Д.Ф. Киселев, А.С. Жукарев, С.А. Иванов и др. - Электричество и магнетизм. Методика решения задач (1115540), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Взаимодействие движущегося заряда с магнитным полем.9.2. Определение энергии магнитного поля и магнитных сил,действующих на проводники с током, ограниченные в пространстве.9.3. Определение вращающего момента и сил, действующих напроводник с током и магнитный диполь во внешнем магнитном поле.§ 9.3. Методы решения и примеры решения задачДля решения задач этой главы необходимо хорошо владеть методами определения направления и величины индукции магнитногополя, создаваемого различными распределениями токов. Таким образом, базовыми оказываются задачи, рассмотренные ранее в главе 7 (магнитное поле стационарного тока в вакууме). Так как силыи моменты сил являются векторными величинами, то особое внимание следует уделить качественному анализу задачи. При этом необходимо, прежде всего, определить симметрию предложеннойсистемы проводников, величину и направление векторов индукциимагнитных полей, которые создают отдельные части системы. Подчастями системы подразумеваются не только изолированные про-Гл.
9. Энергия и силы в магнитостатике275водники с током, но и отдельные части проводников, направлениетока в которых отличается от направления тока в остальных частях(изогнутый проводник). Удобно одну из частей рассматривать, какобъект, создающий магнитное поле, действующее на остальныечасти системы. Дальнейшее решение основывается на использовании законов Ампера (9.1), силы Лоренца (9.12), а также соотношений (9.2), (9.3), (9.4).Задачи типа 9.1Определение энергии магнитного поля и магнитных сил в системахбезграничных проводников с линейным, поверхностным или объёмным током. Взаимодействие движущегося заряда с магнитнымполемМетоды решения.
Базовыми для раздела являются задачи7.3.1, 7.3.7, 7.3.10 (глава 7). Начинать решение задач этого типаследует с анализа распределения магнитных полей системы впространстве (направление и симметрия). Исходя из результатовтакого анализа, надо выбрать часть системы, которая создаётмагнитное поле. Этот выбор должен определяться простотой иудобством решения.Задача 9.3.1. Бесконечно длинный тонкий проводник с током Iизогнут в форме буквы П. Расстояние между длинными частямипровода равно l.
Найти величину и направление силы Fl, действующей на единицу длины проводника в точке О, находящейся вцентре горизонтальной перемычки.РешениеПредположим, что ток течет в контуре по часовой стрелке (см.рис. 9.1). Тогда вектор магнитной индукции поля такой системы вокрестности точки О направлен от нас перпендикулярно плоскостирисунка. В соответствии с законом Ампера (9.1) на элемент токадлиной dl в окрестности точки О действует сила dF = I [dl × B] , направление которой указано на рис. 9.1.
Поэтому величина силы,действующей на единицу проводника в этой области, равнаdFFl == IB .dl276ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧОпределим индукцию магнитного поля в точке О, используяметоды главы 7. Согласно принципу суперпозиции, результирующее поле В будет равно сумме полей В1 иВ2, которые создают в этой области пространства участки провода АА1 и СС1 (индукция магнитного поля, создаваемого участком АС на элементе провода dl в окрестности точки О, равна нулю). Из симметриизадачи следует, что величины магнитныхиндукций этих полей одинаковы (В1 = В2) иравны половине индукции поля, котороесоздал бы в точке О бесконечно длинныйпроводник с током, находящийся на расlРис.
9.1. К определениюстоянииот нее. Используя результат ба- силы, действующей на ли2нейный проводник с токомзовой задачи 7.3.1в магнитном поле (задачаµ0 Iµ0 I9.3.1),B = B1 + B2 = 2 B1 = 2=4 π( l 2 ) π lоткуда получимµ I2Fl = 0 .πlµ0 I 2;πlсила перпендикулярна короткой стороне проводника (см. рис. 9.1) иеё направление не зависит от направления тока.Ответ:Fl =Задача 9.3.2 (базовая задача).
Две параллельные плоскости,по которым течет ток, создают в пространстве между собой однородное магнитное поле с индукцией B. Вне этой области поле отсутствует. Найти силу магнитного взаимодействия FS, действующую на единицу площади каждой плоскости.РешениеВ задаче 7.3.8 главы 7 было показано, что токи по плоскостямтекут параллельно друг другу в противоположных направлениях –иначе согласно принципу суперпозиции будет существовать магнитное поле в пространстве вне плоскостей.При противоположной ориентации параллельных токов в про-Гл.
9. Энергия и силы в магнитостатике277странстве между плоскостями индукция магнитного поля вдвоебольше поля уединенной плоскости В1 и равнаB = µ 0i = 2B1 ,где i – величина поверхностнойплотности тока, текущего в каждой плоскости.Силу взаимодействия плоскоРис. 9.2. Определение силы магнитного взаимодействия двух паралстей можно найти как результатлельных плоскостей с поверхностдействия магнитного поля, создаными токами (задача 9.3.2)ваемого одной плоскостью, на токи в другой. Пусть на участокпластины с площадью ∆S в соответствии с законом Ампера (9.1),действует сила равная ∆F. Тогда сила, действующая на единицу поверхности одной из плоскостей со стороны магнитного поля, создаваемого другой плоскостью равна по модулю∆F iB1∆S B 2.==∆S∆S2µ 0Эта сила направлена перпендикулярно плоскостям в сторону отплоскости, создающей магнитное поле (см.
рис. 9.2). Таким образом, плоскости с противоположно направленными токами отталкиB2. Отметим,ваются друг от друга, испытывая давление p = FS =2µ 0что взаимодействие токов, текущих в пределах одной пластины,приводит к силам, параллельным ее поверхности, т.е. к касательным напряжениям.Ответ: Сила (отталкивания) направлена перпендикулярноB2плоскостям и равна FS =.2µ 0Замечание. Такой же результат можно получить, используяформулу (9.11). Так как в пространстве вне плоскостей магнитноеполе отсутствует, а объёмная плотность энергии магнитного поля вB2пространстве между плоскостями согласно (9.9) равна w1 =,2µ 0FS =278ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧB2.2µ 0При таком решении направление сил давления можно легкоопределить из (9.8′).
Раздвинем плоскости на малое расстояние. Таккак плотность энергии не зависит от расстояния между плоскостями, то энергия возрастет. Согласно (9.8′) при постоянстве силы токазнак работы магнитных сил совпадает со знаком изменения энергии. Таким образом, при раздвижении плоскостей работа будет положительной, что и соответствует силе отталкивания.получим FS = p = w1 − 0 =Задача 9.3.3 (базовая задача). Два параллельных тонких провода длиной l каждый находятся на расстоянии d друг от друга(l >> d). В них поддерживаются постоянные токи I1 = I2 = I, направленные в противоположные стороны. Какую работу совершают силы магнитного поля (силы Ампера) при удалении проводов на расстояние 2d друг от друга? Краевыми эффектами пренебречь.РешениеКак известно, два параллельных проводника, по которым токитекут в противоположных направлениях, отталкиваются.
Поэтомупри удалении проводников друг от друга работа сил магнитногополя будет положительной.Рассмотрим один провод в поле другого. Не ограничивая общности задачи, можно считать, что провод, создающий магнитноеполе, неподвижен. Если другой провод находится на расстоянии хот первого, на него в соответствии с (9.1) действует сила Ампера,равнаяµ I2F = IBl = 0 l .2 πxЗдесь использовано выражениедля величины индукции В бесконечного прямолинейного тока, полученное вбазовой задаче 7.3.1, Сила Ампера направлена перпендикулярно проводу(см. рис. 9.3), поэтому под её действиРис. 9.3.
К расчету работыем провод будет перемещаться в плоссил Ампера при перемещениипроводов с токами друг отнокости рисунка параллельно самому сесительно друга (задача 9.3.3)бе. При перемещении одного из про-Гл. 9. Энергия и силы в магнитостатике279водов на dx силы магнитного поля другого провода совершат работуµ0 I 2l dx ,2 πxи полная работа по удалению проводов на заданное расстояние 2dбудет равнаδA = Fdx =2dA=Ответ: A =µ0 I 2µ0 I 2ldx=l ln 2 .∫ 2πx2πdµ0 2I l ln 2 .2πДополнение.
Проверим выполнение закона сохранения энергиив данной задаче (соотношение (9.7) теоретического материала).Так как конфигурация и, соответственно, индуктивность системы изменяется, а сила тока, текущего в проводниках, остаетсяпостоянной, то в соответствии с (9.5) изменение энергии можно записать как∆W =L2 I 2 L1 I 2 I 2−= ( L2 − L1 ) ,222где L2 и L1 –индуктивности двухпроводной линии в конечном и наµl xчальном состоянии, определяемые формулой L( x ) ≅ 0 ln , где хπa– расстояние между проводами, а – радиус провода (см.
задачу8.4.15 главы 8). Для данного случая получим∆W =µ 0 I 2 l 2dd µ I2− ln = 0 l ln 2 = A > 0 , lna2π a2πто есть энергия системы увеличилась на величину, численно равную работе сил Ампера, что соответствует формуле (9.8) теоретического материала.Согласно закону сохранения энергии (9.7) работа сил Ампера иизменение энергии системы произошло за счет работы источникаЭДС, который поддерживал постоянным ток в проводниках (т.е. совершал работу против ЭДС индукции, возникшей в системе при перемещении проводов). Действительно,280ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
