Д.Ф. Киселев, А.С. Жукарев, С.А. Иванов и др. - Электричество и магнетизм. Методика решения задач (1115540), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Тепловая мощность, выделяемая в проводнике постоянным током I, равнаP = I 2R .(6.8)Закон Джоуля–Ленца в дифференциальной форме. Объемная плотность тепловой мощности PV, выделяемая в проводникеPV = ( jE) = λE 2 = ρj 2 .(6.9)Ток в квазилинейных проводникахКвазилинейный ток – электрический ток в тонком проводнике. Считается, что вектор плотности тока j везде параллелен осипроводника и все физические величины (включая j) одинаковы вего поперечном сечении.Закон Ома для участка квазилинейной цепи:IR = ϕ1 – ϕ2 + E,(6.10)I1ϕ1E– +2Rϕ2Рис. 6.1. Участок квазилинейнойцепигде I – сила тока, ϕ1 – ϕ2 – разностьпотенциалов на участке, R – полноесопротивление участка (рис.
6.1), E –электродвижущая сила (ЭДС), действующая на данном участке 1-2177Гл. 6. Постоянный электрический ток(2)E = ∫ E * dl ,(1)величина, численно равная работе сторонних сил по переносу единичного положительного заряда по данному участку. Величина IRназывается напряжением (падением напряжения) на резисторе R.Знак ЭДС:Считается, что E > 0, если сторонние силы направлены по направлению тока (например, на рис. 6.1 – при прохождении локальногоисточника ЭДС от контакта (–) к (+)).E < 0 в обратном случае (прохождение источника ЭДС от (+) к (–)).Мощность источника ЭДС (мощность сторонних сил):P = EI.(6.11)Закон Ома для замкнутой неразветвленной цепи квазилинейных проводников:± IR = ∑ (±E j ) ,(6.12)jгде R – полное сопротивление цепи,IE1включаявнутреннеесопротивлениеR3источника ЭДС (рис.
6.2). При решении–+конкретной задачи нужно сначала выбратьнаправление тока (сплошная стрелка наE2рис. 6.2),котороеможнозадатьRR21произвольнымобразом(истинное– +направление тока определится потомзнаком полученного решения). Выбор этого Рис. 6.2. Замкнутая ненаправления необходим для согласованного разветвленная цепьопределениязнаканапряженийнаэлементах цепи. Далее производится обход контура.Правила знаков в законе Ома для полной цепи:Для тока: ток считается положительным (+I), если обход контура производится в направлении, совпадающем с выбранным направлением тока, и отрицательным (–I) в обратном случае;Для ЭДС: ЭДС положительна (+E), если при обходе контура источник ЭДС проходится в направлении действия сторонних сил, иотрицательна (–E) в обратном случае.178ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ.
МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧПолное сопротивление контура находится согласно правилусложения сопротивлений при последовательном включении резисторовRΣ = ∑ Ri .iЕсли отдельные участки цепи содержат параллельно соединенные резисторы, то их эквивалентное сопротивление определяетсясоотношением11=∑ .RΣi RiНаправление обхода контура можно взять любым: изменениенаправления обхода приведет лишь к одновременной смене знаковвсех слагаемых, что не изменит уравнение по существу. Для приведенного на рис. 6.2 примера, в соответствии с выбранным направлением тока (сплошная стрелка) и выбранным направлением обхода контура (пунктирная линия со стрелкой), уравнение закона Омадля полной цепи (6.12) имеет вид– I(R1 + R2 + R3) = –E1 + E2,E1 − E2откуда I =.R1 + R2 + R3Разветвленная цепь квазилинейных проводниковВ разветвлённой цепи квазилинейных проводников существуют точки, называемые узлами цепи, в которых соединяются триили более проводника (рис.
6.3.). Такую цепь можно условно разделить на несколько замкнутых неразветвлённых контуров.Правила КирхгофаПравило I. Для каждого узла цепи алгебраическая сумма силтоков равна нулю (следствие закона сохранения заряда)(6.13)∑ (± I i ) = 0 .iПри суммировании знак входящего в узел тока (обычно "+")принимается противоположным знаку выходящего ("–").Правило II. При обходе любого замкнутого контура, выбранного в разветвленной цепи, алгебраическая сумма напряжений насопротивлениях цепи IiRi равна алгебраической сумме ЭДС, входя-179Гл. 6. Постоянный электрический токщих в данный контур (следствие потенциальности поля, создающего постоянный ток):(6.14)∑ (± I i Ri ) = ∑ (±E j ) .ijДля использования данных формул сначала нужно выбрать направления токов в каждой ветви цепи, что можно сделать произвольным образом (истинные направления токов определятся потомзнаками полученных решений).Направления обхода каждого конI2тура также можно взять любыми: как I1I3EE21указывалось выше, это не изменитR32уравнений по существу.
Правила учета1знаков в (6.14) аналогичны приведенR1R2ным выше для закона Ома для полнойРис. 6.3. Пример разветвленнойцепи.цепиПример разветвленной цепи показан на рис. 6.3. Произвольно выбранные направления токов показаны сплошными стрелками, направления обхода – пунктирными линиями со стрелками).Для данного случая уравнения Кирхгофа (6.13), (6.14) будутиметь следующий вид: I1 + I 2 − I 3 = 0 (верхний узел), I1 R1 + I 3 R3 = E1 ( левый контур 1),− I R − I R = −E (правый контур 2).2 2 2 3 3Решая эту систему уравнений, получим ответ:E1 ( R2 + R3 ) − E2 R3− E1 R3 + E2 ( R1 + R2 ).I1 =, I2 =2( R1 + R3 )( R2 + R3 ) − R3( R1 + R3 )( R2 + R3 ) − R32При составлении уравнений Кирхгофа надо иметь в виду следующее.Полное число независимых уравнений типа (6.13) и (6.14) равняется числу неизвестных токов N.
Общее же число уравнений, которые можно составить, больше числа неизвестных, посколькучасть уравнений не являются независимыми.1) При наличии в разветвленной цепи m узлов существуеттолько m – 1 независимых уравнений типа (6.13) для токов.180ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ2) Новые независимые уравнения типа (6.14) можно получитьтолько для тех контуров, которые не образуются наложением ужеранее рассмотренных.
Общее число независимых уравнений типа(6.14) будет N − m + 1 . Если схему можно представить на плоскостибез пересечений проводников, то число таких независимых уравнений равно числу пространственных областей, на которые проводники разбивают схему. Например, на схеме рис. 6.3 таких областейдве и имеется два независимых уравнения для двух показанныхконтуров обхода.
Третье уравнение, которое можно получить обходом большого контура по периметру схемы, будет суммой или разностью этих двух уравнений, т.е. не будет независимым.Метод контурных токов. Удобным вариантом примененияправил Кирхгофа является метод контурных токов. В нем каждомувыделенному в схеме контуру сопоставляется один контурный ток,одинаковый по всему контуру. Уравнения Кирхгофа (6.14) сохраняют свой вид, но теперь напряжение на каждом участке Ri, входящем одновременно в несколько (m) контуров, определяется полнымтоком Ii через этот участок, который выражается через алгебраическую сумму контурных токов, проходящих через этот участок:m∑ I i Ri = ∑ (±E j ) , I i = ∑ (± I ik ) .ij(6.15)k =1С введением контурных токов уравнения для узлов (6.13) удовлетворяются автоматически, и они становятся не нужны, в чем исостоит удобство метода при расчете цепей с большим числом узлов.
Правила знаков при этом остаются прежними.Для схемы, показанной на рис. 6.3, метод контурных токов даетследующие два уравнения (в соответствии с выбранным направлением тока и направлением обхода контуров) I1R1 + ( I1 + I 2 ) R3 = E1− I 2 R2 − ( I1 + I 2 ) R3 = −E2( левый контур 1),(правый контур 2).Здесь учтено, что через участок R3 текут контурные токи обоихконтуров. Разумеется, эта система уравнений эквивалентна системе, приведенной выше для этой же схемы.Гл.
6. Постоянный электрический ток181§6.2. Основные типы задач (классификация)6.1. Определение сопротивления, электрических полей, напряжений и тока утечки в сплошной среде.6.2. Определение теплоты, выделяющейся в проводнике (среде), при протекании тока.6.3. Расчет цепей квазилинейных проводников.6.4. Расчет разветвленных цепей, сводимых к неразветвленнымблагодаря элементам симметрии.§6.3. Методы решения и примеры решения задачЗадачи типа 6.1Определение сопротивления, электрических полей, напряженийи тока утечки в сплошной проводящей средеМетод решения. При рассмотрении токов в проводящих средах и нахождении сопротивления среды между электродами целесообразно придерживаться следующей схемы решения задачи(электрод – эквипотенциальный проводник, электропроводностькоторого много больше электропроводности среды).Для расчета сопротивления по закону Ома нужно найти отношение напряжения на электродах U и полного тока I через систему.В качестве исходного параметра удобнее всего взять полныйток I, поскольку величины зарядов на электродах заранее могутбыть не очевидны.а) Начать решение целесообразно с нахождения плотности токаj(r), поскольку при протекании постоянного тока для j(r) всегдасоблюдается соотношение (6.2) div j = 0, независимо от особенностей диэлектрических и проводящих свойств среды.
С другой стороны, j(r) легко связать с полным током через электрод соотношением (6.4). В задачах с симметрией условие (6.2) обычно позволяетсразу определить характер зависимости плотности тока j от координат.б) Далее, пользуясь дифференциальным законом Ома (6.3), перейти к напряженности электрического поля E(r) = ρ(r) j(r).в) Зная Е(r), интегрированием можно найти разность потенциалов (напряжение) между электродами 1 и 2:182ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ(2)U = − ∫ E(r )dr .(1)Используя закон Ома (6.5), определить сопротивление средымежду электродамиUR= .IТаким образом, задача решается в следующей последовательности:I → j → E → U.(6.16)Если проводящая среда однородна, то поле полностью определяется зарядами и потенциалами электродов, и можно исходнымпараметром взять напряжение на электродах и решать в обратнойпоследовательности:U → E → j → I,(6.17)или же исходить из свободного заряда на электродах ±q и решать посхеме:q → E → j → I.(6.18)Однако в случае неоднородной проводимости среды простойпереход U → E или q → E невозможен.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
