Д.Ф. Киселев, А.С. Жукарев, С.А. Иванов и др. - Электричество и магнетизм. Методика решения задач (1115540), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Пренебрегая краевыми эффектами, найти момент сил М, действующихна диэлектрическую пластину, когда она выведена из положенияравновесия. Конденсатор поддерживается при разности потенциалов V, диэлектрическая проницаемость подвижной пластины равна ε.Рис. 5.7. Конденсатор переменнойРешениеемкости (задача 5.3.19)Конденсатор с выведенной изположения равновесия на угол θ диэлектрической пластиной можнозаменить эквивалентной схемой двух включенных параллельноконденсаторов, у одного из которых площадь пластин S1 = R 2 θ 2 имежду пластинами находится воздух, а у другого площадь пластинS2 = R 2 ( π − θ ) 2 и между пластинами находится диэлектрик ε.
Емкость такого конденсатора равнаε ( S + εS 2 ).C = C1 + C2 = 0 1dДля определения момента силы М применим формулу (5.9), записав энергию конденсатора в виде W = CV 2 2 . Выполняя дифференцирование, получаем ответ: M =ε 0 (ε − 1) R 2V 2.4d170ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧОтвет: M =ε 0 (ε − 1) R 2V 2.4d§ 5.4. Задачи для самостоятельного решения5.4.1. Насколько изменится полная энергия уединенного металлического шара R1 с зарядом q, если его окружить концентрическимсферическим слоем диэлектрика с диэлектрической проницаемостью ε и радиусами R2 и R3 (R1<R2<R3) (рис.5.8)?Ответ:q2 ε −1 11 .∆W =−8πε 0 ε R3 R2 5.4.2.
Между пластинами плоского конденсатора, расположенными нарасстоянии D находятся плоский слойдиэлектрика с диэлектрической проницаемостью ε толщиной d1 и металлический слой толщиной d2. Разностьпотенциалов между обкладками конденсатора равна U. Определить плотностьэнергиивдиэлектрике(рис.5.9).Ответ:w=εε 022U . ε( D − d 1 − d 2 ) + d 1 5.4.3. Проводящая сфера радиусаR, имеющая заряд q, расположена наплоской границе бесконечного диэлектрика, как показано на рисунке 5.10.Найти полную энергию электростатического поля.q2Ответ: W =.4πε0 (ε + 1) RРис.5.8. Поперечное сечение шара,окруженного слоем диэлектрика(задача 5.4.1)Рис. 5.9. Плоский конденсатор задачи 5.4.2Рис. 5.10. Сфера на границедиэлектрика (задача 5.4.3)171Гл.
5. Энергия электрического поля5.4.4. Внешняя обкладка воздушного сферического конденсатора может симметрично сжиматься. После сообщения обкладкамзаряда ±q, внешняя обкладка под действием сил притяжения сжалась так, что её радиус уменьшился от а, до b. Радиус внутреннейобкладки остался неизменным. Найти работу, совершенную силамипритяжения.q 2 (a − b)Ответ: A =.8πε0 ab5.4.5. Центр незаряженной проводящей сферы радиуса а расположен на плоской границе двух изотропных диэлектриков с проницаемостями ε1 и ε2, вплотную прилегающих к сфере и заполняющих всё пространство вне сферы.
На расстоянии b < a от центра сферы находится точечный заряд q. Определить энергию полявне сферы.Ответ: W =q2.4πε 0 (ε1 + ε 2 )a5.4.6. Точечный заряд q расположен на оси симметрии плоскоговоздушного заряженного конденсатора (вне его) на расстоянии L отцентра положительной обкладки, и на расстоянии L + d от центраотрицательной. Обкладки конденсатора – квадраты с ребром а. Напряжение на конденсаторе U.Оценить силу, с которой конденсатор действует на заряд, еслиL >> a.Ответ: F =qa 2U4πd 11 − L2 (L + d )2.5.4.7.
Пространство внутри плоского конденсатора полностьюзанимает пластина из твердого диэлектрика с проницаемостью ε.Найти минимальную работу, которую необходимо совершить, чтобы увеличить расстояние между пластинами конденсатора вдвое,если он всё время подсоединен к источнику напряжения U, а пластина жестко скреплена с положительной обкладкой. Обкладкиконденсатора и пластина – квадрат с ребром а, и начальное расстояние между обкладками d << a.172ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧε 0ε 2 a 2 U 2.(ε + 1) d 2Ответ: A =5.4.8. Между обкладками плоского воздушного конденсаторарасположена диэлектрическая пластина толщиной d2 с диэлектрической проницаемостью ε, суммарная толщина оставшихся воздушных зазоров между пластиной и обкладками равна d1.
Разностьпотенциалов между обкладками равна V. Определить силу притяжения между обкладками. Площадь всех пластин равна S.ε S εVОтвет: F = 0 2 εd 1 + d 22 .5.4.9. Обкладки плоского воздушного конденсатора имеютплощадь S и отделены друг от друга на расстояние d1. Между ниминаходится металлическая пластина такой же площади и толщинойd2 , изолированная от земли. Конденсатор заряжен до напряжения Vи отсоединен от источника. Какую работу необходимо совершить,чтобы удалить пластину из конденсатора?Ответ: A =ε 0 Sd 2V 2.22(d1 − d 2 )5.4.10. Два одинаковых воздушных конденсатора ёмкостью Сзаряжены до разности потенциалов U и отсоединены от батареи.Один из них в заряженном состоянии погружают в диэлектрик спроницаемостью ε, после чего конденсаторы соединяют параллельно.
Определить энергию происходящего при этом разряда.Ответ: ∆W = −(ε − 1)2 CU 2 .ε(ε + 1) 25.4.11. Определить высоту подъёма жидкости в расположенномвертикально плоском конденсаторе, если он подсоединен к батареес напряжением U, расстояние между пластинами d, плотность жидкости ρ, диэлектрическая проницаемость ε.Ответ: h =ε 0 (ε − 1) U 2.d 2ρg 2173Гл.
5. Энергия электрического поля5.4.12. Две коаксиальные трубки радиуса a и b погружаютсявертикально в масляную ванну. Плотность масла ρ, диэлектрическая проницаемость ε. Разность потенциалов между трубками U.Найти высоту подъема масла в пространстве между трубками. Капиллярными силами пренебречь. Капиллярными явлениями и краевыми эффектами пренебречь.Ответ: h =ε 0 (ε − 1)U 2.ba5.4.13. Некая молекула (рис. 5.11) содержит три заряда +q, +q, –2q, которые расположены линейно на равных расстояниях a друг отдруга, и находится на расстоянии rот бесконечной проводящей плос+qкости, много большем размеровr+qсамой молекулы (r >> 2а). В ди–2qпольном приближении найти силу,действующую на плоскость состороны молекулы.(b2)− a 2 ρg ln3 (3aq )Ответ: F =.64πε0 r 42Рис.
5.11. Схема расположениямолекулы и плоскости (задача5.4.13)5.4.14. Незаряженный проводящий шар, плотность которого ρ1,плавает в жидкости, имеющей плотность ρ2 (ρ2 > 2ρ1) и диэлектрическую проницаемость ε. Какой заряд следует сообщить шару, чтобы он погрузился в жидкость ровно на половину? Радиус шара равен R.Ответ: q = 4πε0 (ε + 1)(ρ2 − 2ρ1 )gR53ε 0 (ε − 1).Литература к главе 51. Матвеев А.Н. Электричество и магнетизм. §18, 19.
–М.: Высшаяшкола, 1983.2. Сивухин Д.В. Общий курс физики. Электричество. §28-30, §32-34,М., Физматлит, 2006..3. Калашников С.Г. Электричество. §31-37, М.: Физматлит, 2003.4. Тамм И.Е. Основы теории электричества. §30-34, –М.: Наука,2003.174ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧГлава 6ПОСТОЯННЫЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК§6.1. Теоретический материалЭлектрический ток – упорядоченное движение заряженныхчастиц. Ток может существовать в проводящих средах и в вакууме.Проводники – материальные тела, в которых при наличиивнешнего электрического поля возникает электрический ток свободных зарядов.
Если через проводник протекает электрическийток, то (в отличие от электростатики) он не является эквипотенциальной областью.Ток в проводящей средеОбъемная плотность тока – вектор средней плотности потоказарядов, который численно равен заряду, проходящему за 1 секундучерез единичную площадку, перпендикулярную скорости зарядовj = ρv .Размерность плотности тока [j] = А/м2. Вектор j сонаправлен свектором скорости v упорядоченного движения положительно заряженных частиц. Здесь ρ – объёмная плотность зарядов в даннойточке проводника.
Если в проводнике существуют свободные заряды разных знаков с объемной плотностью ρ+ и ρ–, движущиеся сосредними скоростями v+ и v – соответственно, тоj = j+ + j – = ρ+v+ + ρ– v –.Уравнение непрерывности (закон сохранения заряда)∂ρ+ div j = 0 ,(6.1)∂tгде ρ – объемная плотность зарядов в проводнике, j – плотностьтока. Если ток постоянный, то величина заряда в любой части объема проводника неизменна и везде выполняется соотношение:div j = 0.(6.2)Поверхностная плотность тока – вектор, определяемый соотношениемi = σv ,175Гл. 6.
Постоянный электрический токгде σ – поверхностная плотность зарядов, v – вектор их среднейскорости упорядоченного движения по поверхности. Размерностьповерхностной плотности тока [i] = А/м.Закон Ома в дифференциальной форме:j = λE.(6.3)Здесь Е – напряженность электростатического поля в проводнике, λ – удельная электрическая проводимость вещества. В системе СИ удельная электрическая проводимость измеряется в(Ом⋅м)-1.Если, помимо электростатического поля, на носители зарядадействуют иные (так называемые, сторонние) силы, тоj = λ(E + E*),(6.3*)где Е* – напряженность поля сторонних сил, численно равная сторонней силе, действующей на свободный носитель единичного положительного заряда. Сторонние силы могут быть обусловлены,например, вихревым электрическим полем, силой Лоренца, физической или химической неоднородностью проводников, их ускоренным движением.В однородном проводнике (λ = const) из (6.2, 6.3) следуетdiv E = 0 и, поскольку для стационарных полей rot E = 0, поле Епотенциально и потенциал ϕ удовлетворяет уравнению Лапласа∇2 ϕ= 0.Сила тока I – скалярная величина, численно равная заряду,проходящему через поперечное сечение проводника S за единицувремениI=dq=dt∫ jd S .(6.4)SЕдиница измерения силы тока Ампер [А] в системе единиц СИявляется основной электромагнитной единицей.Закон Ома для участка цепи.
Сила тока, протекающего попроводнику при отсутствии в нем сторонних сил, пропорциональнанапряжению U между концами проводника:UI=.(6.5)RВеличина R называется электрическим сопротивлением проводника. Единица измерения в системе СИ – [Ом].176ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧСопротивление однородного проводника постоянного сеченияl(6.6)R=ρ .SЗдесь ρ – удельное сопротивление материала проводника ρ = 1/λ (ρзависит от материала и температуры, единица измерения в СИ –[Ом⋅м]), l – длина проводника, S – площадь поперечного сеченияпроводника, λ – удельная электрическая проводимость материала.Связь емкости конденсатора и сопротивления между обкладками. Сопротивление R однородной проводящей среды, заполняющей всё пространство, между двумя идеально проводящимителами произвольной формы и ёмкость С такой системы связаны судельным сопротивлением вещества ρ и его диэлектрической проницаемостью ε соотношением:RC = ρε0ε.(6.7)Закон Джоуля–Ленца.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
