Семинар (9) (1117039)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

СЕМИНАР 9Занятие в компьютерном классе. Колебательныесистемы. Локальная модель брюсселятора. Построениефазовых портретов при разных значениях параметров.КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ СИСТЕМЫДля биологических систем характерно периодическое изменение различных характеристик. С некоторымииз типов периодических изменений мы уже имели делопри рассмотрении особых точек типа центр, фокус.

Однако часто в живых системах наблюдаются колебания, обладающие особым отличительным свойством: неизменностью во времени периода и амплитуды колебаний, означающей стационарность и устойчивость колебательногорежима. В данном случае периодическое изменение величин представляет собой один из типов стационарного поведения системы. Если колебания имеют постоянную период и амплитуду, устанавливаются независимо от начальных условий и поддерживаются свойствами самойсистемы, без воздействия периодической силы, системаназывается автоколебательной. На фазовой плоскоститакому типу поведения соответствует устойчивый предельный цикл — притягивающее множество. Предельныйцикл есть изолированная замкнутая кривая.Предельные циклы могут быть устойчивыми и неустойчивыми.

Предельный цикл устойчив, если существует такая область на фазовой плоскости, содержащая этотпредельный цикл — окрестность ε , — что все фазовыетраектории, начинающиеся в окрестности ε , асмиптотически при t → ∞ приближаются к предельному циклу.Если же наоборот, в любой сколь угодно малой окрестности ε предельного цикла существует по крайней мере од-95Учебное пособие «Математические модели в биологии»на фазовая траектория, не приближающаяся к предельному циклу при t → ∞ , то такой предельный цикл называется неустойчивым. Такие циклы разделяют областивлияния разных притягивающих множеств.Внутри устойчивого предельного цикла обязательноесть неустойчивая точка типа фокус или узел. Необходимым условием рождения устойчивого предельного циклаявляется переход (бифуркация) типа стационарного состояния от устойчивого фокуса к неустойчивому (действительная часть соответствующих характеристическихчисел Re λ1,2 через 0 переходит от отрицательных значений к положительным, при этом мнимая часть характеристических чисел Im λ1,2 отрицательна).

После такой бифуркации возможность существования устойчивого предельного цикла сохраняется до тех пор, пока Re λ1,2 сохраняют положительное значение.ЛОКАЛЬНАЯ МОДЕЛЬ БРЮССЕЛЯТОРАБрюсселятор — базовая модель, являющаяся классическим примером автоколебательного поведения переменных (концентраций) в системе химических реакций.Брюсселятор представляет собой следующую схему гипотетических реакций:Ak1k−1X,2X + Yk2k−23X ,B+ Xk3k−3Y +C,Xk4R.k−4Здесь А, В — исходные вещества, C, R — продукты, X,Y — промежуточные вещества.

Пусть конечные продуктыC и R немедленно удаляются из реакционного пространства. Это означает, что обратные константы k−3 = k−4 = 0 .Если субстрат A находится в избытке, то k−1 = 0 . Предполагают также, что k−2 = 0 . Значения остальных константприравнивают 1.

Тогда рассматриваемая схема реакцийописывается системой уравнений:96Семинар 9. Колебательные системы⎧ dx2⎪ dt = A − x( B + 1) + x y,⎪⎪ dy = x( B − xy ),⎨⎪ dt⎪ A, B > 0,⎪ x, y > 0.⎩(9.1)Исследуем систему уравнений (9.1). Найдем стационарные значения:⎧ A − x ( B + 1) + x 2 y = 0,⎧ A − x ( B + 1) + x 2 y = 0, ⎪⎪⎪⎪ x = 0, x = B ,⎪ x ( B − xy ) = 0,y→⎨→⎨⎪ A, B > 0,⎪ A, B > 0,⎪⎩ x, y > 0,⎪⎪⎩ x, y > 0,2⎧⎛B⎞BB⎪ A − ( B + 1) + ⎜ ⎟ y = 0, ⎧y⎪y = A,⎪⎝y⎠⎪⎪⎪→ ⎨ x = A,→ ⎪⎨ x = B ,y⎪ A, B > 0,⎪⎪⎪ A, B > 0,⎪⎩ x, y > 0.⎪⎪⎩ x, y > 0,Исследуем тип стационарной точки и ее устойчивость. Найдем коэффициенты линеаризации:Px′ = −( B + 1) + 2 xy ( x , y ) = B − 1,Py′ = x 2= A2 ,( x ,y )Qx′ = B − 2 xyQ′y = − x 2= − B,( x ,y )= − A2 .( x ,y )97Учебное пособие «Математические модели в биологии»1) Определим знак Px′ + Q′y для ответа на вопрос об устойчивости:Px′ + Q′y = B − 1 − A2 .При B > 1 + A2 выполнено неравенство Px′ + Q′y > 0 , значит, вэтой области параметров стационарная точка неустойчива.При B ≤ 1 + A2 выполняется неравенство Px′ + Q′y ≤ 0 , таким образом, в этой области параметров стационарнаяточка устойчива.2) Δ = Px′ ⋅ Q′y − Py′ ⋅ Qx′ = − A2 ( B − 1) + A2 B = A2 > 0 – седел не существует.3) Фокус или узел? Надо определить знак подкоренноговыражения в формуле для вычисления характеристических чисел λ1,2 :( B − 1 − A2 )2 − 4 A2 = ( B − 1 − A2 − 2 A)( B − 1 − A2 + 2 A) == ( B − (1 − A)2 )( B − (1 + A)2 ).Это выражение отрицательно при выполнении неравенства (1 − A) 2 < B < (1 + A) 2 .

Таким образом, при выполнении неравенства (1 − A) 2 < B < (1 + A) 2 в системе должнынаблюдаться колебания.При B ≤ (1 − A) 2 и B ≥ (1 + A) 2 колебаний в системе не будет.При Px′ + Q′y = 0 происходит смена устойчивости стационарного состояния типа фокус, в этот момент происходит рождение предельного цикла.98Семинар 9. Колебательные системыПолучившиеся результаты можнов виде параметрической диаграммы:Стационарная точка устойчива,предельный цикл не существуетУстойчивый узел(1-А)Стационарная точка неустойчива,может существовать предельный циклУстойчивый фокус2представитьНеустойчивый фокус1+А2(1+А)Неустойчивый узелB99Учебное пособие «Математические модели в биологии»ЗАДАЧИ К СЕМИНАРУ 99.1.

Определите тип стационарного состояния системы в зависимости от значения параметра a (a > 0) . Укажите интервал значений параметра, при котором в системе имеют место автоколебания. Ответ оформите в видепараметрической диаграммы (прямой).⎧ dx⎧ dx2=y,⎪⎪ dt⎪⎪ dt = a + x y − 6 x,б) ⎨а) ⎨dy2⎪ = a(1 − x ) y − x.⎪ dy = 5 x − x 2 y.⎪⎩ dt⎪⎩ dt⎧ dx⎧ dx2⎪ dt = 1 − xy,⎪⎪ dt = 2 + x y − (a + 1) x,⎪в) ⎨г) ⎨⎪ dy = ax − x 2 y.⎪ dy = ay ⎛⎜ x − 2 ⎞⎟ .⎪⎩ dt⎪⎩ dt⎝ 1+ y ⎠⎧ dx⎪ dt = 1 − xy,⎪д) ⎨⎪ dy = 1.25 y ⎜⎛ x − 1 + a ⎟⎞ .⎪⎩ dt⎝ 1 + ay ⎠100.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов семинаров