Д.Ф. Киселев, А.С. Жукарев, С.А. Иванов и др. - Электричество и магнетизм. Методика решения задач (1115540), страница 25

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 25)

Вычислитьэнергию взаимодействия диполей (рис. 5.3).РешениеЭнергию взаимодействия дипоp1p2лей рассчитаем с помощью формулы:θ2θ1W = – pE,rкоторая определяет энергию диполя pво внешнем поле E. В нашем случаевнешнее поле, действующее на диполь p1, создается диполем p2. Поэтому энергия взаимодействиядиполей равнаРис. 5.3. Взаимная ориентациядиполей в задаче 5.3.7W = –p1E2,где1  3(p 2r ) r p 2 − 34πε0  r 5r – напряженность поля, создаваемая вторым диполем в точке расположения диполя p1.

Раскрывая скалярное произведение, находимE2 =Ответ: W = −1 p1 p2(3 cos θ1 cos θ2 − cos(θ1 − θ2 ) ) .4πε 0 r 3Замечание: Энергия взаимодействия:– максимальна и равна W =1 p1 p2в случае, когда θ1 = θ2 = π/2;4πε0 r 3– равна нулю при θ1 = 0, θ2 = π/2;157Гл. 5.

Энергия электрического поля– минимальна и равна W = −1 2 p1 p2, если θ1 = θ2 = 0.4πε0 r 3Задачи типа 5.3Определение работы электрических сил при измененииконфигурации системы.Метод решения. Применяется закон изменения энергии: вэлектростатике работа сил электрического взаимодействия равнауменьшению потенциальной энергии системы.Задача 5.3.8 (базовая задача).

Сферическая оболочка радиусаR1, равномерно заряженная зарядом q, расширилась до радиуса R2.Найти работу, совершенную при этом электрическими силами.РешениеПотенциальная энергия равномерно заряженной сферы опредеq2лена в задаче 5.3.1 и равна W =. При расширении оболочки8πε0 Rее радиус увеличивается и потенциальная энергия уменьшается.Разность начальной и конечной энергии и равна работе электрических сил.q2  11  −  .A = −∆W =8πε0  R1 R2 Ответ: A =q2  11  −  .8πε0  R1 R2 Задача 5.3.9 (базовая задача). Плоский воздушный конденсатор с пластинами площадью S и расстоянием между ними d заряжен до разности потенциалов U и отключен от батареи.

Какую минимальную работу надо совершить, чтобы увеличить расстояниемежду его пластинами на ∆x?РешениеПри увеличении расстояния между пластинами конденсатораего емкость С уменьшается и, следовательно, изменяется величиназапасенной в нем энергии. Если конденсатор отключен от батареи,то заряд q на его обкладках не изменяется.

Для определения энергии конденсатора в этом случае удобно использовать формулу158ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧq2εS, где C = 0 . С ростом d энергия конденсатора увеличива2Cdется за счет работы внешних сил:q 2 (d + ∆x) q 2 d q 2 ∆x.∆W = A =−=2ε 0 S2ε 0 S 2ε 0 SВыражая заряд конденсатора через первоначальную разностьпотенциалов q = CU получаемε S∆xU 2A= 0 2 .2dε 0 S∆xU 2Ответ: A =.2d 2Замечание. Задачу можно также решать, используя понятие раqUботы силы. Так как E == = const , то сила, действующая наε0 S dодну из пластин конденсатора со стороны электрического поля второй пластины, не зависит от расстояния между обкладками и равнаE qU CU 2 ε 0 SU 2F =q ===.

Тогда при перемещении пластины2 2d2d2d 2на расстояние ∆x внешние силы совершат работу, равную, с точностью до знака, работе силы электрического поляW=A = F∆x =ε 0 S∆xU 2.2d 2Задача 5.3.10 (базовая задача). Плоский воздушный конденсатор с пластинами площадью S заряжен до разности потенциалов U.Не отключая конденсатор от батареи, медленно увеличивают расстояние между пластинами от x1 до x2. Какую работу выполняютпри этом внешние силы?РешениеЕсли конденсатор остается подключенным к источнику ЭДС, топри квазистатическом изменении расстояния между пластинаминапряжение на пластинах остается постоянным и для расчета энергии конденсатора следует использовать формулу W = CU 2 2 , гдеC = ε0 S x , х – расстояние между пластинами.

При увеличении хемкость конденсатора уменьшается и, следовательно, его энергия159Гл. 5. Энергия электрического поляуменьшается. Электростатические силы, существующие в конденсаторе, не могут увеличить расстояние между пластинами, так какявляются силами притяжения. Поэтому необходимы внешние силы,работа которых увеличит потенциальную энергию системы.При раздвижении пластин уменьшается заряд на пластинах согласно соотношению q = CU. Этот заряд перетекает в источникЭДС. Происходит квазистатический процесс: при малом увеличении х разность потенциалов между пластинами увеличивается истановится больше U.

«Избыточный» заряд преодолевает встречноеэлектрическое поле источника ЭДС и перетекает в источник. Темсамым восстанавливается равновесие в системе. Происходит увеличение потенциальной (например, химической) энергии источникана величину, равную работе против ЭДС источника∆Wист = –А = – U∆q = (С1 – С2)U 2с одновременным уменьшением энергии, запасенной в конденсаторе. По завершении процесса энергия конденсатора изменится навеличину∆W =(C2 − C1 )U 22=ε0 SU 2  1 1  −  < 0.2  x2 x1 Согласно закону сохранения энергии механическая работа Амех, совершаемая при удалении стеклянной пластины, равна(C − C 2 ) U 2 ε 0 SU 2  1 1  − .Aмех = A + ∆W = 1=22  x1 x2 .ε SU  1 1  − .Ответ: Aмех = 02  x1 x2 Замечание 1.

При увеличении расстояния между пластинами наdx работа электростатических сил равна dA1 = – Fdx, где F = qE1 –сила, действующая на одну из пластин. Здесь q – заряд пластины,Е1 – напряженность поля, созданного зарядом второй пластины; онаравна половине напряженности поля в конденсаторе Е. Так какq = CU, E = U/x, находимε SU 2  1 1 ε SU 2 −  = ∆W = − Aмех .F = 0 2 и A1 = 02x2  x2 x1 2160ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧЗамечание 2.

В обоих случаях q = const (задача 5.3.9) иU = const (данная задача) сила взаимодействия пластин получиласьодинаковой. Действительно, силы определяются только зарядамина пластинах и не зависят от внешних цепей, куда подключен конденсатор.Задача 5.3.11. Внутри плоского конденсатора находится параллельная обкладкам пластина, толщина которой составляетη = 0,6 расстояния между обкладками. Конденсатор сначала подключили к источнику постоянного напряжения U = 200 В, затемотключили и после этого медленно извлекли пластину из зазора.Емкость конденсатора в отсутствие пластины С = 20 нФ.

Найти работу, совершенную против электрических сил при извлечении пластины, если пластина: а) металлическая; б) стеклянная с диэлектрической проницаемостью ε = 5.РешениеРабота, совершенная внешними силами, целиком пойдет наувеличение потенциальной энергии электрической системы, в данном случае – энергии отключенного от источника напряжения конденсатора. Согласно закону сохранения энергии можно искомуюработу рассчитать как изменение энергии, запасенной в конденсаторе.

При отключенном источнике ЭДС, на обкладках конденсаторасохраняется заряд Q и энергию конденсатора следует рассчитыватьQ2по формуле W =. При вытягивании пластины емкость конден2Cсатора уменьшается, а запасенная в нем энергия увеличивается.а) Пусть толщина металлической пластины равна h. Тогда наεSчальная емкость конденсатора будет C1 = 0 , где S – площадьd −hобкладки, d – расстояние между обкладками.

После того как пластина будет удалена из конденсатора, его емкость станет равнаεSC = 0 . Изменение потенциальной энергии конденсатораdQ2  1 1  Q2h − =∆W = Wкон − Wнач =>0.2  C C1  2ε 0 SВыражая заряд конденсатора через начальную разность потенциалов Q = C1U, находим окончательный ответ:161Гл. 5. Энергия электрического поляCU 2 hdηCU 2== 1,5 мДж .2(d − h) 2 2(1 − η) 2б) Начальную емкость конденсатора можно найти из решениязадачи 4.3.9, где найдена емкость плоского конденсатора, заполненного двумя слоями диэлектрика (слой толщиной d1 с проницаемостью ε1 и слой толщиной d2 = d –d1 c проницаемостью ε2):ε0 SC=. d1 d 2  +  ε1 ε 2 A = ∆W =В условиях нашей задачи, следует положить ε1 = 1, ε2 = ε иd1 = (1 – η)d, d2 = ηd. Тогда начальную емкость конденсатора можнозаписать какε0 Sεε0 SC1 ==.η(ε(1 − η) + η)d1 − η +  dεИзменение энергии конденсатора при удалении диэлектрической пластины равноQ2  1 1  − ,∆W =2  C C1 где Q = C1U.

Подставляя найденное выражение для C1, находим:A = ∆W =ε(ε − 1)ηCU 2= 0,8 мДж .22(ε(1 − η) + η)Работа против электрических сил полностью пошла на увеличение энергии конденсатора.Ответ: а) A =б) A =ηCU 2= 1,5 мДж ;2(1 − η) 2ε( ε − 1)ηCU 22 ( ε(1 − η) + η)2= 0,8 мДж .Задача 5.3.12. Внутри плоского конденсатора с площадью пластин S = 200 см2 и расстоянием между ними d = 0,1 см находитсяпластина из стекла (ε = 5), целиком заполняющая пространство между пластинами конденсатора. Какую механическую работу надо162ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ.

МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧзатратить на удаление пластины, если конденсатор все время присоединен к батарее с ЭДС, равной U = 300 В?РешениеЕсли в процессе удаления пластины источник ЭДС остаетсяподключенным к конденсатору, то для расчета запасенной в конCU 2денсаторе энергии следует воспользоваться формулой W =.В2условиях данной задачи емкость конденсатора уменьшается; следовательно, и его энергия будет уменьшаться.

Изменение энергииконденсатора равно(1 − ε)CU 2∆W =<0.2Заряд на обкладках конденсатора не остается постоянным –часть заряда перемещается через источник ЭДС, увеличивая егопотенциальную энергию. Элементарная работа, совершаемая против ЭДС батареи, равна dA = Udq. Если изменения происходят квазистатически, то по окончании процесса полная работа будет равнаA = U∆q,где ∆q = (ε – 1)CU – полное изменение величины заряда на обкладках.

Согласно закону сохранения энергии механическая работа, совершаемая при удалении стеклянной пластины, равна(ε − 1)CU 2A1 = A + ∆W =.2Подставляя значения параметров, получаем численный ответ:A1 = 3,2·10-5 Дж.Ответ: A1 =(ε − 1)CU 2= 3,2·10-5 Дж.2Задача 5.3.13. Конденсатор емкости C1 = 1 мкФ, предварительно заряженный до напряжения U = 300 В и отсоединенный от источника ЭДС, подключили параллельно к незаряженному конденсатору емкости C2 = 2 мкФ. Найти изменение электрической энергииэтой системы к моменту установления равновесия.РешениеПри соединении конденсаторов первоначальный заряд q = C1Uперераспределится так, чтобы напряжение U1 на двух конденсато-Гл.

Характеристики

Список файлов книги