Семинар (7) (1117035)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

СЕМИНАР 7Исследование устойчивости стационарных состояний нелинейных систем второго порядка. Классическаясистема В. Вольтерра. Аналитическое исследование (определение стационарных состояний и их устойчивости)и построение фазовых и кинетических портретов.ИССЛЕДОВАНИЕУСТОЙЧИВОСТИСТАЦИОНАРНЫХСОСТОЯНИЙ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ ВТОРОГО ПОРЯДКАПусть биологическая система описывается системойдвух автономных дифференциальных уравнения второгопорядка общего вида:⎧ dx⎪⎪ dt = P( x, y ),⎨⎪ dy = Q ( x, y ).⎪⎩ dtСтационарные значения переменных системы определяются из алгебраических уравнений:⎧ P( x , y ) = 0,⎨⎩Q( x , y ) = 0.Исследование характера поведения траекторий системы в окрестностях стационарных состояний, а такжеанализ устойчивости стационарных состояний проводят спомощью метода Ляпунова (метод линеаризации систем вокрестности стационарного состояния).

Ляпунов показал,что в большом числе случаев анализ устойчивости стационарного состояния нелинейной системы можно заменить анализом устойчивости системы, линеаризованной вокрестности стационарного состояния.74Семинар 7. Устойчивость стационарных состояний нелинейных системКоэффициенты линеаризованной системы в окрестности каждого стационарного состояния исходной нелинейной системы определяются по формулам (подробныйвывод приведен в Лекции 5 учебника Г. Ю. Ризниченко,(Ризниченко, 2002)):⎛ a = Px′( x , y ) b = Py′( x , y ) ⎞⎜⎟.⎝ c = Qx′ ( x , y ) d = Q′y ( x , y ) ⎠Так же, как и в линейных системах, корни характе1ристического уравнения λ1,2 = (a + d ) ± (a + d )2 − 4(ad − bc)2дают представление о характере поведения решений системы. Если оба характеристических корня имеют отличные от нуля действительные части (грубые системы), тоисследование линеаризованной системы дает всегда правильный ответ на вопрос о типе устойчивости состоянияисходной нелинейной системы, а также о характере фазовых траекторий в достаточно малой его окрестности.Как и в случае линейных уравнений, возможны пять типов грубых состояний равновесия: узел (устойчивый, неустойчивый), фокус (устойчивый, неустойчивый) и седло.Если действительные части обоих корней характеристического уравнения равны нулю, или если один кореньравен нулю, а другой отрицателен, то для ответа на вопрос об устойчивости необходимо рассматривать членыболее высокого порядка малости в разложении в рядТейлора правых частей уравнений исходной системы(функций P( x, y ), Q( x, y ) ).()75Учебное пособие «Математические модели в биологии»ПРИМЕР 7.1: Проведите линеаризацию системы уравнений в окрестности нулевого стационарного состояния и определите его тип устойчивости:⎧ dx⎪⎪ dt = 2 xy − x + y,⎨⎪ dy = 5 x 4 + y 3 + 2 x − 3 y.⎪⎩ dtРЕШЕНИЕ: Для линеаризации системы уравнений в окрестности нулевого стационарного состояния найдем частные производные функций в правых частях уравнений.

Вкачестве координаты стационарного состояния ( x , y ) подставим значения (0,0) .a = Px′( x , y ) = [ 2 xy − x + y ]′ x = 2 y − 1 , 2 y − 1 y = 0 = −1 ;b = Py′ ( x , y ) = [ 2 xy − x + y ]′ y = 2 x + 1 , 2 x + 1 x = 0 = 1 ;c = Qx′ ( x , y ) = ⎡⎣5 x 4 + y 3 + 2 x − 3 y ⎤⎦′ = 20 x3 + 2 , 20 x 3 + 2xd = Q′y ( x , y ) = ⎡⎣5 x 4 + y 3 + 2 x − 3 y ⎤⎦′ = 3 y 2 − 3 , 3 y 2 − 3yx =0y =0= 2;= −3 .a + d = −1 + ( −3) = −4 ,ad − bc = (−1) ⋅ (−3) − 1 ⋅ 2 = 1 ,Имеемособая точка грубая. Характеристические корни системы−4 ± 16 − 4 ⋅ 1первого приближения равны λ1,2 == −2 ± 3 , оба2действительны и отрицательны, следовательно, в окрестности нулевой особой точки поведение фазовых траекторийсистемы будет соответствовать типу «устойчивый узел».76Семинар 7.

Устойчивость стационарных состояний нелинейных системСистемы нелинейных уравнений будем исследоватьпо следующему плану:1)определение стационарных состояний,2)линеаризация системы в окрестности каждого стационарного состояния,3)расчет значений корней характеристических уравнений системы, линеаризованной в окрестности каждого стационарного состояния,4)вывод об устойчивости и характере поведения фазовых траекторий в окрестностях каждого стационарного состояния.АНАЛИТИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ МОДЕЛИ ВОЛЬТЕРРАКлассическая модель «хищник—жертва», предложенная В. Вольтерра для объяснения периодических изменений числа особей, имеет вид:⎧ dx⎪⎪ dt = x(ε x − γ xy y ),⎨⎪ dy = y (γ x − ε ).yxy⎪⎩ dtЗдесь x — число жертв, y — число хищников, ε x —скорость размножения жертв, ε y — скорость гибели хищников, γ xy , γ yx — параметры, отражающие влияние встречижертвы и хищника на скорость изменения численностижертвы и хищника соответственно.77Учебное пособие «Математические модели в биологии»1)Поиск стационарных состояний.

Решаем систему алгебраических уравнений:⎧⎪ x(ε x − γ xy y ) = 0,⎨⎪⎩ y (γ yx x − ε y ) = 0.Получаем координаты двух стационарных состояний:x1 = 0, y1 = 0, x2 =εyε, y2 = x . Все параметрыγ yxγ xyположительны, поэтому точка, соответствующаявторому (ненулевому) стационарному состояниюпринадлежит положительной четверти фазовойплоскости.2-3) Линеаризация системы в окрестности стационарногосостояния и расчет значений корней характеристических уравнений системы, линеаризованной в окрестности каждого стационарного состояния.Px′( x , y ) = ε x − γ xy y , Py′( x , y ) = − x γ xyQx′ ( x , y ) = yγ yx , Q′y ( x , y ) = γ yx x − ε yВ окрестности стационарного состояния x1 = 0, y1 = 0матрица коэффициентов линеаризованной системыимеет вид:⎛εx⎜⎝00 ⎞⎟.−ε y ⎠Корни соответствующего характеристического урав⎡ εx1I.нения есть λ1,2= (ε x − ε y ) ± (ε x − ε y ) 2 + 4ε xε y = ⎢2⎣ −ε y(78)Семинар 7.

Устойчивость стационарных состояний нелинейных системКорни действительные, разных знаков. Таким образом, получаем, стационарное состояние x1 = 0, y1 = 0неустойчиво, и поведение фазовых траекторий в егоокрестности имеет седловой характер.Вx2 =окрестностистационарногосостоянияεyε, y2 = x матрица коэффициентов линеаризоγ yxγ xyванной системы имеет вид:⎛⎜ 0⎜⎜ γ⎜ ε x yx⎜ γxy⎝−ε yγ xy ⎞⎟γ yx ⎟0⎟.⎟⎟⎠Корни соответствующего характеристического уравIIнения есть λ1,2= ±i ε xε y . Таким образом, исследование показывает, что особая точка x2 =εyε, y2 = x явγ yxγ xyляется центром, а траектории вблизи этого стационарного состояния являются концентрическими эллипсами.79Учебное пособие «Математические модели в биологии»ПРИМЕР ЗАДАНИЯ ПО ТЕМЕ «ИССЛЕДОВАНИЕ МОДЕЛИВ. ВОЛЬТЕРРА «ХИЩНИК-ЖЕРТВА»1.

Используя численные значения параметров, найдитекоординаты стационарных состояний, коэффициенты линеаризованной системы в окрестности каждого из стационарных состояний, значения корней характеристических уравнений системы уравнений:⎧ dx⎪⎪ dt = x( p1 − p2 y ),⎨⎪ dy = y ( p x − p ).34⎪⎩ dtРезультат занесите в таблицу.Параметрыp1 = 4p2 = 0.1p3 = 0.8p4 = 0.5КоординатыстационарныхсостоянийКоэффициентылинеаризованной системыЗначения корнейхарактеристического уравненияx1 =y1 =a=b=c=d=a=b=c=d=λ1I =x2 =y2 =λ2I =λ1II =λ2II =2. Найдите уравнения главных изоклин и сепаратрис.Постройте в тетради качественный фазовый портрет решения системы В.

Вольтерра «хищник-жертва».3. В программе TRAX постройте фазовый портрет решения системы В. Вольтерра «хищник-жертва». Обратитевнимание на выбор масштаба окна фазовой плоскости. Зарисуйте результат.4. В программе TRAX постройте кинетический портретрешения системы В. Вольтерра «хищник-жертва» для произвольного начального положения изображающей точки.Зарисуйте результат.80Семинар 7.

Устойчивость стационарных состояний нелинейных системЗАДАЧИ К СЕМИНАРУ 77.1. Проведите линеаризацию системы уравнений вокрестности нулевого стационарного состояния и определите его тип устойчивости:⎧ dx⎪⎪ dt = 2 xy − x + y,а) ⎨⎪ dy = 5 x 4 + y 3 + 2 x − 3 y;⎪⎩ dt⎧ dx22⎪⎪ dt = x + y − 2 x,б) ⎨⎪ dy = 3x 2 − x + 3 y;⎪⎩ dt⎧ dxx+2 y− cos 3 x,⎪⎪ dt = eв) ⎨⎪ dy = 4 + 8 x − 2e y ;⎪⎩ dt⎧ dx−3 x⎪⎪ dt = ln ( 4 y + e ) ,г) ⎨⎪ dy = 2 y − 1 + 3 1 − 6 x .⎪⎩ dt7.2. Для модели «кинетические уравнения Лотки»⎧ dx⎪⎪ dt = k0 − k1 xy,⎨⎪ dy = k xy − k y12⎪⎩ dtнайдите стационарную точку ( x , y ) и определите ее тип.Найдите уравнения главных изоклин, изоклин ±45 .

Длязаданных значений параметров постройте эскиз фазовогопортрета системы:1) k0 = 8 , k1 = 1 , k0 = 2 ;2) k0 = 8 , k0 = 1 , k0 = 1 .81.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов семинаров