Ответы (1115942), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

Затухание волн учитывается с помощью дополнительного экспоненциального множителя (как и в случае затухающих колебаний – см. 5.1): для плоской волны и для сферической.

4) Упругие волны:

Упругая волна – деформационные возмущения, распространяющиеся в упругой среде (то есть среде, деформации которой являются упругими – тело возвращается в прежнее состояние при снятии внешнего воздействия). Классическое волновое уравнение выведено для упругих волн, однако оно верно и для других случаев (например, электромагнитных волн – см. 10).

Упругие волны могут быть продольными (смещение частиц параллельно направлению распространения волны) и поперечными (смещение частиц перпендикулярно к направлению распространения волны).

Рассмотрим упругий стержень с сечением S и плотностью . При его растяжении на l возникает сила упругости где  – механическое напряжение. По определению – модуль упругости (модуль Юнга) материала стержня. Тогда поэтому скорость продольной (при выводе рассматривались деформации растяжения – сжатия) упругой волны Аналогичная формула верна для поперечных волн в твёрдом теле; в этом случае модуль упругости заменяют на модуль сдвига G (если  – угол сдвига, а – напряжение сдвига (S – площадь сдвигаемой грани), то

Энергия, переносимая упругой волной, складывается из потенциальной и кинетической энергий одной из колеблющихся частиц: но из разложений (x, t) в ряд Тейлора (см. 9.1) Таким образом, энергия, переносимая упругой волной, эту зависимость можно распространить на произвольную среду, заменив энергию волны плотностью энергии Для плоской волны, распространяющейся вдоль оси x,

10. Электромагнитные волны в однородной непроводящей среде. Связь между амплитудами и фазами колебаний векторов напряженности электрического и индукции магнитного полей в электромагнитной волне. Энергетические характеристики электромагнитных и упругих волн (плотность потока энергии, интенсивность, векторы Умова и Пойнтинга).

1 ) Уравнение электромагнитной волны:

Пусть E и В – функции только координаты x (расстояние до источника значительно превышает его размеры). Выберем в плоскости XY прямоугольный контур с обходом в направлении 1–2–3–4. Тогда (по этим участка обход совершается в разных направлениях). Поэтому (считаем dx малым, поэтому значение B в пределах площадки можно считать постоянным). Аналогично, выбираем в плоскости XZ контур 5–6–7–8: Воспользуемся уравнениями Максвелла: Подставляя полученные значения потоков и циркуляций, получим Продифференцируем эти равенства по x и изменим порядок дифференцирования: подставим равенства, полученные из уравнений Максвелла: Таким образом, возмущения электрического и магнитного полей распространяются в пространстве с одной и той же скоростью причём возмущение электрического поля вызывает возмущение магнитного; и наоборот.

При выводе уравнения электромагнитной волны были использованы уравнения Максвелла, записанные в условиях отсутствия тока проводимости, поэтому и полученные уравнения верны только для непроводящих сред.

Число является скоростью электромагнитной волны в вакууме. –показатель преломления среды; скорость волны в среде

2) Связь между напряжённостью электрического поля и индукцией магнитного в электромагнитной волне:

Рассмотрим случай гармонической электромагнитной волны: подставим в уравнения (см. п. 1) Эти уравнения выполняются в случае равенства соответствующих амплитуд и фаз, поэтому  = 0; а поскольку фазы колебаний E и В совпадают, то равенство выполняется в любой момент времени:

Как следует из 10.1 при распространении волны вдоль оси x меняются только составляющие Е_y и B_z; таким образом, вектора взаимно ортогональны, причём (фазы Е и В совпадают, то есть и их максимумы совпадают).

Замечание: в гармонической электромагнитной волне частоты колебаний векторов Е и В совпадают. Пусть частоты различны (₁ и ₂), тогда и волновые числа различны как уже было показано, фазы колебаний совпадают, то есть Данное соотношение верно в любой момент времени, поэтому может принимать произвольные значения; таким образом, ₁ – ₂ = 0 (₁ = ₂),  = 0.

3) Энергия электромагнитной волны:

Плотности энергии электрического и магнитного полей равны: Плотность энергии волны Таким образом, в электромагнитной волне энергия распределяется поровну между электрической и магнитной составляющими также, как в упругой – между потенциальной и кинетической (см. 9.4).

4) Энергетические характеристики волн:

Плотность потока энергии – количество энергии, переносимой волной в единицу времени через единичную площадку, перпендикулярную к направлению распространения волны. Численно равна энергии, заключённой внутри цилиндра с единичным основанием и образующей V: Для электромагнитных волн

Интенсивность – среднее по времени значение плотности потока энергии: Для упругих волн для электромагнитных

Вектор Умова – вектор, направленный вдоль направления распространения волны и равный по модулю плотности потока энергии. Для электромагнитных волн можно ввести аналогичную величину, названную вектором Пойнтинга:

Векторная интенсивность волны – среднее по времени значение вектора Умова (Пойнтинга): Для упругих волн для электромагнитных

Поток энергии волны – поток векторов Умова (Пойнтинга): Можно также вычислить среднее по времени значение потока:

11. Наложение волн. Когерентные волны. Интерференция волн от двух точечных источников, опыт Юнга. Роль немонохроматичности источников и их конечных размеров. Время и длина когерентности, число когерентных колебаний, радиус и угол когерентности, объём когерентности.

1) Наложение волн:

Будем считать, что выполняется принцип суперпозиции: результирующий эффект от наложения двух волн есть сумма эффектов от каждой из волн (волны не влияют друг на друга). Рассмотрим наложение двух волн, вызывающих колебания частиц в одном и том же направлении; пусть обе волны являются монохроматическими (в каждой из волн имеются колебания только одной частоты). Тогда необходимо сложить два колебания, направленные вдоль одной прямой, – этот случай рассмотрен в 4.1. Интенсивность пропорциональна квадрату амплитуды (см. 1.3, 10.4), поэтому результирующая интенсивность Если колебания некогерентны, то (даже в этом случае среднее значение cos за малый промежуток времени  отлично от нуля, но такого времени  недостаточно для фиксации интерференционной картины оптическим прибором). Если колебания когерентны, то результирующая интенсивность может оказать больше или меньше суммы интенсивностей налагающихся волн – происходит перераспределение энергии в пространстве; в этом случае наложение волн называют интерференцией.

Интерференция – перераспределение энергии при наложении двух волн, сохраняющееся в течение достаточно длинного времени.

Пусть накладываются две волны, распространяющиеся вдоль одной прямой: тогда разность фаз составляет Для когерентности волн (постоянства их разности фаз) требуется, очевидно, равенство частот колебаний ₁ = ₂ и постоянство величины (k₁r₁ – k₂r₂); k представляют в виде используя формулу ₀ – длина световой волы в вакууме. Таким образом, – оптическая разность хода ( = nr – оптический путь луча). При  = 0 условие минимума – условие максимума –

2) Интерференция волн от двух точечных источников; опыт Юнга:

П усть имеются два точечных когерентных точечных источника; тогда положения интерференционных максимумов и минимумов будут определяться постоянством величины r₁ – r₂, где r₁ и r₂ – расстояния до источников. Геометрическое место подобных точек – гиперболоиды вращения, в фокусах которых находятся источники.

Р ассмотрим интерференционную картину от двух точечных источников, наблюдаемую на удалённом плоском экране. Источники находятся в точках А и В; АВ = d. По теореме Пифагора Если то Таким образом, условие максимума условие минимума

В опыте Юнга лучи от одного и того же источника проходят через разные отверстия в экране, поэтому реализуется схема интерференции от двух точечных источников. Интерферирующие лучи имеют одну и ту же амплитуду, поэтому в каждой точки «складываются» два луча: то есть амплитуда результирующих колебаний зависит от r. Поэтому интенсивность лучей, попадающих на экран

3) Роль немонохроматичности источников:

Время когерентности – время, в течение которого можно наблюдать интерференционную картину.

Пусть два источника испускают волны частот ₁ и ₂. Тогда время, в течение которого можно наблюдать интерференционную картину, равно времени, за которое разность фаз колебаний изменяется на , поэтому Если источник испускает непрерывный спектр волн, частоты которых изменяются от  до , то полное изменение интерференционной картины произойдёт при разности фаз между соседними волнами в 2 (для каждой волны с частотой от  до ( + /2) найдётся волна с частотой от ( + /2) до ( + ), имеющая с ней сдвиг фаз ; в конечном счёте все волны «нейтрализуют» друг друга). Таким образом, для этого случая

Число когерентных колебаний: Это число равно максимальному порядку интерференции, который можно наблюдать при данной немонохроматичности источника волна.

Характеристики

Список файлов ответов (шпаргалок)