Д.Ф. Киселев, А.С. Жукарев, С.А. Иванов и др. - Электричество и магнетизм. Методика решения задач (1115540), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Напряженность на оси диска вычислена в задаче 1.3.6(глава 1) и равнаσ x1 −,2ε0 x2 + R 2 где R – радиус диска, а х – расстояние вдоль оси до плоскости диска. В нашем случае х = h/2, откуда получаем ответ:Е=136ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧP h.1−22ε0 h + 4R Поляризованный цилиндр можно представить себе как результат малого сдвига всех положительных зарядов относительно всехего отрицательных зарядов. Видим, что вектор напряженности поляЕ, создаваемой поляризованностью Р, направлен противоположновектору Р. Поэтому поле от связанных зарядов часто называют деполяризующим полем.E= −Ответ: E = −P h1−2ε0 h + 4R 2.Задача 4.3.16. Поляризованность Р в предыдущей задаче направлена перпендикулярно оси цилиндра.
Найти напряженностьполя в центре цилиндра.Решение+σ′ + + + n++Из условия задачи следует, чтоP ϕ++связанные заряды возникнут только на боковой поверхности цилиндра. Плотность связанных зарядовOопределяется формулой (4.2) и––равна σ′ = (Pn) = Pcos φ, где φ –––азимутальный угол, а n – единич–σ′ –– –ный вектор нормали к поверхностиРис. 4.15.
Распределение связанныхцилиндра (рис. 4.15).зарядов на боковой поверхностиДля вычисления напряженно- однородно поляризованного цисти в центре цилиндра надо пред- линдра (задача 4.3.16)ставить боковую поверхность цилиндра в виде последовательностибесконечно узких колец с зарядом, распределенным на них с линейной плотностью dτ = σ′dx, и воспользоваться результатом решения задачи 1.3.21 (глава 1), где вычислена напряженность поля наоси такого кольца:dE =dτx2 4ε0 R 1 + 2 R 3/2,Гл.4.
Диэлектрики в электростатическом поле137где х – расстояние от плоскоdxсти кольца до точки наблюдения О (в нашем случае этоO xцентр цилиндра (рис. 4.16)).xПолную напряженность поляв центре цилиндра найдем,интегрируя это выражениепо всем х от – h/2 до + h/2. Рис. 4.16. К вычислению напряженностиКак и в предыдущей задаче, электрического поля в центре однороднополяризованного цилиндра (задача 4.3.16)направление вектора Е противоположно направлениювектора Р. С учетом этого обстоятельства получаемPhЕ= −.2ε 0 h 2 + 4 R 2Если цилиндр очень длинный (h → ∞), то напряженность поляPвнутри него будет однородной и равной E = −.2ε 0Ответ: Е = −Ph2ε 0 h 2 + 4 R 2.Задача 4.3.17 (базовая задача). Диэлектрический шар поляризован однородно с вектором поляризации Р.
Найти напряженностьэлектрического поля внутри шара.РешениеИз (4.2) следует, что на шаре имеются поверхностные заряды,плотность которых σ′ = (Pn) = Pcosϑ, где ϑ – полярный угол относительно вектора Р, а n – единичный вектор нормали к поверхности шара.Данная задача легко сводится к ранее рассмотренной в главе 1задаче 1.3.17. Указанную выше плотность поверхностных зарядовможно смоделировать следующим образом. Возьмем два шара, однородно заряженных одинаковой по величине объемной плотностью заряда ρ, но противоположного знака.Сместим центр отрицательно заряженного шара O' относительно центра положительного шара O на малый вектор а противнаправления Р (рис.
1.17). Тогда внутри области пересечения ша-138ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧров получится суммарная нулеваяzплотность заряда, а толщина по++ + h+верхностного слоя некомпенси++рованного заряда в первом при++ϑближениибудетравнаOh(ϑ) = a cosϑ, что эквивалентноPa Pyповерхностной плотности зарядаO'σ = ρh(ϑ) = ρa cosϑ.Очевидно,––что для получения приведенной––– – – –выше плотности поверхностногозаряда нужно положить Р = ρa,1.17. К вычислению напряили в векторном виде Р = –ρa. Рис.женности поля внутри однородноПри а → 0 данная система по поляризованного шара (задачараспределению поляризационных 4.3.17)зарядов эквивалентна нашей задаче.В задаче 1.3.17 было найдено электрическое поле в области пересечения двух шаров, равномерно заряженных равной по модулю,но противоположной по знаку плотностью зарядов ±ρ, центры которых смещены относительно друг друга на вектор а.
Было получено, что силовые линии этого поля параллельны а, его напряженρность E =a . Используя это, можно сразу написать ответ для3ε 0данной задачи E = −Ответ: E = −1P.3ε 01P.3ε 0Замечание: электрическое поле, порожденное поляризациейматериала тела, называется деполяризующим. При однородной поляризации тела это поле будет однородным только для тел в формеэллипсоида или его частных случаев – шара или сфероида. Для эллипсоида E = − N̂P , где N̂ – тензор деполяризации формы. В главных осях эллипсоида тензор N̂ диагонален и сумма диагональныхэлементов всегда равна 1.
Поэтому в шаре все коэффициенты деполяризации равны 1 3 , что и было получено в данной задаче.Аналогичным способом можно решить задачу для длинногоцилиндра с поперечной поляризацией (без учета неоднородностиГл.4. Диэлектрики в электростатическом поле139поля на торцах). В этом случае коэффициенты деполяризации в егопоперечном сечении равны 1 2 , а продольный равен нулю (это используется далее в задаче 4.4.13).Задача 4.3.18.
В однородное электрическое поле напряженности Е0 поместили однородный диэлектрический шар, проницаемость которого равна ε. Найти напряженность E электрическогополя внутри шара и вектор поляризации P диэлектрика.РешениеШар представляет собой диэлектрик, для которого выполняются соотношения (4.4) и (4.7): P = ε0(ε – 1)E, где E = E0 + E1, E – полное электрическое поле внутри шара, E1 – поле, созданное поляризационными поверхностными зарядами и найденное в предыдущейPзадаче: E1 = −.
Подставляя выражение для E1 и выполняя ал3ε 0гебраические преобразования, находим:ε −11E0 ;E= 3E0 .ε+2ε+2Замечание: Обратите внимание, что вектор Р определяется напряженностью полного поля Е внутри тела.Ответ:P = 3ε 0Задача 4.3.19. Пространство между пластинами плоского конденсатора заполнено диэлектриком с проницаемостью ε. Внутридиэлектрика имеется сферическая полость.
На пластинах конденсатора равномерно распределены заряды с плотностями σ и –σ. Найтинапряженность электрического поля в полости E0.РешениеНапряженность поля в полости E0 можно представить как разность векторов напряженности однородного поля E в конденсаторес диэлектриком без полости и поля E1, созданного однородно поляризованным шаром из диэлектрика (рис.
4.18). Поле Е вычислено вσзадаче 4.3.2 и равно E =.ε0ε140ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧПоле E1 было вычислено вPзадаче 4.3.17 и равно E1 = −,3ε 0где P = ε0(ε –1)E. Отсюда следует:ε+2E0 = E – E1 = σ.3ε 0 εPPPEE0εE1Ответ: Поле в полости од- εεнородно, сонаправлено с внешним полем и равно по величи- Рис. 4.18. Вычисление напряжённостиполя в полости внутри диэлектрикаε+2 σне E0 =.(задача 4.3.19)3ε ε 0§ 4.4. Задачи для самостоятельного решения4.4.1. Сторонние заряды равномерно распределены с объёмнойплотностью ρ > 0 по шару радиуса R из однородного изотропногодиэлектрика с проницаемостью ε.
Найти:а) модуль вектора напряженности электрического поля какфункцию расстояния r от центра шара; изобразить примерные графики зависимостей E(r) и φ(r);б) объёмную и поверхностную плотности связанных зарядов.Ответ:а) E =ρr при r < R;3εε 0ρR 3при r > R;3ε 0 r 2ε −1ε −1б) ρ′ = −ρ , σ′ =ρR .ε3εE=4.4.2 Бесконечно большая пластина из однородного диэлектрика с диэлектрической проницаемостью ε заряжена равномерно собъёмной плотностью ρ. Толщина пластины 2d.
Найти поверхностную и объёмную плотности связанного заряда.Ответ:ρ′ = −ε −1ρ;εσ′ =ε −1ρd .εГл.4. Диэлектрики в электростатическом поле1414.4.3 Обкладкам плоского конденсатора сообщаются заряды +qи –q. Зазор между обкладками ширины d заполнен изотропным веществом, диэлектрическая проницаемость которого ε(х) изменяетсяв перпендикулярном к обкладкам направлении х по линейному закону. В непосредственной близости к положительно заряженнойобкладке ε = ε1, в непосредственной близости к отрицательной обкладке ε = ε2.
Найти объёмную плотность связанных зарядов ρ′ какфункцию х. Определить суммарный связанный заряд q′, возникающий внутри диэлектрика. Площадь каждой обкладки равна S.Ответ:ρ′ = −ε −εq dεq ε −ε= − 2 2 1 , q′ = 1 2 q .2ε1ε 2ε S dxε S d4.4.4 Пространство между обкладками цилиндрического конденсатора с радиусами R1, R3 (R1 < R3), заполнено средой с диэлектрической проницаемостью ε, которая зависит от расстояния отцентра следующим образом: ε = ε1 при R1 < r < R2, и ε = ε2 приR2 < r < R3. Определить плотность поверхностного поляризационного заряда σ12 на границе раздела этих сред, если разность потенциалов между обкладками этого конденсатора равна V0.ε 0 (ε 2 − ε1 )V0Ответ:σ12 =.R2 [ε 2 ln(R2 / R1 ) + ε1 ln(R3 / R2 )]4.4.5. Какова напряженность поля Е в воздушном зазоре плоского конденсатора, если разность потенциалов между пластинамиV = 200 B? Расстояние между пластинами равно d = 0,2 см, и междуними находится лист стекла с ε = 7 и толщиной h = 0,1 см.Ответ:E=εV= 175 кВ/м.(d − h )ε + h4.4.6.
Первоначально пространство между обкладками плоского конденсатора заполнено воздухом. Затем половину толщины зазора заполняют диэлектриком с проницаемостью ε. Найти начальную напряжённость поля в конденсаторе Е0, если индукция электрического поля в диэлектрике по модулю равна D. Решить задачу вдвух случаях:а) напряжение между обкладками не менялось;б) заряды на обкладках оставались неизменными.142ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ.
МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧОтвет:а) E0 =ε +1D;2εε0б) E0 =D.ε04.4.7. Решить предыдущую задачу 4.4.6 с тем отличием, чтодиэлектрик, заполняющий всю толщину зазора, занимает половинуплощади пластин конденсатора.Ответ:а) E0 =D;εε 0б) E0 =ε +1D.2εε04.4.8. Сферически симметричная система состоит из внутреннего проводника радиуса r1, диэлектрической прослойки с проницаемостью ε, ограниченной радиусами r2 (внутренний) и r3 (внешний), и внешней, тонкой проводящей сферы радиуса r4. Внутренний проводник несёт заряд q1, внешний – заряд q2. Определить потенциал внутреннего проводника и поляризованность диэлектрической прослойки.Ответ: ϕ1 =14πε 0 q2 ε − 1 1 1 (ε − 1)q1 .q − q1 + 1 ; P = +ε r3 r2 r1 4πεr 2 r44.4.9. Между пластинами плоского конденсатора, площадь которых S, помещен слоистый диэлектрик, состоящий из n слоёв вещества с диэлектрической проницаемостью ε1 и из n слоев с диэлектрической проницаемостью ε2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
