Д.Ф. Киселев, А.С. Жукарев, С.А. Иванов и др. - Электричество и магнетизм. Методика решения задач (1115540), страница 26
Текст из файла (страница 26)
5. Энергия электрического поля163рах стало одинаковым. Электрические силы совершат работу поперемещению зарядов и, следовательно, потенциальная энергиясистемы уменьшится.Начальное значение энергии W = C1U 2 2 , конечное –W1 = (C1 + C2 )U12 2 .Изменение энергии системы ∆W = W1 – W найдем, если определим величину U1. Это можно сделать, используя закон сохранения зарядаq = C1U = (C1+C2)U1,C1U.откуда следуетU1 =(C1 + C2 )В итоге получаем ∆W = −Ответ: ∆W = −C1C2U 2= −0,03 мДж .2(C1 + C2 )C1C2U 2= −0,03 мДж .2(C1 + C2 )Замечание. Вся потерянная системой энергия перешла главнымобразом в тепло за счет омического сопротивления схемы. При малом омическом сопротивлении и достаточно большой индуктивности системы будут наблюдаться затухающие колебания величинызаряда на конденсаторах вплоть до достижения равновесного состояния, когда вся избыточная энергия перейдет в тепло и электромагнитное излучение.Задача 5.3.14.
Незаряженный металлический шар радиуса Rпомещен в однородное внешнее поле, напряженность которого равна E0. Какую работу необходимо совершить, чтобы переместитьэтот шар в область, где поле практически отсутствует?РешениеЕсли проводящий шар находится во внешнем однородномэлектрическом поле E0, то явление электростатической индукцииприведет к тому, что на его поверхности появятся поверхностныезаряды (рис. 5.4), которые обеспечивают равенство нулю напряженности поля внутри шара. Эти заряды можно представить себекак результат малого сдвига на вектор d вдоль направления полядруг относительно друга двух равномерно заряженных по объемушаров того же радиуса R, несущих заряды противоположных зна-164ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ.
МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧков q и –q. Поле каждого из этихшаров во внешней по отношению к ним области совпадает сполем точечного заряда, равногозаряду шара и расположенного вцентре шара. Таким образом,суммарное поле этих двух шаров будет полем точечного диполя, т.е. шар приобретет некоторый дипольный момент. ВеРис. 5.4. Распределение поверхноличину этого момента можно стных зарядов, возникающих напроводящем шаре во внешнемрассчитать, учитывая, что полевнутри этих шаров должно пол- электрическом поле (задача 5.3.14)ностью компенсировать внешнее поле.Так как напряженность поля внутри однородно заряженного поρобъему с плотностью ρ шара E =r , находим для суммы полей3ε 0двух шаровρE=−d = −E 0 ,3ε0q4, V = πR 3 – объем шара.
Отсюда находим дипольныйV3момент металлического шара во внешнем однородном поле E0:где ρ =p = qd = 4πε0 R 3E0 .Этот шар обладает энергией W = – (pE0), и, чтобы удалить шар вобласть, где поле отсутствует, необходимо затратить работуA = −W = 4πε0 R 3 E02 .Ответ: A = 4πε0 R 3 E02Задачи типа 5.4Определение сил, действующих на проводники и диэлектрики вэлектрическом поле и моментов этих сил.Методы решения. В разных условиях возможны разные подходы: применение формулы, выражающей действующую на заряд165Гл. 5.
Энергия электрического полясилу через известную напряженность поля; вычисление энергиисистемы с последующим применением формул (5.6) – (5.9); рассмотрение максвелловских натяжений и давлений (5.10) – (5.14).Задача 5.3.15 (базовая задача). Между обкладками плоскоговоздушного конденсатора помещена диэлектрическая пластина толщиной d1 с диэлектрической проницаемостью ε (рис. 5.5). Междуповерхностями пластины и обкладками конденсатора остались воздушные зазоры, суммарная толщина которых равна d2. Определитьсилу притяжения F между обкладками, если разность потенциаловмежду ними равна V, а площадь пластин S.РешениеПо определению сила F, действующая на пластину конденсатора,равна произведению заряда q, находящегося на этой пластине, на Рис.
5.5. К определению силынапряженность электрического по- притяжения между обкладкамиля E1, создаваемую всеми осталь- плоского конденсатора (задачаными зарядами системы (напря- 5.3.15)Eжённость поля одной пластины). Ясно, что E1 = , где E – напря2женность поля в воздушном зазоре конденсатора. Заряд пластиныможно найти, используя определение емкости: q = CV. Емкость Сопределяем по правилу сложения емкостей последовательно соединенных конденсаторов:1dd= 2 + 1 ,C ε 0 S εε0 Sεε 0 S.εd 2 + d1Напряженность поля в конденсаторе найдем, вычисляя разностьпотенциалов между обкладками:EV = Ed 2 + d1 ,εεVоткуда E =.
В итоге получаемεd 2 + d1откуда следует C =2F=qE ε0 S εV .=22 εd 2 + d1 166ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ2Ответ: F =ε 0 S εV .2 εd 2 + d1 Задача 5.3.16. Обкладки плоского конденсатора имеют формуквадрата со стороной a и соединены с источником напряжения.Расстояние и разность потенциалов между обкладками соответственно равны d и U.
В пространство между обкладками частичновдвинута пластина толщиной ∆ в форме квадрата со стороной a. Ееповерхности и стороны параллельны поверхностям и сторонам обкладок, а диэлектрическая проницаемость равна ε. Найти силу, скоторой пластина втягивается в пространство между обкладкамиконденсатора.РешениеПри постоянном напряжении на конденсаторе его потенциальная энергия W = CU 2 2 изменяется только с изменением его емкости С, которая в свою очередьзависит от длины вдвинутойчасти диэлектрической пластины.
Если координатную осьх направить вдоль пластины, аначало координат поместить у Рис.5.6. К определению силы, с котокрая обкладки конденсатора рой диэлектрическая пластина втяги(рис. 5.6), то емкость будет вается в конденсатор (задача 5.3.16)функцией одной переменной –координаты х конца вдвинутой пластины и действующую на пластину силу можно рассчитать по формуле (5.8):U 2 dC ∂W F = Fx = . =2 dx ∂x ϕКонденсатор с вдвинутой пластиной можно рассматривать какдва соединенных параллельно конденсатора – воздушный, площадиS1 = ax и частично заполненный диэлектриком, площадь которогоS2 = a(a – x). Его емкость согласно правилу сложения емкостей равна С = С1 + С2, гдеC1 =ε 0 S1 ε 0 axε 0 εS 2ε ε a(a − x)=; C2 == 0.dd∆ + ε( d − ∆ ) ∆ + ε ( d − ∆ )Гл.
5. Энергия электрического поля167dC, находим проекцию на ось х дейdxствующей на диэлектрическую пластину силы:Вычисляя производнуюF =−ε0 (ε − 1)a∆ U 2.d [∆ + ε(d − ∆ )] 2Знак минус соответствует силе притяжения.Ответ: F = −ε0 (ε − 1)a∆ U 2.d [∆ + ε(d − ∆ )] 2Задача 5.3.17 (базовая задача). Плоский конденсатор расположен горизонтально так, что одна его пластина находится над поверхностью жидкости, другая – под ее поверхностью. Диэлектрическая проницаемость жидкости ε, ее плотность ρ. На какую высоту поднимется уровень жидкости в конденсаторе после сообщенияего пластинам заряда с поверхностной плотностью σ?РешениеНа поверхность жидкости в конденсаторе будет действоватьнаправленная вверх сила, поверхностная плотность которой определена формулой (5.12):(ε − 1) 2f =Dn .2εε 0При равновесии эта сила скомпенсирована гидростатическимдавлением:f = ρgh.Поскольку в нашем случае D = Dn = σ, находим ответ:σ 2 (ε − 1).h=2εε 0ρgОтвет: h =σ 2 (ε − 1).2εε 0ρgЗамечание.
Подъём жидкости реально связан с объемными силами, возникающими в области неоднородности поля у края конденсатора, хотя в приведенном энергетическом расчете краевыеэффекты явно не фигурируют.168ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧЗадача 5.3.18. Коэффициент поверхностного натяжения сферического мыльного пузыря λ = 0,05 Н/м, его радиус R = 1 см, наружное атмосферное давление р = 105 Па. Какой заряд q надо изотермически сообщить пузырю, чтобы его радиус увеличился вдвое?РешениеПри равновесии незаряженного мыльного пузыря радиуса Rдавление в его внутренней области р1 уравновешивает наружноеатмосферное давление р и давление за счет поверхностного натя4λжения(здесь учтено, что мыльная пленка имеет две поверхноRсти – внутреннюю и внешнюю)4λp1 = p +.(5.17)RДавление газа внутри пузыря при постоянной температуре обaратно пропорционально объему, т.е.
p1 = 3 , где а – коэффициентRпропорциональности. Если пузырю сообщается заряд q, то к внутреннему давлению добавляется давление электростатических силр2. Тогда условие равновесия принимает вид:4λp'1 + p2 = p +,(5.18)rгде p1′ = p1R 3 r 3 (r – увеличившийся радиус пузыря). Рассчитаемвеличину р2. Для этого выделим на поверхности пузыря малуюплощадку dS и определим действующую на нее силу. Поверхностqная плотность заряда на пузыре равна σ =.4πr 2Известно (глава 1, задача 1.3.19), что напряженность поля, созданного у поверхности сферы всеми ее зарядами, кроме зарядаσdq = σdS, находящегося на элементе dS, равна E =, поэтому на2ε 0заряд dq будет действовать силаdF = Edq = σEdS ,и эта сила будет создавать давлениеdF σ 2q2.p2 ===dS 2ε 0 32π2ε 0 r 4169Гл.
5. Энергия электрического поляРешая систему уравнений (5.17) – (5.18) с учетом условияr = 2R, находим ответ:q 2 = (64πε0 R 3 ) (12λ + 7 pR) .Если R >> λ/р = 5 10-5 см (как и определено условиями задачи),тоq = 8πR 2 7ε 0 p = 6,2 ⋅10−6 Кл .Ответ: q = 8πR 2 7ε 0 p = 6,2 ⋅10−6 Кл .Задача 5.3.19. Конденсатор переменной емкости состоит издвух неподвижных металлических пластин, расположенных на расстоянии d друг от друга, и подвижной диэлектрической пластины,которая может поворачиваться и входить в зазор между металлическими пластинами (рис. 5.7). Все пластины имеют форму полукругарадиуса R, причем зазоры между диэлектрической пластиной и пластинами конденсатора пренебрежимо малы по сравнению с d.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
