Д.Ф. Киселев, А.С. Жукарев, С.А. Иванов и др. - Электричество и магнетизм. Методика решения задач (1115540), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Считать, что магнитная проницаемость материала проводников и зазора между ними µ = 1, ток распределен по проводникам равномерно.РешениеПусть по проводникам текут токи сиbлы I в противоположных направлениях(рис. 8.13). Поскольку суммарный ток равен нулю, вне кабеля магнитное поле отaсутствует.Внешний проводник кабеля полявнутри себя не создает (задача 7.3.10).Рис. 8.13. К расчетуиндуктивности коаксиМагнитное поле в области r < b создаетсяального кабеля (задачатолько внутренним проводником.8.3.13)Величина индукции магнитного полявнутри центрального цилиндрическогопроводника (r < a) с однородной плотностью тока равнаµ Iµ IB = 0 2 r , а снаружи (a < r < b) составляет B = 0 (гл.
7, задача2π r2πa7.3.11).262ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧНайдем магнитную энергию, приходящуюся на длину l кабеля.Учитывая, что плотность энергии магнитного поля составляетw = B 2 ( 2µ0 ) , можно записатьr < a:r > a:1 µ0 I W1 = ∫ wdV =2µ 0 2 πa 2 V1 µ0 I W2 = ∫ wdV =2µ 0 2 π V2aµ∫ r l 2πr dr = 160π lI22.02b1µ∫ r 2 l 2πr dr = 4π0 lIa2lnbaµ0 2b1lI (1 + ln ) = LI 2 .16πa2µbL(l ) µ 0b=(1 + 4 ln ) .Отсюда получаем L(l ) = 0 l (1 + 4 ln ) и L′ =8πal8πaПолная энергия: W1 + W2 =Ответ: L′ =µ0 b 1 + 4ln .8π aЗадачи типа 8.7Определение коэффициентов взаимной индукции линейныхконтуровМетод решения.
При расчете коэффициента взаимной индукции основной является формула (8.8). Очень полезным бывает учетравенства коэффициентов взаимной индукции, поскольку расчетодного из коэффициентов Lji или Lij часто бывает намного проще,чем другого.Задача 8.3.14 (базовая задача). Найти общую индуктивностьсистемы из двух последовательно соединенных катушек в вакууме,имеющими индуктивности L1 и L2 и коэффициент взаимной индукции L12.РешениеПри последовательном соединении ток в обеих катушках одинаков. Суммарный магнитный поток, пронизывающий обе катушки,Ф(I) = Ф1 + Ф2 = (L1I1 + L12I2) + (L2I2 + L21I1) = (L1+ 2L12 + L2)I,где учтено, что L12 = L21.
Отсюда получаем263Гл. 8. Электромагнитная индукцияФ= L1+ 2L12 + L2.IОтвет: L = L1+ 2L12 + L2.Замечание: Коэффициент взаимной индукции L12 может быть иположительным, и отрицательным в зависимости от взаимной ориентации и полярности подключения катушек, в то время как коэффициент самоиндукции L всегда положителен.L=Задача 8.3.15 (базовая задача). Замк2нутая катушка в виде тора прямоугольногосечения (без сердечника) имеет N витков. В~нее продето проволочное кольцо, в котором1источником переменной ЭДС создается токI = I0 cosωt (рис. 8.14).Рис.
8.14. Взаимное распоНайти ЭДС индукции, наводимой в ложение связанных контуобмотке тора. Внутренний радиус торои- ров (задача 8.3.15)дальной катушки a, внешний – b, высота h.РешениеДля нахождения ЭДС в катушке-торе (контур 1) требуется знатькоэффициент взаимной индукции L12. Рассчитать его трудно, поскольку для этого надо знать пространственное распределение магнитного поля кольца (контура 2) во всем объеме, занимаемом тором. Однако обратный коэффициент L21 рассчитывается элементарно.Пусть по тороидальной катушке идет ток I1.
Кольцо пронизывает магнитный поток, который локализован только в сечении тораи был рассчитан выше в задаче 8.3.11:µbФ21 = 0 NI1h ln = L21I12πaОтсюда получаемbµL21 = 0 Nh ln .2πaТогда ЭДС, наводимая в тороидальной катушке, будет...E1 = − Ф12 = − L12 I 2 = − L21 I 2 =Ответ: E1 =µ0bNh ln ⋅ I 0 ω sin ωt .2πaµ0bNh ln ⋅ I o ω sin ωt .2πa264ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧЗамечание. Здесь был рассчитан магнитный поток через перпендикулярное сечение тора, но величина потока не зависит оториентации плоскости сечения, т.е. не зависит от ориентации кольца относительно тороида. Результат будет тот же и для петли любойформы, в том числе и не плоской, лишь бы она охватывала тороид.Задача 8.3.16. В центр сверхпроводящего кольца индуктивности L и радиуса а внесен магнитный диполь с дипольным моментомрm, направленным по оси кольца (рис.
8.15). Какой ток I установится в кольце?РешениеМагнитный диполь можно представить как малую петлю (контур 1) сплощадью S и таким током I1, чтобыpmвыполнялось условие pm = I1S.IЗакон Ома для кольца.IR = E = – Ф.Рис. 8.15. К расчету инпри R → 0 приводит к условию Ф = 0,дукционного тока в кольт.е. в сверхпроводящем контуре магце (задача 8.3.16)нитный поток "заморожен" (Ф = const).Поскольку первоначально он равнялсянулю, это значение не изменится и после внесения диполя.Когда диполь будет в центре кольца, магнитный поток Ф2 черезкольцо (контур 2) будет создаваться током самого кольца I и магнитным полем, создаваемым петлей-диполем с током I1:Ф2 = LI + L21I1 = 0.Здесь положительная нормаль выбрана параллельно направлениювектора pm , а положительное направление обхода кольца – по часовой стрелке, если смотреть вдоль pm .Чтобы найти отсюда I, нужно знать коэффициент взаимной индукции контуров L21, но в данном случае гораздо проще рассчитатьравный ему коэффициент L12 следующим образом.Пусть по кольцу идет ток I2.
Тогда в центре кольца будет поле синдукциейµ IВ= 0 2 .2a265Гл. 8. Электромагнитная индукция(глава 7, задача 7.3.3). Поскольку петля диполя очень мала, поле Вна ее площади почти однородно и поток через нееµ IФ ≅ BS = 0 2 S = L12I2,2aµ0 SоткудаL12 == L21.2aПодставляя это выражение в приведенное выше условие равенства нулю полного потока, получаемLISpI = − I1 21 = −µ 0 1 = −µ 0 m .L2 La2 LapmОтвет: I = −µ 0. Знак минус означает, что индукционный2 Laток в кольце направлен против часовой стрелки, т.е. его магнитныймомент противоположен вектору магнитного момента диполя.§ 8.4. Задачи для самостоятельного решенияЗадача 8.4.1.
На расстояниях a и b отдлинного прямого проводника с постоянным током I0 расположены два параллельных ему провода, замкнутых на одном конце сопротивлением R. По проводам без трения перемещают перемычку с постояннойскоростью v (рис. 8.16). Пренебрегая сопротивлением всех проводов и индуктивностьюконтура, найти силу, необходимую для поддержания постоянства скорости.2b vµ IОтвет: F = 0 0 ln .a R 2πvbRI0 aРис. 8.16. Взаимное расположение провода стоком I0 и контура с подвижной перемычкой (задача 8.4.1)Задача 8.4.2.
Найти как функциювремени тепло Q(t), выделившееся на соаВпротивлении R от момента, когда переRмычка начала двигаться с ускорением a(рис. 8.17). Магнитное поле В однороднои перпендикулярно к плоскости провод- Рис. 8.17. Схема контура сников, сопротивлением всех проводников подвижной перемычкойи индуктивностью контура пренебречь, (задача 8.4.2)длина перемычки l.266ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ1(Bla )2 t 3 .3RЗадача 8.4.3. Квадратная проволочнаяM СAрамка ACDE со стороной l помещена вмагнитное поле с вектором индукции В,направленным перпендикулярно плоскоВ vсти рамки (рис.
8.18). По рамке с постоянN DEной скоростью v скользит перемычка MN,сделанная из той же проволоки. Найти Рис. 8.18. Схема контура сразность потенциалов точек C и D в мо- подвижнойперемычкоймент, когда перемычка находится 1) посе- (задача 8.4.3)редине; 2) у правого края. Индуктивностью контура пренебречь.13Ответ: 1) ϕC – ϕD = Blv;2) ϕC – ϕD = Blv.47Задача 8.4.4. Проводящая лента ширины l протягивается соскоростью v в магнитном поле В, направленном перпендикулярноее плоскости. Найти ЭДС между краями ленты.Ответ: E = Blv.Ответ:Q=CЗадача 8.4.5.
Металлический стерженьмассы m и длины a подвешен горизонтально на двух проводах длины l к которым подключен конденсатор емкости С.Система находится в магнитном поле синдукцией, направленной вертикальновниз (рис. 8.19).Определить период малых колебанийстержня. Сопротивлением проводов истержня пренебречь.Ответ: T = 2π( m + CB 2 a 2 )l.mglBmaРис.
8.19. К расчету периода колебаний стержня,подвешенного в магнитномполе (задача 8.4.5)aЗадача 8.4.6. П-образный проводник сВ(t)перемычкой длины l (рис. 8.20) находится воднородном магнитном поле с вектором Рис. 8.20. Схема контура синдукции В, который перпендикулярен к подвижной перемычкойплоскости проводника и изменяется во (задача 8.4.6)Гл. 8. Электромагнитная индукция267времени по закону В = βt. В момент времени t = 0 перемычку, находившуюся в крайнем левом положении, начинают перемещать безначальной скорости с ускорением а.
Найти ЭДС индукции в проводнике E(t) в зависимости от времени.3Ответ: E(t) = alβt2.2Задача 8.4.7. По двум тонким параллельным проводникам, замкнутым наaR В(t)сопротивление R, в момент времени t = 0начинают перемещать перемычку с постоянным ускорением а (рис. 8.21). СисРис. 8.21.
Схема контема находится в однородном магнитномтура с подвижной пеполе, вектор индукции которого перпенремычкой(задачадикулярен к плоскости проводников и8.4.7)изменяется по закону В(t) = B0 + βt. Начальная площадь контура S, длина перемычки l. Найти силу тока вцепи.1Ответ: I(t) = [(B0 + βt)lat + β(S + lat2/2)].RЗамечание. Первое слагаемое обусловлено ЭДС в движущейсяперемычке, возникающей за счет магнитной силы Лоренца, второе– вихревым электрическим полем.Задача 8.4.8. В магнитном поле с большой высоты падаеткольцо радиуса а и массы m, так, что плоскость кольца всегда горизонтальна. Найти установившуюся скорость падения v, если вертикальная составляющая индукции поля зависит от высоты h какB(h) = B0(1 + αh).
Ускорение свободного падения g, сопротивлениекольца R, индуктивностью пренебречь.Указание: целесообразно использовать энергетический подход.mgRОтвет: v =.( B0 πa 2 α) 2Задача 8.4.9. На длинный соленоид, через который проходитпеременный ток I(t) = I0 cos ωt, надет тор из диэлектрика с проницаемостью ε (рис. 8.22). В торе имеется очень тонкий поперечныйзазор. Найти напряженность электрического поля Е в зазоре в зави-268ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧсимости от расстояния r от оси соленоида.Радиус соленоида а, длина l, число витковN.aBµ 0 NIa 2 ωIsin ωt .Ответ: E ( r ) = εε2lrДля тока и линий поля Е положительнымсчитается направление против часовой Рис.8.22. Поперечное сечение соленоида и диэлектристрелки.ческого тора (задача 8.4.9)Задача 8.4.10.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
