +1!2!+f ( n ) ( x0 )⋅ ( x − x0 ) n .n!Правая часть приближенной формулы называетсямногочленом Тейлора функции f ( x) , его обозначаюткак Tn ( x) .
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
