Д.Ф. Киселев, А.С. Жукарев, С.А. Иванов и др. - Электричество и магнетизм. Методика решения задач (1115540), страница 33
Текст из файла (страница 33)
В данной теме к таким основным задачам можно отнестиследующие – определение магнитной индукции прямого тока(7.3.1), кругового витка (7.3.3), бесконечной плоскости, по которойтечет ток с постоянной плотностью (7.3.6), бесконечной полойтрубки (7.3.8) и сплошного цилиндрического провода (7.3.10). Прианализе условия задачи следует попробовать провести аналогиюмежду заданной системой и системами из одной или несколькихбазовых задач.Задачи типа 7.1Определение индукции магнитного поля линейноготока заданной конфигурацииМетод решения. Если необходимо определить индукцию магнитостатического поля линейного тока, то универсальным методомрешения является использование закона Био-Савара–Лапласа (7.3)–(7.5) и принципа суперпозиции (7.6).Задача 7.3.1.
(базовая задача) Определить индукцию магнитного поля, создаваемого отрезком прямого провода длиной 2L вточке А, находящейся в плоскости, перпендикулярной отрезку ипроходящей через его центр, на расстоянии а от провода. Сила тока,текущего в проводе, равна I.РешениеВ данной задаче ток, магнитное поле которого необходимо определить, ограничен в пространстве и расположен симметричноГл. 7. Магнитное поле стационарного тока в вакууме211относительно плоскости, указанной в условии.Выберем правую декартову систему координат, у которой ось Zсовпадает с проводом, начало – с центром провода, ось Y проходитчерез точку А (рис. 7.2).Рассмотрим произвольный элемент тока длиной dl = dz, находящийся на расстоянии z от начала отсчета.
Он создает в точке А, характеризуемой радиус-вектором r, магнитное поле с индукцией dВ.YСогласно (7.3) направление вектора dВ определяется направлениемвектора [dl r], т.е вектор dВ направлен на нас перпендикулярно плоскости рисунка (так как в рассматриваемом случае ток течет против направления оси Z и вектор dl направлен в ту же сторону). Силовые ли- Рис. 7.2. Определение индукциимагнитного поля, создаваемогонии поля, создаваемого таким пря- отрезком прямого провода с токоммолинейным участком тока, лежат в (задача 7.3.1)плоскости, перпендикулярной проводу.Пусть угол, который составляет некоторый элемент тока с направлением на точку А, равен α.
Тогдаaa dα; z = a ctg α ; dz = − 2 .sin αsin αВ соответствии с законом Био-Савара–Лапласа (7.3)r=µ 0 Idzµ Isin α = − 0 sin α dα .24π r4π aВ силу симметрии задачи для нахождения В можно проинтегрировать это выражение по половине провода и удвоить результат:dB = dB x =α1B = Bx = 2µ0 Iµ I( − sin α) dα = 0 cos α1 .∫4π a π / 22π aЗдесь α1 – угол, который составляет с направлением на точку АLкрайний элемент тока. Так как cos α1 =, окончательно по2a + L2212ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ.
МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧлучаемµ0 IL.2πa a 2 + L2Ответ: Вектор магнитной индукции лежит в плоскости, перµ ILпендикулярной проводу, его модуль равен B = 0.22πa a + L2Замечание 1. Если плоскость, в которой лежит рассматриваемаяточка, перпендикулярна проводу, но не проходит через его середину, то индукция магнитного поля может быть вычислена аналогично:µ IB = 0 (cos α1 − cos α 2 ) ,4π aгде α1 и α2 – углы, которые составляют с направлением на точкурасчета крайние элементы тока.Замечание 2. В предельном случае a << L (бесконечный прямой провод) получаем B = µ0 I ( 2πa ) . Это выражение проще получить из теоремы о циркуляции (7.9), что показано далее в задаче7.3.9.B=Задача 7.3.2.
Найти величину и направление вектора магнитной индукции в центре плоского контура, имеющего вид прямоугольника, если длины его сторон равны соответственно b и с, а токравен I (рис. 7.3).РешениеТак как система проводника с током,представленная в условии задачи ограничена в пространстве и представляет собой несколько отрезков линейного тока, то даннаязадача относится к типу 7.2.1.Основываясь на решении базовой задачи 7.3.1 можно сказать, что векторы индук- Рис. 7.3. Прямоугольции магнитного поля, создаваемые всеми ный проводник с токомсторонами рассматриваемого прямоуголь- и направление вектораника, в центре контура (точка О на рис. 7.3) магнитной индукциибудут направлены на нас и перпендикуляр- (задача 7.3.2)ны к плоскости рисунка.
Их величины равны:Гл. 7. Магнитное поле стационарного тока в вакуумеB1 =µ0 Ic2π2213b/2b2 c2+44(индукция поля, создаваемого отрезками АВ или СD);B2 =µ0 I2π b / 2c/2b2 c 2+44(индукция поля, создаваемого отрезками ВС или DА).По принципу суперпозиции (7.6) величина индукции магнитного поля в центре контура равна2µ IB = 2( B1 + B2 ) = 0 b 2 + c 2 .π bcОтвет: Вектор магнитной индукции направлен перпендикулярно плоскости контура по правилу правого винта (см.
рис. 7.3) и2µ Iравен по модулю B = 0 b 2 + c 2 .π bcЗадача 7.3.3 (базовая задача). Определить величину индукциимагнитного поля на оси кругового витка радиуса R с током I в зависимости от расстояния до его плоскости.РешениеОбласть существования тока ограничена, а распределение токаимеет осевую симметрию.В силу осевой симметрии задачи и принципа суперпозиции(7.6) вектор индукции магнитного поля кругового витка на егооси будет направлен вдоль этойоси.
Направим ось Х декартовойсистемы координат вдоль осивитка, начало координат поместим в центр витка.Вектор dB индукции поля,создаваемого элементом токаРис. 7.4. К определению индукцииIdl, перпендикулярен к вектораммагнитного поля на оси круговогоdl и r и лежит в плоскости, первитка с током (задача 7.3.3)пендикулярной плоскости коль-214ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧца и проходящей через его диаметр, проведенный через dl(рис. 7.4). Проекция вектора dB на ось Х по закону Био–Савара–Лапласа (7.3) равнаµ I sin αdB x = 0dl .4π r 2Отсюда получимµ I sin αµ0IR 2B= 02πR=.4π r 22 R2 + x2 3 / 2(µ0IR22 R + x2)2Ответ: B =()3/ 2.µ0 I.2RЗамечание 2.
При x >> R выражение для индукции магнитногоµ IR 2 µ 2 I πR 2 µ 0 2 p mсовпадает споля на оси витка B ≈ 0 3 = 0=2 x4π x 34π x 3выражением (7.21) для индукции поля магнитного диполя на егооси. В этом случае виток с током можно рассматривать как магнитный диполь и определять магнитное поле такой системы в произвольной точке по формуле (7.20).Замечание 1. В центре кольца (х = 0) поле равно B =Задача 7.3.4.
Два одинаковых круговых витка, ток в каждом изкоторых равен I, располагаются так, что их плоскости параллельны,а центры лежат на одной оси на расстоянии L друг от друга. Радиусвитков R. Предполагая, что токи в витках текут в одном направлении, определить, при каком соотношении между R и L магнитноеполе в центре системы на оси витков будет максимально однородным, а также величину индукции этого поля.РешениеВыберем систему координат так, чтобы её ось Х совпадала сосью витков. Начало координат совместим с центром симметриисистемы (см. рис. 7.5).При решении данной задачи будем опираться на решение базовой задачи 7.3.3.Используя принцип суперпозиции, получим, что величина индукции магнитного поля в произвольной точке (с координатой х) наоси равна215Гл. 7.
Магнитное поле стационарного тока в вакуумеµ IR 2B( x ) = 022 −3 / 22 −3 / 2 2 L 2 L + R + − x R + + x .22 Рис. 7.5. Индукция магнитного поля на оси двух круговых витков содинаковыми токами (задача 7.3.4)Рассмотрим магнитное поле вблизи начала координат. При разложении функции B(x) в ряд в окрестности точки x = 0 получимx2B ( x ) = B (0) + xB ′(0) +B ′′(0) + ...2Поле в окрестности точки x = 0 будет тем однороднее, чембольше производных будут равны нулю.
Определим, при какомрасстоянии между витками B ′(0) = 0 и B ′′(0) = 0 .Введем обозначения:−3−322L 2L 2F1 ( x ) ≡ R 2 + + x ; F2 ( x ) = F1 ( − x ) = R 2 + − x .2 2 Тогда B ′(0) = 0 , если F1′(0) = − F2′(0) ;B ′′(0) = 0 , еслиF1′′(0) = − F2′′(0) .Дифференцируя полученные функции, получаем:условие F1′(0) = − F2′(0) выполняется при любых L;условие F1′′(0) = − F2′′(0) выполняется при L = R.Таким образом, поле между витками на их оси максимальнооднородно, если расстояние между витками равно их радиусу. Определим значение функции B(x) в точке x = 0 при этом условии.ПолучимB ( 0) L = Rµ IR 2 2 R 2 = 02 R +24 −3 / 2 4 = µ 0 IR 2 2 5R 3/ 2=216ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ=µ0 IR4 53/ 2≈ 0,715µ0 I.RОтвет: Поле на оси витков в окрестности центра системымаксимально однородно при L = R и равно3/ 2µ I 4µ IB = 0 ≈ 0,715 0 .R 5RЗамечание 1.
Ввиду того, что F2(x) = F1(–x), не только перваяпроизводная, но и все нечетные производные от F1(x) + F2(x) равнынулю при любых L. Таким образом, первой не равной нулю будетпроизводная 4 порядка.Замечание 2. В поперечном направлении (перпендикулярно осиХ) область однородности поля примерно такая же, как и в продольном, однако доказательство этого факта достаточно сложное.Замечание 3. Если в качестве объектов, создающих магнитноеполе, рассмотреть две одинаковые тонкие катушки из N витков, томожно считать их эквивалентными двум кольцам радиуса R с токомNI в каждом.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
