Д.Ф. Киселев, А.С. Жукарев, С.А. Иванов и др. - Электричество и магнетизм. Методика решения задач (1115540), страница 40
Текст из файла (страница 40)
В полярных координатах этот2вектор имеет вид255Гл. 8. Электромагнитная индукция1 .Е = {Er; Eϕ} = {0; − r B }.2Уравнение спирали с N витками вполярных координатах имеет видr(ϕ) = aϕ,R. Учитывая, что дифференгде a =2 πNциал дуги в полярных координатах имеет вид dl = {dr; rdϕ}, найдем приращение ЭДС на элементе дуги спиралиB(t)1 .1 .dE = Edl = − r B rdϕ = − B r 2 (ϕ) dϕ .22Рис. 8.8. К расчету ЭДСиндукции в спирали (задача 8.3.8)Интегрируя dE по ϕ в пределах от 0до 2πN, получаем ЭДС для всей спирали1 .E=− B22 πN1 .2∫ r dϕ = − 2 B0.R (2πN )1= − πNR 2 B2 2πN 332 πN1 2∫ (aϕ) dϕ = − B.0231πNR 2 B0 ω sin ωt .3Способ 2.
Поскольку по условию число витков N велико, шагспирали мал и ее каждый виток близок к окружности. ЭДС в i-омОкончательно, E =..2круговом витке Ei = − Фi = −πri2 B , где ri – средний квадрат радиуса i-ого витка. Полная ЭДС получится суммированием по виткам,R) можно свести ккоторое ввиду малости шага спирали ∆r (∆r =Nинтегрированию:NN.E = ∑ Ei = −π B ∑ ri2 = −i =1i =1.π . R31B= − πNR 2 B ,R N 33что приводит к тому же результату.=−Ответ:E=Rπ . N 2π . 2B ∑ ri ∆r ≅ −B ri dr =∆r i =1∆r ∫01πNR 2 B0 ω sin ωt .3256ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ.
МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧЗадача 8.3.9. По двум параллельным бесконечным плоскостямтекут одинаковые по модулю противоположно направленные токи споверхностной плотностью, меняющейся во времени по законуi(t) = αt. Найти вихревое электрическое поле между плоскостями.РешениеВыберем систему координат xyz, как показано на рис.8.9. Впространстве между плоскостями магнитное поле однородно, снаружи равно нулю. Вектор индукции B перпендикулярен направлению токов и равен В = µ0i (глава 7, задача 7.3.8).Направление силовых линий вихревого электрического поляможно найти из следующих соображений. В силу симметрии системы относительно центральной плоскости силовые линии должныбыть параллельны плоскостям и по модулю симметричны относительно центральной плоскости.
Действительно, присутствие перпендикулярной х-компоненты в этом случае привело бы к нарушению условия div E = 0. Далее, наличие у поля y-компоненты нарушило бы эквивалентность обоих направлений по этой оси. Такимобразом, возможно существование только компоненты Еz. Направление векторов Е вдоль оси ozx+i (t)можно определить по правилуЛенца, поскольку они должныlЕбыть антипараллельны направ0 B2xzлению поверхностных токов iЕна верхней и нижней плоскости.–i (t)Картина силовых линий представлена пунктиром на рис. 8.9.Рис.
8.9. К расчету вихревогоэлектрического поля между плосДля нахождения Ez(x) прокостями с током (задача 8.3.9)ведем прямоугольный контур состоронами l и 2x симметрично относительно центральной плоскости. ЭДС на этом контуре, равная циркуляции вектора Е, при указанномстрелкаминаправленииобходаравнаE = –2Еl. Учитывая, что положительное направление нормали кконтуру параллельно В, магнитный поток через контурФ(t) = +2xl·B(t), откуда для ЭДС согласно (8.2) можно записать..E = − Ф = −2 xl B .
Приравнивая оба выражения для ЭДС, получаемE ( x ) = E z ( x ) = xBɺ = µ 0αx .257Гл. 8. Электромагнитная индукцияОтвет: E = E z ( x ) = µ 0 αx , где х – координата по оси, перпендикулярной к плоскостям с началом посередине между ними.Задача 8.3.10. На поверхности длинного сплошного непроводящего цилиндра радиуса а равномерно распределен заряд с поверхностной плотностью σ. Цилиндр может вращаться без трениявокруг своей оси.
Внешнее однородное магнитное поле с вектороминдукции В направлено вдоль оси цилиндра. Найти угловую скорость вращения ω, которую приобретет цилиндр после выключениямагнитного поля. Плотность вещества цилиндра ρ, первоначальноцилиндр неподвижен.РешениеВведем цилиндрическую систему координат (r, ϕ, z) с осью Z,совпадающей с осью цилиндра и параллельной полю В. Во времявыключения магнитного поля возникает вихревое электрическоеполе Е (задача 8.3.7) силовые линии которого ввиду аксиальнойсимметрии задачи являются окружностями с центром на оси цилиндра (пунктир на рис.
8.10). Это поле будет действовать на поверхностные заряды цилиндра, вызывая его ускорение.Поскольку заряды находятся на поверхности цилиндра, найдемнапряженность при r = a. В контуре r = a возникает ЭДС индукции.E = − Ф = 2 πaE , откуда.E ( a ) = − Ф / (2πa )где Ф – магнитный поток через поперечное сечение цилиндра.Здесь положительное направление обхода быσло выбрано против часовой стрелки, положиE Bтельная нормаль параллельна В.ωРассмотрим элемент заряда dq = σdS наповерхностицилиндра. Со стороны возникшеРис. 8.10. Направлениесиловых линий вихре- го электрического поля на него будет действовогоэлектрического вать сила dF = Edq.
Эта сила, в свою очередь,поля и направление вызывает вращающий момент, направленныйвращения заряженногопо оси цилиндра Z и равныйцилиндра(задача8.3.10).ФdM z = adF = aEσdS = − σdS .2π258ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧПолный вращающий момент получается интегрированием поповерхности цилиндра, что в данном случае сводится просто к умножению на площадь его боковой поверхности 2πab, где b – длинацилиндра:..ФM z = aEσ ⋅ 2πab = − σ2πab = −σab Ф .2πУчитывая, что момент инерции цилиндра относительно его осиравен11J = ma 2 = ρπa 4 b ,22найдем его угловое ускорение.Mσab Ф2σ dФωz = z = −=−.1Jρπa 3 dtρπa 4b2Интегрируя это соотношение по времени и учитывая, чтоФ(0) = πa2B и Ф(∞) = 0, окончательно получаем.2σ2σ2σ(Ф( ∞) − Ф(0)) =πa 2 B =B.33ρaρπaρπa2σОтвет: ω =B.ρaωz = −Задачи типа 8.5Нахождение индуктивности контуров, состоящих из линейныхпроводниковМетод решения.
Индуктивность целесообразно находить непосредственно из ее определения по формуле (8.6), проводя контурпо линейным проводникам.Задача 8.3.10 (базовая задача). Найти индуктивность длинного тонкого цилиндрического соленоида, имеющего N витков, длинуl и радиус а (l >> a).РешениеВеличина вектора индукции магнитного поля в длинном соленоиде была найдена в главе 7 (задача 7.3.9) и равна B = µ0nI, где259Гл.
8. Электромагнитная индукцияN– плотность намотки. Поскольку магнитное поле однородно,lпоток вектора В через один виток будет равен Ф1 = BS = µ0nIS, гдеS = πa2 – площадь витка. Полный поток через все N витков равенn=2Ф = NФ1 = µ0 N IS. Отсюда по определению индуктивности (8.6)lполучаем2Ф= µ0 N S = µ0n2V,L=Ilгде V = Sl = πa2l – объем соленоида.2Ответ: L = µ0 N S = µ0 n 2V, где S – площадь поперечного сеlчения, V – объем соленоида.Задача 8.3.11.
Найти индуктивность тороидальной катушкипрямоугольного сечения, имеющей N витков, внутренний радиускоторой равен a, внешний b и высота h (рис. 8.11).РешениеВвиду осевой симметриисиловые линии внутри тора явaaляются концентрическими окBhружностями с центром на егоbоси. Модуль вектора индукцииrнайдем по теореме о циркуляцииРис.
8.11. К расчету индуктивностивектора B (глава 7, (7.9))тороидальнойкатушки(задачаNI8.3.11).B(r ) = µ 02π rМагнитный поток через один виток равен потоку через поперечное сечение тора σ:bФ1 = ∫ BdS = ∫ µ 0σabNIµdr µbh ⋅ dr = 0 NIh ∫ = 0 NIh ln ,2π r2πr 2πaaгде учтено, что dS = h⋅dr. Полный магнитный поток через обмотку сN виткамиµbФ = NФ1 = 0 N 2 Ih ln = LI,2πa260ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧОткуда получаем L =Ответ: L =µ0 2bN h ln .2πaµ0 2bN h ln .2πaЗадачи типа 8.6Расчет индуктивности проводников с пространственнораспределенными токамиМетод решения. В задачах этой группы прямое использованиеопределения индуктивности (8.6) бывает затруднительно, поскольку не очевидно, как в пространственном проводнике выделить контур для расчета потока.
Поэтому целесообразно использовать связьиндуктивности с энергией контура (8.7), при этом магнитная энергия W должна быть найдена независимым образом из плотностиэнергии магнитного поля (9.10). Таким образом, индуктивностьрассчитывается из соотношенияB21W =∫dV = LI2.2µ02VЗадача 8.3.12 (базовая задача). Найти индуктивность L' единицы длины двухпроводной ленточной линии, если расстояние между лентами h значительно меньше их ширины b (рис. 8.12)РешениеПусть вдоль лент текутb+Iтоки силы I в противоположh–IBных направлениях (рис.
8.12).Поскольку h << b, магнитноеРис. 8.12. К расчету индуктивностиленточной линии (задача 8.3.12)поле вдали от краев лентможно рассматривать как поле от двух бесконечных плоскостей. Его вектор напряженностиперпендикулярен направлению тока и имеет индукциюIB = µ0i = µ0 ,bгде i – поверхностная плотность тока (глава 7, задача 7.3.8). Ввидутого, что токи распределены по плоскостям, выделение контура для261Гл.
8. Электромагнитная индукциярасчета магнитного потока здесь не очевидно, но индуктивностьлегко определить из энергетического подхода. Плотность энергиимагнитного поля в пространстве между лентами равна2B2 1 I = µ0 .2µ0 2 b Рассмотрим отрезок линии длины l и объема V = bhl. Энергиямагнитного поля внутри негоw=21 I1µ 0 bhl = LI 2 .2 b2hLhОтсюда получаем L(l) = µ0 l и L' == µ0 .blbhОтвет: L' = µ 0 .bW(l) = w·V =Задача 8.3.13. Коаксиальный кабель состоит из сплошноговнутреннего проводника радиуса а и тонкого внешнего цилиндрического проводника радиуса b. Найти индуктивность единицы длины кабеля.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
