Ответы (1115942), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Нормальные моды – колебания, описываемые уравнениями на нормальные координаты; могут быть возбуждены независимо друг от друга; не обмениваются энергией.

2) Механические осцилляторы:

Р ассмотрим два груза одинаковой массы, связанные пружиной жёсткости k₁; грузы связаны с неподвижными опорами пружинами жёсткости k. Тогда ; сложим и вычтем уравнения: где _I = ₁ + ₂; _II = ₁ – ₂ – нормальные координаты. Решением системы является набор гармонических функций _I и _II: где – частоты нормальных мод (собственные частоты системы). Таким образом, для нахождения всех параметров колебаний системы необходимо четыре начальных условия, которые позволят определить А_I, A_II, _I, _II.

Если в начальный момент времени сообщить грузам одинаковые по модулю и направлению смещения, то _II = 0. Тогда будет возбуждена только низкочастотная мода колебаний: грузы колеблются как единое тело. Если сообщить грузам одинаковые по модулю, но различные по направлению смещения, то _I = 0; возбуждается высокочастотная мода колебаний. При этом в обоих случаях характер колебаний не изменяется со временем, то есть вторая мода не возбуждается – не происходит обмена энергией между модами. Поэтому нормальные моды являются независимыми. Если связь между грузами – слабая то частоты нормальных мод близки; наложение двух колебаний с близкими частотами приводит к медленному изменению амплитуды колебаний каждого из грузов – будут наблюдаться «биения» .

3) Электрические осцилляторы:

Р ассмотрим контур, представленный на рисунке. Из правил Кирхгофа:

тогда

Сложим и вычтем уравнения: где q_I = q₁ – q₃; q_II = q₁ + q₃ – нормальные координаты. – нормальные частоты. Здесь вновь (как и в 1.3) наблюдается аналогия между механическими и электрическими колебаниями.

4) Общий метод определения нормальных координат:

В случае возбуждения одной из нормальных мод тела колеблются в одной фазе или в противофазе, поэтому в общем случае для поиска нормальных координат решения ₁ и ₂ ищут в виде A_Icos₁t и B_Icos₁t. При подстановке их в уравнения движения получим систему двух линейных уравнений на ₁ и С_I = А_I/B_I. Аналогично можно искать решения в виде A_IIcos₂t, –B_IIcos₂t. Таким образом, получим уравнения колебаний тел в случае возбуждения мод по отдельности. Если _I = ₁ + n₁₂, a _II = ₁ + n₂₂, то то есть C_I = – n₂, C_II = – n₁. ₁, ₂ – нормальные частоты.

3. Колебания молекул. Колебательные степени свободы. Типы молекулярных колебаний (валентные и деформационные, симметричные и антисимметричные). Нормальные моды некоторых простейших молекул.

1) Типы молекулярных колебаний:

Валентные молекулярные колебания – колебания атомов, происходящие вдоль направлений химических связей; могут быть симметричными (атомы колеблются синфазно ­– возбуждена низкочастотная мода) и антисимметричными (атомы колеблются в противофазе – возбуждена высокочастотная мода). Валентные колебания описываются моделями связанных осцилляторов (см. № 2).

Деформационные колебания – изменение формы молекулы без изменения длин связей.

2) Колебательные степени свободы:

Если молекула состоит из N атомов, то для её описания требуется 3N уравнений (каждый атом представляется как материальная точка, имеющая три поступательные степени свободы). Молекула в целом имеет три поступательные и три (две для линейной) вращательные степени свободы. Тогда колебания атомов в молекуле описываются 3N – 6 (3N – 5) уравнениями, то есть молекула имеет 3N – 6 (3N – 5) колебательных степеней свободы.

Н апример, молекула воды нелинейна и состоит из трёх атомов, поэтому она имеет 3 колебательные степени свободы. Две из них соответствуют симметричным и антисимметричным валентным колебаниям (вдоль О–Н связей), а третья – деформационным колебаниям (изменению угла Н–О–Н). Молекула CO₂ линейна и состоит из трёх атомов, поэтому она имеет 4 колебательные степени свободы. Две из них вновь соответствуют валентным (симметричным и антисимметричным) колебаниям, а две другие – так называемым вырожденным (искривление молекулы в двух взаимно перпендикулярных плоскостях). Такие вырожденные колебания являются деформационными, но имеют иное название, поскольку плоскости равноправны и соответствующие им колебания имеют одинаковую энергию.

4. Сложение гармонических колебаний, происходящих по одной оси. Представление о методе векторных диаграмм. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний одинаковой частоты. Фигуры Лиссажу.

1) Сложение колебаний, происходящих вдоль одной оси:

Для сложения таких колебаний используют метод векторных диаграмм: колебание представляется в виде вектора, модуль которого равен амплитуде, вращающегося вокруг положения равновесия. В этом случае угол  – фаза колебаний. Координата тела x = Acos изменяется по гармоническому закону и, по сути, совершает колебания. Именно она имеет физический смысл. В этом случае колебания можно складывать как вектора амплитуд.

Если колебания когерентны (то есть их разность фаз постоянна во времени), то для результирующего колебания

 = Acos(t + ₀) верны следующие зависимости: Если колебания некогерентны, то результирующая амплитуда изменяется во времени, поэтому требуется производить отдельный расчёт для каждого момента времени.

2) Сложение взаимно перпендикулярных колебаний:

В этом случае удобно принять прямые, вдоль которых происходят колебания, за оси координат. Тогда результирующее колебание – сложение колебаний двух координат тела. – уравнение эллипса. Происходит эллиптическая поляризация колебаний – траектория тела имеет вид эллипса. При A₁ = A₂ и  = (2m+1)/2 эллипс вырождается в окружность (циркулярная поляризация), а при  = m – в прямую.

Если частоты складываемых колебаний различаются в целое число раз, то траектории тела называются фигурами Лиссажу: они вписаны в прямоугольник со сторонами 2A₁, 2A₂; эти кривые замкнуты, а их форма зависит от соотношения частот и разности фаз складываемых колебаний.

5. Затухающие колебания. Осциллятор с небольшим затуханием. Частоты и период колебаний, коэффициент затухания, время релаксации амплитуды и энергии, декремент и логарифмический декремент, добротность. Осциллятор с большим затуханием. Критический режим.

1) Осциллятор с небольшим затуханием:

Затухающие колебания – колебания, при которых имеют место потери энергии.

Пусть на колебательную систему действует сила трения, пропорциональная скорости (случай вязкого трения): Тогда второй закон Ньютона может быть записан в виде характеристическое уравнение имеет вид В случае малого затухания  < ₀, поэтому решение дифференциального уравнения примет вид Здесь _s – собственная частота затухающих колебаний; ₀ – собственная частота незатухающих колебаний; ₀ – начальная фаза. – амплитуда затухающих колебаний. – период затухающих колебаний.

Для электрического колебательного контура затухание обусловлено наличием сопротивления, на котором выделяется тепло (теряется энергия). Уравнение запишется в виде

2) Параметры затухания колебаний:

 – коэффициент затухания.

Время релаксации амплитуды (_А) – время, за которое амплитуда уменьшается в e раз:

Время релаксации энергии (_W) – время, за которое энергия системы уменьшается в е раз:

Число колебаний, за которое амплитуда уменьшается в е раз (N_e):

Декремент затухания (D) – число раз, в которое уменьшается амплитуда колебаний за период:

Логарифмический декремент затухания ():

Добротность (Q) – параметр, характеризующий устойчивость колебательной системы к затуханию; пропорционален (см. 7.2) отношению энергии к убыли энергии за период. при малом затухании

3 ) Осциллятор с большим затуханием:

При  > ₀ решение дифференциального уравнения, соответствующего второму закону Ньютона (см. 5.1) имеет иной вид: где Параметры А и В определяются из начальных условий. Время возвращения системы в положение равновесия определяется экспонентой с меньшим показателем, то есть ₁. При большом затухании ₁ может быть достаточно большим, то есть время релаксации окажется большим, что нежелательно при работе стрелочных приборов.

4) Критический режим:

П ри  = ₀ реализуется так называемый «критический» режим колебаний осциллятора; в этом случае решение дифференциального уравнения имеет вид A = (0); при А = 0 тогда максимальное отклонение достигается в момент времени 1/ и составляет Это свойство используется для определения импульса по максимальному отклонению стрелки в баллистических приборах.

5) Особенности затухающих колебаний в системе связанных осцилляторов:

Разные моды затухают по-разному. При малых затуханиях нормальные моды остаются независимыми, поэтому их число равно числу степеней свободы, как и для систем без затухания (см. № 2). При больших затуханиях моды перестают быть независимыми.

6. Вынужденные гармонические колебания. Зависимости амплитуды и фазы установившихся колебаний, а также амплитуд поглощения и дисперсии от частоты вынуждающей силы. Резонансы смещения и скорости. Мощность, затрачиваемая на поддержание колебаний.

Характеристики

Список файлов ответов (шпаргалок)