Ответы (1115942), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

1) Установившиеся вынужденные колебания:

В ынужденные колебания – колебания, происходящие под действием переменной внешней силы. Будем рассматривать только случай внешней силы, изменяющейся по гармоническому закону: F = F₀cost.

П од действием внешней силы система будет выведена из положения равновесия, поэтому в ней возбудятся собственные (свободные) колебания с частотой _S; кроме этого, система будет колебаться с частотой  внешней силы. Постепенно свободные колебания затухнут; частота колебаний станет равна  – такой режим колебаний называется установившимся. Второй закон Ньютона запишется в виде где f₀ = = F₀/m. Решение данного дифференциального уравнения будет состоять из решения однородного уравнения, соответствующего свободным затухающим колебаниям, и частого решения, которое может быть найдено в виде Тогда Воспользуемся методом векторных диаграмм: по теореме Пифагора

С оставляющие амплитуды A_P = Asin и A_D = Acos называются амплитудами поглощения и дисперсии соответственно. При система ведёт себя как свободный осциллятор, на который действует постоянная по величине сила F₀. При

2) Резонансы амплитуды и скорости:

Амплитуда вынужденных колебаний максимальна если значение минимально: – резонансная частота. При резонансе при малом затухании

Амплитуда скорости определяется выражением: максимум достигается при  = ₀.

3) Мощность, затрачиваемая на поддержание колебаний:

Мгновенная мощность может быть вычислена как то есть Поэтому среднее значение мощности, затрачиваемой на поддержание колебаний, пропорционально амплитуде поглощения.

7. Лоренцевская форма линии поглощения. Ширина резонансной кривой поглощения. Пять определений добротности. Особенности вынужденных колебаний в системе связанных осцилляторов.

1) Ширина резонансной кривой поглощения:

вблизи резонанса; поэтому Функция R() называется лоренцевской формой линии и описывает резонансный пик; R() = 1 при  = ₀; R() = ½ при Поэтому полуширина резонансной кривой (то есть ширина пика при значении мощности, равном половине максимального) где _W – время релаксации энергии (см. № 5).

2) Пять определений добротности:

Первое определение добротности – см. № 5. – второе определение. при малом затухании то есть – третье определение. – четвёртое определение (при малом затухании). – пятое определение. Формула для _р, а, значит, и последнее определение верны в случае где

3) Особенности вынужденных колебаний систем связанных осцилляторов:

Каждая нормальная мода имеет собственный резонанс, причём в общем случае ширина резонансных кривых и резонансная амплитуда различны и зависят от добротности для каждой из мод. При больших затуханиях моды перестают быть независимыми и их введение теряет смысл (как и для собственных затухающих колебаний) – см. № 5.

8. Квазистационарный переменный ток. Закон Ома для цепи, состоящей из последовательно соединённых индуктивности, сопротивления и конденсатора. Резонансные явления в последовательных и параллельных цепях переменного тока. Мощность, выделяющаяся в цепи переменного тока. Эффективные (действующие) значения напряжения и тока.

1) Закон Ома для последовательной цепи переменного тока:

Часто в цепях переменного тока напряжение изменяется по гармоническому закону U = U₀cost. В этом случае (если ток – квазистационарен, то есть в любой момент времени сила тока во всех точках последовательной цепи одинакова) второе правило Кирхгофа для цепи последовательно соединённых индуктивности, ёмкости и сопротивления запишется как что идентично дифференциальному уравнению второго закона Ньютона для вынужденных механических колебаний (см. № 6). Следовательно, в установившемся режиме уравнение колебаний имеет вид а q₀ и  ищутся с помощью метода векторных диаграмм.

Д ля отыскания соотношения между амплитудными значениями силы тока и напряжения на векторной диаграмме откладывают напряжения на отдельных элементах цепи: поэтому – полное сопротивление последовательной цепи; U₀ = I₀Z – закон Ома для цепей переменного тока. По аналогии с цепями постоянного тока вводят сопротивления индуктивное и емкостное Сопротивление резистора R называется омическим (активным); индуктивное и емкостное – реактивным.

2) Резонансные явления в цепях переменного тока:

Условие резонанса тока в последовательной цепи совпадает с условием резонанса скорости (см. 6.2): Резонансу силы тока соответствует минимум полного сопротивления цепи, то есть

Д ля параллельной цепи, содержащей индуктивность и ёмкость, минимум (ноль) силы тока также достигается при равенстве соответствующих сопротивлений, то есть _р = ₀. Такое состояние называется резонансом сопротивления (или балансом токов). Если же последовательно с индуктивностью присоединён резистор, то векторная диаграмма изменится.

Условие резонанса сопротивления (минимума силы тока в подводящих проводах):

3) Мощность, выделяющаяся в цепи переменного тока:

Аналогично 6.3 Из векторной диаграммы поэтому где – действующее (эффективное) значение силы тока (то есть значение силы постоянного тока, для которого в цепи выделяется та же мощность). Аналогично вводится действующее значение напряжения Выражения для действующих значений силы тока и напряжения, очевидно, не зависят от формы цепи и определяются характером колебаний напряжения.

9. Классическое дифференциальное волновое уравнение. Уравнение плоской и сферической гармонических волн. Продольные и поперечные волны. Волновой вектор. Учёт затухания волны. Упругие гармонические волны. Плотность энергии, переносимой упругой волной.

1) Классическое дифференциальное волновое уравнение:

Волна – распространяющееся в среде возмущение.

Простейшей моделью волны является система большого числа связанных осцилляторов. Пусть массы всех осцилляторов одинаковы и равны m, все они связаны одинаковыми пружинами жёсткости k, а расстояние между соседними осцилляторами в положении равновесия равно l. Тогда для любого осциллятора можно записать второй закон Ньютона: Переходя к непрерывной среде, устремим число осцилляторов к бесконечности, а l – к нулю и получим гладкую функцию (x, t). Пусть x – координата n-го осциллятора; тогда, разложив  в ряд Тейлора, а также считая, что в процессе колебаний расстояние между соседними осцилляторами изменяется мало, получим: Подставим данные выражения в дифференциальное уравнение второго закона Ньютона: – классическое дифференциальное волновое уравнение для одномерного случая, где v – коэффициент, имеющий размерность скорости. Пусть V – скорость распространения волны (то есть скорость распространения возмущений); тогда, считая колебания в начале координат гармоническими без начальной фазы: получим, что где  – время распространения волны в точку с координатой x; k – волновое число:  – длина волны; расстояние, на которое распространяется волна за один период колебаний. Подставив функцию  в волновое уравнение, можно убедиться, что она удовлетворяет этому уравнению, причём константа v = V. Таким образом, константа в волновом уравнении имеет смысл скорости распространения волны, называемой фазовой скоростью.

Условия применимости классического волнового уравнения: малые возмущения среды, среда является недиспергирующей (то есть скорости распространения волн разных частот одинаковы). Второе требование связано с тем, что уравнению, очевидно, должны удовлетворять гармонические функции разных частот, а это, в свою очередь, позволяет распространить уравнение на любые периодические функции, удовлетворяющие условию Дини и представимые в виде суммы своего ряда Фурье.

Для трёхмерного случая волновое уравнение запишется как где – оператор Лапласа.

2) Уравнения плоской и сферической волн:

Волновая поверхность – геометрическое место точек, колеблющихся в одной фазе.

Фронт волны – передняя волновая поверхность.

В олны можно классифицировать по виду их волновых поверхностей: плоские, сферические, цилиндрические и др.

Волну можно рассматривать, как плоскую, если размеры источника много больше расстояния до него; – уравнение плоской волны (энергия колеблющихся частиц не зависит от расстояния до источника, поскольку в каждой плоскости все частицы колеблются синфазно). Возможно рассмотрение плоской волны в полярной системе координат: – волновой вектор (вектор, перпендикулярный к фронту волны и направленный в сторону её распространения); поэтому уравнение можно записать как

В сферической волне (всякую волну можно считать сферической, если расстояние до источника много больше его размеров) энергия колеблющейся частицы обратно пропорциональная площади соответствующей ей волновой поверхности, то есть энергия пропорциональна квадрату амплитуды (см. 1.3), поэтому – уравнение сферической волны.

3) Учёт затухания волн:

Характеристики

Список файлов ответов (шпаргалок)