Д.Ф. Киселев, А.С. Жукарев, С.А. Иванов и др. - Электричество и магнетизм. Методика решения задач (1115540), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Нахождение вихревого электрического поля.Гл. 8. Электромагнитная индукция2438.4. Расчет индуктивности контуров, состоящих из линейныхпроводников.8.5. Расчет индуктивности проводников с пространственнораспределенными токами.8.6. Определение коэффициента взаимной индукции контуров§ 8.3. Методы решения и примеры решения задачЗадачи типа 8.1Нахождение ЭДС индукции в линейных проводниках, движущихся впостоянном магнитном полеМетод решения – применение общего интегрального соотношения (8.2) либо расчет на основании силы Лоренца (8.3).В обоих случаях требуется выбрать контур, который проводится по линейным проводникам цепи.Использование (8.3) требует расчета контурного интеграла длярасчета работы силы Лоренца, и поэтому удобно при простой форме контура, например прямоугольной.Применение (8.2) для нахождения ЭДС индукции требует определения потока через площадь контура, то есть интегрированияпо поверхности, ограниченной контуром.
Этот вариант будет проще, если все проводники лежат в одной плоскости, а величина нормальной компоненты индукции Вn на поверхности контура постоянна или задана легко интегрируемой функцией координат.Использование релятивистского соотношения (8.4) для решения типовых задач курса общей физики в большинстве случаев неоправдано, поскольку приводит к ненужному усложнению.
Этоособенно проявляется в случае непоступательного движения проводников, например, при их вращении, поскольку закон преобразования полей (8.4) относится к инерциальным системам отсчета.Задача 8.3.1 (базовая задача). Длинный прямой провод, покоторому течет ток I0, и П-образный проводник ABCD с подвижнойперемычкой AB длины l расположены в одной плоскости. СторонаCD контура расположена на расстоянии а от проводника. Перемычку перемещают с заданной постоянной скоростью v (рис.8.2).
Найти:244ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ1) ЭДС индукции в контуре как функцию расстояния от перемычки до провода;2) силу тока в контуре, если сопротивление единицы длинывсех составляющих его проводников равно r′, а индуктивностьюконтура можно пренебречь.РешениеI0Нахождение ЭДС индукции (3 способа).BСЗададим для определенности направлеnание тока I0 (рис. 8.2). Выберем в качестве поvВложительного направления обхода контураDAобход против часовой стрелки. Тогда вектор nb(t)нормали к контуру будет перпендикуляренплоскости чертежа и направлен из чертежа к Рис.
8.2. К расчетунам. Обозначим расстояние от провода до ЭДС индукции в конближайшего проводника контура а, тогда рас- туре с движущейсястояниеотпроводадоперемычки перемычкой (задача8.3.1)b(t) = a + vt.Способ 1. Решение с использованием закона электромагнитнойиндукции в интегральной форме (8.2).Силовые линии магнитной индукции поля, создаваемого бесконечным прямолинейным проводом, являются окружностями ипересекают плоскость рамки под прямым углом.
В соответствии свыбранным направлением тока I0, вектор В в плоскости рамки будет направлен от нас в плоскость чертежа (рис.8.2). На расстоянии rот бесконечного провода модуль вектора индукции определяетсяследующим соотношением (глава 7, задача 7.2.1):µ IB(r) = 0 0 .2 πrВ каждый момент времени магнитный поток Ф(t) через контуропределяется интегралом от В(r) по площади контураb(t )b( t )∫∫µ I lФ(t ) = BdS = − B ( r ) ldr = − 0 02πS (t )a∫adrµ I l b( t )= − 0 0 ln.2πraЗдесь учтено, что dS = ldr, а знак минус возникает из-за противоположной направленности вектора dS (который параллелен нормали n), и вектора В.ЭДС находим по соотношению (8.2)245Гл.
8. Электромагнитная индукцияE (t ) = −∂Ф µ 0 I 0l 1 db µ0 I 0lv.==2 π b dt2 πb∂tЭДС получилась положительной, то есть при переносе положительного заряда по выбранному положительному направлению обхода контура ее работа больше нуля.Данный способ нахождения ЭДС индукции здесь не оптимален, так как в процессе решения после интегрирования выполняется дифференцирование полученного выражения, то есть, фактически, обратная операция.Способ 2. Расчет ЭДС исходя из силы Лоренца (8.3).Магнитная компонента силы Лоренца F действует только наподвижные заряды, находящиеся в движущейся перемычке, и приуказанных направлениях векторов v и B направлена вверх; согласно(8.3)µ Il1E=FL dl = [ v B ] dl = Bv dl = Bv dl = B vl = 0 0 v .qΓ2 π b( t )ABABAB∫∫∫∫Интегрирование здесь происходит только по длине перемычкиAB, поскольку остальные проводники неподвижны.
Интеграл свелся к умножению, поскольку вектор индукции В одинаков во всехточках перемычки.Этот способ, отражающий физическую причину появленияЭДС, в данном случае наиболее удобен.Способ 3. Расчет с использованием релятивистского преобразования полей (8.4).Рассмотрим задачу в системе отсчета, движущейся со скоростью перемычки v. В данной системе отсчета перемычка АВ неподвижна, а участок CD движется со скоростью –v. Согласно (8.4) вперемычке AB возникает вихревое электрическое полеEAB = [vB(b)], а на участке CD – поле EСD = [vB(a)], векторы напряженности которых на всех участках контура направлены вверх. Назаряды, находящиеся в участке CD, действует также магнитная составляющая силы Лоренца F = q⋅[(–v)B(a)], которая компенсируетдействие электрического поля EСD. Таким образом, сила Лоренца вконтуре действуют на заряды в направлении вдоль проводниковтолько на участке AB и обусловлена электрическим полем, модульнапряженности которого E = vB(b).
Это поле и вызывает появлениеЭДС246ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧE = El = Bvl =µ 0 I 0lv.2 π b(t )Легко убедиться, что в данном случае div E = div [v B(t)] = 0, тоесть поле Е является вихревым.Нахождение силы токаСопротивление контура пропорционально его периметру иравно R(t) = r′ 2[l + (b(t) – a)]. Поскольку индуктивность контура поусловию мала, можно пренебречь ЭДС самоиндукции, и сила тока вкаждый момент времени определяется по закону Ома из найденнойвыше ЭДС индукцииE (t )µ0 I 0 l v, где b (t) = а + vt.=R (t ) 4π r ′b(l + b − a )Сила тока получилась положительной, то есть его направлениесовпадает с выбранным положительным направлением обхода контура против часовой стрелки.
Создаваемый этим током магнитныйпоток, очевидно, противоположен по знаку потоку, порождаемомутоком I0, что соответствует правилу Ленца.I (t ) =µ 0 I 0lv,2 π b( t )µ0 I 0 l v, где b(t) = а + vt.2) I =4 π r ′b(l + b − a )Ответ: 1) E =Задача 8.3.2. Круглая проволочная петля радиуса а и сопротивлением R, находящаяся в однородном постоянном магнитном поле синдукцией В, равномерно вращается вокруг своего диаметра, перпендикулярного к В, с угловой скоростью ω (рис.8.3). Пренебрегаяиндуктивностью петли, найти среднюю механическую мощность,необходимую для поддержания вращения.РешениеПусть ϕ(t) = ωt – угол между вектором В и вектором n нормалик плоскости петли. Тогда магнитный поток через контурФ(t) = πa2Bcosωt,а ЭДС индукцииE = −Фɺ = πa 2 Bω sin ωt .247Гл.
8. Электромагнитная индукцияМеханическую мощность, необходимую для поддержания вращения, можно найти из того, что по закону сохранения энергии онадолжна равняться тепловой мощности Pт, выделяющейся в этомωконтуре.Поскольку индуктивностью контураможно пренебречь, ЭДС самоиндукции можно не учитывать, и для тепловой мощностиBРт получаемϕ(t)nE 2 ( πa 2 Bω) 2Pт (t ) ==sin 2 ωtRRСреднее по периоду значение этой велиРис. 8.3. К нахождению1мощности сил, врачины составляет P =( πa 2 Bω) 2 .2Rщающих петлю из проводника в магнитном1поле (задача 8.3.2)Ответ: P =( πa 2 Bω) 2 .2RЗамечание.
Мощность момента сил, обеспечивающих вращение петли, должна равняться мощности тормозящего механического момента сил Ампера, действующих на контур со стороны магнитного поля из-за протекающего в контуре индукционного тока.Решение задачи таким способом рассмотрено в главе 9, задача9.3.13.Задачи типа 8.2.Нахождение ЭДС индукции в проводящих телах, движущихся в постоянном магнитном полеМетод решения – нахождение ЭДС индукции через магнитную составляющую силы Лоренца (8.3).
Применение общего интегрального соотношения (8.2) в данном случае не всегда удобно, таккак требует задания контура. При наличии движущихся пространственных проводящих областей (тел) выбор контура может бытьнеочевидным и привести к «парадоксам» (см., например, униполярный индуктор [2, §112] и др.). В таких случаях целесообразновести расчет ЭДС, непосредственно исходя из ее первопричины –силы Лоренца.Задача 8.3.3 (базовая задача). Металлический цилиндр радиуса а помещен в однородное постоянное магнитное поле В, направ-248ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧленное вдоль его оси. Цилиндр вращают с постоянной угловой скоростью ω вокруг своей оси (рис.8.4).Найти: 1) разность потенциалов U между поверхностью цилиндра и осью; 2) поверхностную σ и объемную ρ(r) плотностизаряда в цилиндре.BРешениеПусть для определенности вектор угловойωскорости ω параллелен В. В стационарном режиме, движения электронов вдоль радиуса цилиндра нет, т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
