Д.Ф. Киселев, А.С. Жукарев, С.А. Иванов и др. - Электричество и магнетизм. Методика решения задач (1115540), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Поле Е будет определятьсяпри этом не только геометрическими факторами и напряжением Uили зарядом электродов q, но и характером зависимости ρ(r) из-запоявления в проводящей среде ненулевой плотности свободныхзарядов.Задача 6.3.1. На плоский конденсатор ёмкостью С подано постоянное напряжение U. Найти ток утечки через конденсатор, еслиудельное сопротивление однородного вещества, которым заполнензазор между обкладками конденсатора, равно ρ, а диэлектрическаяпроницаемость равна ε.РешениеТак как напряжение на обкладках конденсатора постоянно, асреда, заполняющая пространство между его обкладками, однородна, то для нахождения тока утечки, текущего через конденсаторможно воспользоваться схемой (6.17).Гл.
6. Постоянный электрический ток183Электростатическое поле конденсатора однородно и напряженUность его равна E = , где d – расстояние между обкладками.dUСогласно закону Ома в дифференциальной форме (6.3) j =.ρdСила тока, текущего между обкладками равнаUS UC,I = jS ==ρd ρεε 0где учтено, что емкость плоского конденсатора C = εε 0 S d (см.(3.7), глава 3).UCОтвет: I =.ρεε 0Замечание.
Возможен также более короткий способ решенияданной задачи, основанный на использовании соотношении (6.7)теоретического материала. Так как среда, заполняющая пространство между обкладками конденсатора однородна, то согласно (6.7)её сопротивление равно R = ρεε 0 С . Используя закон Ома (6.5),сразу получаем ответ.Задача 6.3.2 (базовая задача). Пространство между обкладками плоского конденсатора заполнено последовательно двумя диэлектрическими слоями толщиной d1 и d2, диэлектрические проницаемости и удельные сопротивления которых соответственно равныε1, ε2, ρ1 и ρ2, площадь каждой из пластин равна S (рис. 6.4). Определить:+ q1–q21) общее сопротивление конденсатоq12ра;2) заряд пластин конденсатора, еслион подключен к источнику постоянногонапряжения U.Решение6.4.
Конденсатор с1) Виду неоднородности проводимо- Рис.утечкой, заполненный двумясти среды вдоль линий тока, воспользуем- разными материалами (задася схемой решения (6.16).ча 6.3.2)Так как ток однороден и постоянен, то184ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧI.SИз закона Ома в дифференциальной форме (6.3) получаем напряженности полей в слоях 1 и 2:j1 = j2= j =E1 = ρ1 j ,E 2 = ρ 2 j.Ввиду однородности полей для напряжения между обкладкамиконденсатора получимU = ϕ1 − ϕ2 = E1d1 + E2 d 2 = j(ρ1d1 +ρ2d2),откуда находим плотность тока и полную силу тока через конденсаторUU,I = jS =S.j=ρ1d1 + ρ 2 d 2ρ1d1 + ρ 2 d 2Используя закон Ома (6.5), найдем сопротивление данного слоистого конденсатораU ρ d + ρ2 d 2R= = 1 1.IS2) Для нахождения заряда пластин можно воспользоваться граничным условием для нормальной компоненты вектора электрического смещенияD2n – D1n = σ,где σ – поверхностная плотность свободных зарядов, n – векторнормали в направлении сред 1 → 2.
Учитывая, что вне конденсатора D = 0, для левой пластины получимσ1 = D1 = ε0ε1E1,для правой пластиныσ2 = –D2 = –ε0ε2E2.Напряженности полей E1 и E2 легко найти из найденной плотности тока:Uρ1Uρ2; E2 = j ρ 2 =.E1 = jρ1 =ρ1d1 + ρ2 d 2ρ1d1 + ρ2 d 2Далее можно определить полный заряд каждой из пластин:ε1 ρ1ε 2 ρ2q1 = σ1S = ε 0SU и q2 = σ2 S = −ε0SU .ρ1d1 + ρ2 d 2ρ1d1 + ρ2 d 2185Гл. 6. Постоянный электрический токОтвет:1) R =ρ1d1 + ρ 2 d 2;S2) q1 = ε 0ε1 ρ1ε2 ρ2SU ; q2 = −ε 0SU .ρ1d1 + ρ 2 d 2ρ1d1 + ρ 2 d 2Замечание.В отличие от случая конденсатора с непроводящейсредой или средой проводящей, но имеющей однородную проводимость, здесь заряды обкладок не равны друг другу: |q1| ≠ |q2|. Такая система эквивалентна двум последовательно включённым конденсаторам с утечкой.
Причина в том, что при заряде такого конденсатора на границе раздела сред также накапливаются свободныезаряды, поверхностная плотность которых равнаσ12 = D2 n − D1n = ε 0ε 2 ρ 2 − ε1ρ1U,ρ1d1 + ρ 2 d 2а полный заряд на этой границе будетq12 = σ12 S = ε 0ε 2 ρ 2 − ε1ρ1SU .ρ1d1 + ρ 2 d 2Знак этого заряда определяется знаком выражения ε2ρ2 – ε1ρ1,т.е. зависит от параметров сред.
Очевидно, что |q12| =| |q1| – |q2| |.Полный заряд q, получаемый конденсатором при зарядке, равенбольшему по модулю из зарядов пластин q = max (|q1|, |q2|). Зарядпротивоположного знака той же суммарной величины будет находиться на противоположной пластине и внутри конденсатора наповерхности раздела сред.Задача 6.3.3. Между двумя концентрическими сферами (1) и (2) из идеального проводника, находится вещество с удельным сопротивлением ρ и диэлектрической прони(1)цаемостью ε = 1.
Определить сопротивление R(2)такого слоя, если его внешний радиус в двараза больше внутреннего, равного а (рис. 6.5).Рис. 6.5. СферическийРешениепроводящий слой (заТак как среда однородна (ρ = const), объ- дача 6.3.3)ёмная плотность заряда внутри вещества равна нулю. Считая внутреннюю и внешнюю сферы идеальными про-186ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧводниками, их можно рассматривать как электроды с равными помодулю зарядами +q и –q и решать задачу согласно схеме 6.18.Согласно теореме Гаусса ((1.10), глава 1) напряженность электрического поля в пространстве между сферами (a < r < 2a) равнаq.E=4πε0 r 2Напряжение между сферами можно найти какr22a2aq q 1 1 q =U = ϕ1 − ϕ2 = ∫ Edr = ∫ Edr = −. − =4πε0 a 2a 8πε0 a 4πε0 r ara1Определим силу тока, текущего в такой системе.
Так как заряды на электродах постоянны, то через любую поверхность (концентрическую сферу радиуса a ≤ r ≤ 2a) сила тока одинакова и равнаI = λES =1 qq.4πr 2 =2ρ 4πε 0 rρε0Согласно закону Ома (6.5) R =Uρ=.I 8πaρ.8πaЗамечание 1. Сопротивление безграничной среды с удельнымсопротивлением ρ, окружающей уединенную проводящую сферуρрадиуса а, равно R∞ =, так как в этом случае r2→∞.4πaЗамечание 2. Используя связь между сопротивлением однородной среды и её ёмкостью данную задачу можно решить короче. Таккак ёмкость сферического конденсатора равна (см. (3.9) главы 3)4πε 0 R1 R2C== 8πε 0 a , то воспользовавшись соотношением (6.7)R2 − R1ρερбудем иметь R = 0 =.C8πaОтвет: R =Задача 6.3.4.
Доказать справедливость соотношения (6.7), тоесть показать, что сопротивление однородной проводящей среды,заполняющей всё пространство, между двумя идеально проводя-Гл. 6. Постоянный электрический ток187εε 0. Здесь С – ёмλCкость системы, λ – удельная электропроводность вещества, ε – егодиэлектрическая проницаемость.РешениеВвиду однородности среды будем следовать схеме (6.18). Пустьпроводники (электроды) заряжены одинаковыми по величине, норазными по знаку зарядами ± q , а напряжение между нимиU =q C.щими телами произвольной формы, равно R =Вектор электрической индукции вблизи поверхности каждогопроводника перпендикулярен поверхности и равен D = σ (где σ –поверхностная плотность свободного заряда на проводнике).
Напряженность электростатического поля вблизи поверхностиE=Dσ.=εε0 εε0Согласно закону Ома в дифференциальной форме (6.3) векторплотности тока параллелен вектору напряженности поля и поэтомувблизи поверхности проводников перпендикулярен поверхности иλσпо модулю равен j = jn = λE =.εε0Силу тока через электрод можно найти интегрированием плотности тока по поверхности электродаλλqCUI = ∫ jdS =σdS ==λ.∫εε0 Sεε 0εε 0SИспользуя закон Ома (6.5), окончательно получаемU εε0=.I λCЗамечание. Поместим в однородную проводящую среду, заполняющую всё пространство, локализованный заряд объёмной плотности ρ0.
Электрическое поле, создаваемое этим зарядом, вызоветток плотности j = λE, который будет уменьшать объёмную плотность заряда. Из соотношений (4.6) D = εε0E и (4.8) div D = ρ теоρретического материала главы 4 следует, что div E =. Подставивεε 0R=188ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧполученное выражение в уравнение непрерывности∂ρ+ div j = 0 , имеем:∂t∂ρ∂ρ λρ+ div(λE ) =+=0.∂t∂t εε0Или(6.1)dρλdt .=−ρεε0Учитывая начальное условие, ρ t =0 = ρ 0 получаем, что с течением времени плотность заряда будет уменьшаться по закону: tρ = ρ0 exp − , τεε 0= RC – время релаксации.λЗадача 6.3.5.
Определить сопротивление единицы длины провода круглого сечения радиусом b, сделанного из материала, удельная электропроводность которого зависит от расстояния r до осипровода по закону λ = αr 2 , где α – постоянная величина. Считать,что длина проводника много больше его диаметра.РешениеВыберем цилиндрическую систему координат, ось Z которой совпадает с осью провода (см.
рис. 6.6).Данный проводник можно представить как совокупность тонкихцилиндрических слоев, сопротивление каждого из которых (в расчетена единицу длины) одинаково повсей длине проводника. В пределахтакого слоя плотность тока j такжепостоянна.Пусть напряжение между точками на оси проводника, находящимися на расстоянии l друг от другаРис. 6.6. К определению сопроравно U. Используя закон Ома втивления единицы длины проводадифференциальной форме, получимкруглого сечения (задача 6.3.5)где τ =189Гл. 6. Постоянный электрический токU.lТаким образом, плотность тока в слое толщины dr, находящемся на расстоянии r от оси Z, будет равнаUUr 2j=λ =α.llj = λE = λСогласно (6.4) найдем полную силу токаbI = ∫ jdS = ∫ αS0U r2πb 42 πr dr = αU.l2lТогда по закону Ома для участка цепи (6.5) сопротивление участка провода длиной l = 1 м равноU2Rl = =.I απb42.Ответ: Rl =απb 4Задача 6.3.6 (базовая задача).
Зазор между обкладками плоского конденсатора заполнен веществом с диэлектрической проницаемостью ε и с удельной проводимостью, меняющейся в направлении, перпендикулярном к обкладкам, по линейному закону от λ1до λ2. Площадь пластин S, ширина зазора d. На конденсатор поданонапряжение U.Найти: 1) ток I через конденсатор; 2) заряды пластин q1 и q2; 3)заряд конденсатора q; 4) плотность свободных зарядов ρсвоб(x)внутри зазора; 5) плотность связанных (поляризационных) зарядовρ′(x) в среде; 6) полный свободный заряд в среде qсвоб.РешениеВвиду неоднородности среды в направлении протекания токавоспользуемся схемой (6.16).Запишем линейный закон изменения удельной проводимостиλ (x) = λ1 + αx. Для нахождения α подставим граничное условие:λ − λ1λ (d ) = λ1 + αd = λ 2 .
Отсюда получаем, что α = 2,иd190ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧλ 2 − λ1x.dВ плоском конденсаторе плотность тока везде однородна и постоянна j = I / S = const. Однако напряженность электрического поляjуже будет зависеть от х: E(x) =.λ(x)λ( x) = λ1 +Для напряжения между пластинами получаемdddxj λ= ln 2 ,λ + αx α λ10 1U = ϕ1 − ϕ 2 = ∫ E ( x) dx = j ∫0αUТаким образом, j =иln(λ 2 / λ1 )I = jS =αSUλ 2 − λ1=SU .ln(λ 2 / λ1 ) d ln(λ 2 / λ1 )Согласно закону Ома (6.5) сопротивление конденсатора равноU d ln(λ 2 / λ1 ).R= =I S λ 2 − λ1Заряды пластин определим аналогично задаче 6.3.2 из граничных условий для вектора электрического смещения, величина которого в средеjD(x) = ε0ε·E(x) = ε0ε.λ (x)На левой пластине (х = 0):εε jS εε I(λ 2 − λ1 ) SU,q1 = Sσ1 = SD (0) = 0 = 0 =λ1λ1λ1d ln(λ 2 / λ1 )на правой пластине (x = d):q2 = Sσ 2 = − SD (d ) = −εε0 jSεε I(λ − λ1 ) SU.=− 0 =− 2λ2λ2λ 2 d ln(λ 2 / λ1 )Полный заряд q, получаемый конденсатором при зарядке, равенбольшему по модулю из зарядов пластин: q = max (|q1|, |q2|).Объемную плотность свободных зарядов в среде можно найтикак191Гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
