Д.Ф. Киселев, А.С. Жукарев, С.А. Иванов и др. - Электричество и магнетизм. Методика решения задач (1115540), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Каждый элемент линейноготока создаёт своё магнитостатическое поле.Магнитная постоянная – в системе единиц СИµ0 ≡ 4π⋅10-7 Гн/м (равенство точное), ε0µ0 =1/с2, где с – скорость света в вакууме.Взаимодействие элементов линейного тока описывается законом Био–Савара–Лапласа–Ампера: сила, действующая на элемент линейного тока I2dl2 со стороны элемента линейного тока I1dl1равнаdF12 =µ 0 I 2 I 1 [dl2 [dl1r12 ]],4πr123(7.1)где r12 – вектор, направленный от элемента I1dl1 к I2dl2.Взаимодействие элементов тока не удовлетворяет третьему закону Ньютона dF12 ≠ – dF21, однако для суммарных сил взаимодействия замкнутых контуров с током третий закон Ньютона выполняется F12 = – F21.Вектор магнитной индукции В.
В соответствии с принципомблизкодействия (аналогично электростатике) взаимодействие двухГл. 7. Магнитное поле стационарного тока в вакууме205элементов тока можно представить следующим образом: элементтока I1dl1 создаёт в заданной точке магнитное поле, величина и направление которого характеризуется силовой характеристикой поля– вектором магнитной индукции В.Величина магнитной индукции пропорциональна максимальной силе, действующей на элемент тока (см. (7.2)), или максимальному вращающему моменту, действующему на замкнутый контур стоком.Единицы измерения магнитной индукции – в системе единиц СИ единицей измерения индукции магнитного поля являетсяНВб Тесла Тл == 2 .
В системе единиц Гаусса индукция магА⋅ м м нитного поля измеряется в Гауссах: 1 Тл = 104 Гс.Линия магнитного поля – линия, касательная к которой в каждой точке совпадает по направлению с вектором индукции магнитного поля В в данной точке. Линии магнитного поля – замкнутые линии в силу вихревого характера поля В.Закон Ампера: сила, действующая на элемент линейного тока,помещенный в магнитное поле индукции В, равнаdF = I [dl B ] .(7.2)Закон Био–Савара–Лапласа: элемент линейного тока Idl создает магнитное поле, индукция которого в точке с радиус-векторомr, определяется соотношениемµ I [ dl r ]dB = 0;(7.3)4π r 3тогда для замкнутого линейного тока I:µ 0 I [ dl r ]k;4π ∫L r 3для объемных токов плотностью j:µ [ jr]B= 0dV .4π V r 3B=∫(7.4)(7.5)Принцип суперпозиции – вектор индукции магнитного поля,создаваемого несколькими источниками, равен сумме векторов магнитных индукций, создаваемых каждым из источников поля приотсутствии других:206ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ.
МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧB = B1 + B2 +…(7.6)Сила Лоренца: сила, действующая на точечный заряд, движущийся в электромагнитном поле со скоростью vF = qE + q[ v B] .(7.7)Циркуляция вектора А по замкнутому контуру L – интегралвида∫ Adl .LРотор векторной функции А – вектор, проекция которого наположительное направление нормали n (положительное направление вектора нормали n и направление обхода контура связаны правилом правого винта) равна пределу отношения циркуляции вектора А по физически бесконечно малому контуру L к площади ∆S,ограниченной этим контуромrot n A = lim∆S → 01Adl .∆S ∫LВ декартовой системе координат с ортами i, j, k ротор вектораА определяется соотношением, которое удобно записать в видесимволического детерминанта:i∂rot A = [∇ A ] =∂xAxj∂∂yAyk∂.∂zAzТеорема Стокса: циркуляция вектора A по произвольномуконтуру L равна потоку ротора вектора A через любую поверхность, опирающуюся на контур L (позволяет преобразовать интеграл по контуру в поверхностный интеграл):∫ Adl = ∫ rot AdSL(7.8)S(см.
теоретический материал главы 2, (2.7) – (2.10)).Теорема о циркуляции вектора индукции магнитного поляв интегральной форме (закон полного тока):∫ Bdl = µ0 I ,L(7.9)Гл. 7. Магнитное поле стационарного тока в вакууме207где I – полный ток, охватываемый контуром L. Направление обходаконтура и знак тока связаны правилом правого винта.Дифференциальные уравнения магнитного поля стационарного тока в вакууме:div B = 0;(7.10)rot B = µ0 j.(7.11)Уравнение (7.11) является дифференциальной формулировкойзакона полного тока (7.9).Уравнения (7.10) и (7.11) составляют систему уравнений Максвелла для магнитного поля стационарного тока в вакууме.Вихревой характер магнитного поля: интегральное уравнение, соответствующее уравнению (7.10), имеет вид∫ B dS = 0 .(7.12)SЭто означает, что не существует «магнитных зарядов», являющихся источниками этого поля.
Математическим условием вихревого характера поля некоторого вектора А является условиеdiv А = 0. Силовые линии вихревого поля являются замкнутыми.Так как div B = 0, то магнитное поле является вихревым.Векторный магнитный потенциал: поскольку div B = 0, аdiv (rot A) ≡ 0, то существует вектор А такой, чтоB = rot A;(7.13)он называется векторным магнитным потенциалом.
Векторный потенциал магнитного поля, создаваемого элементом тока Idl, равенdA =µ0 Idl .4π rКалибровка векторного магнитного потенциала. Векторныймагнитный потенциал А (так же, как и скалярный электрическийпотенциал ϕ) определен неоднозначно (с точностью до градиентапроизвольной функции, поскольку rot (grad f) ≡ 0). Эту неоднозначность можно устранить, наложив на потенциал дополнительноеусловие, называемое условием калибровки:1) Кулоновская калибровка (для магнитостатических задач):208ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ.
МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧdiv А = 0;в этом случае А удовлетворяет уравнению(7.14)∇2 A = −µ 0 j .2) Лоренцевская калибровка (для динамических задач):1 ∂ϕ= 0.(7.15)c 2 ∂tНа границах раздела сред тангенциальная компонента векторного магнитного потенциала А непрерывна.Магнитный момент плоского линейного контура площади Sс током I равенpm = IS n(7.16)где n – положительная нормаль к контуру, обходимому по направлению тока (рис. 7.1).Магнитный момент электрического тока – векторная величина, определяемая соотношением:div A +pm =1[r j] dV2Vдля объемного тока плотности j,pm =1[r i ] dS2Sдля поверхностного тока плотности i, (7.18)pm =1I [r dl ]2 Lдля линейного тока I,∫∫∫(7.17)(7.19)где r – радиус-вектор, проведенный из начала отсчета к элементутока.
Магнитный момент замкнутой системы токов не зависит отвыбора начала отсчета.Пользуясь определением (7.19) легко получить выражение (7.16) для магнитного моментаплоского линейного кругового контура радиусаR с током I (рис. 7.1):Рис. 7.1. Магнитныймомент плоского кругового контура с током.pm =11I [r dl ] = I nRdl = IπR 2 n = ISn ,2 L2 2 πR∫∫или для произвольного плоского линейного контура:Гл. 7. Магнитное поле стационарного тока в вакуумеpm =2091I [r dl ] = In dS = ISn ,2 LS∫∫11[r dl] = n r dl sin(r^dl) = n dS – площадь элемен22тарного сектора, соответствующего дуге dl.Магнитный диполь: если расстояние r от точки, где рассматривается магнитное поле, много больше линейных размеров l области, в которой существует электрический ток, то такой контур стоком называют магнитным диполем.
Вектор индукции магнитного поля магнитного диполяµ 3( p mr )r p m B= 0 (7.20)− 3 .4π r 5r Эта формула совпадает по форме с выражением для напряженности электрического поля точечного электрического диполя (1.4).lВ пределе → 0 приведенная формула становится асимптотичеrски точной, а магнитный диполь называется точечным. Если вектор r сонаправлен с вектором pm, то ( p m r )r = p m r 2 и индукциямагнитного поля на оси диполя выражается соотношением:µ p(7.21)B = 0 m3 .2π rгде учтено, что§ 7.2. Основные типы задач (классификация)7.1.
Определение индукции магнитного поля, создаваемоголинейным током заданной конфигурации.7.2. Определение индукции магнитостатического поля от безграничных распределений токов, обладающих плоской или осевойсимметрией.7.3. Определение индукции магнитостатического поля, созданного заданным распределением магнитных диполей.7.4. Определение индукции магнитного поля с использованиемвекторного магнитного потенциала (эквивалентные плоские электростатические и магнитостатические задачи).210ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ§ 7.3. Методы решения и примеры решения задачВ начале решения необходимо проанализировать условие и определить тип, к которому можно отнести данную задачу.Особое внимание следует обратить на распределение токов илидиполей – существуют ли пространственные ограничения рассматриваемой системы, имеется ли симметрия в распределении токов ит.п.
Исходя из принципов симметрии и суперпозиции, определитьнаправление силовых линий результирующего магнитного поля исил, действующих на диполи и проводники с током, фигурирующиев данной задаче.Среди всего многообразия задач, встречающихся в задачниках,можно выделить некоторые базовые задачи. Решение других задачосновывается на результатах, полученных при решении базовыхзадач.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
