Семинар (1) (1117025), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Приближенная формула f ( x) ≈ Tn ( x) позволяетзаменять в различных математических расчетах (аналитических и численных) произвольную функцию ее многочленом Тейлора. Из формулы Тейлора видно, что чем13Учебное пособие «Математические модели в биологии»точка x ближе к точке x0 , тем выше точность такой аппроксимации, и эта точность растет с ростом степенимногочлена. Это означает, в свою очередь, что чем больше производных имеет функция в некоторой окрестноститочки x0 , тем выше точность, с которой многочлен Тейлора Tn ( x) аппроксимирует функцию в этой окрестности.ПРИМЕР 1.2: Разложите функцию f ( x ) = e − x в ряд Тейлора в окрестности точки x0 = 2 до 4 порядка.РЕШЕНИЕ: Запишем ряд Тейлора до 4-го порядка в общем виде:f ( x ) = f ( x0 ) ++f ′′′( x0 )3!f ′( x0 )1!( IV )f⋅ ( x − x0 ) +3f ′′( x0 )⋅ ( x − x0 ) +( x0 )4!2!⋅ ( x − x0 ) +2()⋅ ( x − x0 ) + o ( x − x 0 ) .44Найдем производные заданной функции в точке x0 = 2 :( )′f ′ ( x0 ) = e−x= −e−xx0 = 2( )′′f ′′( x0 ) = e(−x= −ex0 = 2= −e−x( )′′′( IV )= e( )( x0 ) = e−x−x−x= −e−xx0 = 2( IV )(= −ex0 = 2−x−2=e ,x0 = 2x0 = 2x0 = 2f=e( )′−x,)′x0 = 2f ′′′( x0 ) = e−2)′−2x0 = 2=ex0 = 2= −e ,−x−2x0 = 2=e .Подставим полученные значения в исходную формулу:−2−2f ( x ) = e − e ⋅ ( x − 2) +14e−22⋅ ( x − 2) −2e−26⋅ ( x − 2) +3e−224(⋅ ( x − 2) + o ( x − x0 )44).Семинар 1.

Основные понятияАналитический метод исследования устойчивостистационарного состояния (метод Ляпунова) состоит в следующем. Пусть x — стационарное состояние уравненияdx= f ( x) . Зададим небольшое отклонение переменной xdt1 . Подот ее стационарного значения: x = x + ξ , где ξ xставим выражение для точки x в исходное уравнение:d (x + ξ )= f ( x + ξ ) . Левая часть уравнения примет вид:dtd ( x + ξ ) dx dξ dξ, поскольку в стационарном состоя=+=dtdt dtdtнии скорость изменения значения переменой равна нулю:dx= 0 .

Правую часть разложим в ряд Тейлора в окрестноdtсти стационарного состояния, учитывая, что f ( x ) = 0 , оставим только линейный член в правой части уравнения:dξ= f ′( x ) ⋅ ξ .dtПолучили линеаризованное уравнение или уравнение первого приближения. Величина f ′( x ) есть некоторая постоянная, обозначим ее a: a = f ′( x ) . Общее решениелинеаризованного уравнения имеет вид: ξ (t ) = const ⋅ e at(см.

Решение уравнения экспоненциального роста, стр.8). Это выражение описывает закон, по которому будетизменяться во времени заданное нами отклонение от стационарного состояния ξ . Отклонение будет со временемзатухать, т.е. ξ → 0 при t → ∞ , если показатель степени вэкспоненте будет отрицательным, т.е. a = f ′( x ) < 0 . В этомслучае стационарное состояние x по определению будетустойчивым. Если же a = f ′( x ) > 0 , то с увеличениемвремени отклонение будет только увеличиваться, стацио-15Учебное пособие «Математические модели в биологии»нарное состояние — неустойчивое. В случае a = f ′( x ) = 0уравнение первого приближения ответа на вопрос об устойчивости стационарного состояния дать не может.

Необходимо рассматривать члены более высокого порядкаразложения функции в ряд Тейлора.Кроме аналитического метода исследования устойчивости стационарного состояния, существует и графический.Разберем этот способ на примере.ПРИМЕР 1.3: Пустьdxdt= f ( x ) . Найти стационарные со-стояния уравнения и определить их тип устойчивости с помощью графика функции f ( x ) = x 4 − 6 x 3 + 5 x 2 .РЕШЕНИЕ: Найдем особые точки:f ( x ) = x 4 − 6 x 3 + 5x 2 = 0 ,x 2 ⋅ ( x 2 − 6 x + 5) = 0 ,x1 = 0 или x 2 − 6 x + 5 = 0 ,( x − 1)( x − 5) = 0 ,x2 = 1 или x3 = 5 .Строим график функции f ( x) (рис. 1.2).Определим по графику, устойчиво ли каждое из найденных стационарных состояний. Зададим небольшое отклонение изображающей точки от особой точки x1 = 0 влево:x1 − ξ .

В точке с координатой x = x1 − ξ функция f ( x) принимает положительное значение: f ( x1 − ξ ) > 0 илиd ( x1 − ξ )> 0 . Последнее неравенство означает, что со времеdtнем координата x должна увеличиваться, то есть изобра-16Семинар 1. Основные понятияРис. 1.2. График функции f ( x) , пример 1.3.жающая точка должна возвращаться к точке x1 = 0 . Теперьзададим небольшое отклонение изображающей точки от особой точки x1 = 0 вправо: x1 + ξ . В этой области функция f ( x)сохраняет положительное значение, следовательно, со временем координата x также должна увеличиваться, то естьизображающая точка должна отдаляться от точки x1 = 0 .Таким образом, малое отклонение x1 + ξ выводит систему изстационарного состояния, по определению особая точкаx1 = 0 неустойчива. Аналогичные рассуждения приводят ктому, что любое отклонение от особой точки x2 = 1 со временем затухает, стационарное состояние x2 = 1 устойчиво.

Отклонение изображающей точки в любом направлении отстационарного состояния x3 = 5 приводит к ее удалению отточки x3 = 5 , это неустойчивое стационарное состояние.17Учебное пособие «Математические модели в биологии»ЗАДАЧИ К СЕМИНАРУ 11.1. Найдите стационарные состояния уравнений:dx−η x4 = γ x2 ;dtdx− rx = δ x 2 ;dtdx− Ax3 = − Bx ;dtdx(u − x) += 2u − x 2 ;dtdx+ 6x = x2 + 8 ;dtdx+ 15 = x 2 + 2 x .dt1.2. Разложите функцию f ( x) в ряд Тейлора в окрестности точки x0 до 4 порядка:f ( x) = x 3 + 1 , x0 = 1 ;f ( x) = e − x , x0 = 2 ;f ( x ) = 3 x , x0 = 1 ;2f ( x ) = , x0 = 1 ;xf ( x) = ln x , x0 = 1 ;f ( x) = sin x , x0 = 0 .18Семинар 1. Основные понятияdx= f ( x) .

Определите по графику функdtустойчивость всех стационарных состояний1.3. Пустьции f ( x )уравнения.абвгdx= f ( x) . Найти стационарные состоянияdtуравнения и определить их тип устойчивости с помощьюграфика функции f ( x ) :1.4. Пустьf ( x) = x 4 − 6 x3 + 5 x 2 ;f ( x) = x 4 + x3 − 6 x 2 .dx= ( x − 1)( x 2 + bx + 1) . Постройте график заdtвисимости величины стационарного значения переменнойx от значений параметра b. Сколько стационарных состояний имеет уравнение при b ∈ (−∞, +∞) ?1.5. Пусть19.

Характеристики

Список файлов семинаров