Д.Ф. Киселев, А.С. Жукарев, С.А. Иванов и др. - Электричество и магнетизм. Методика решения задач (1115540), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Поляризация внутри металла P1 = 0, а вектор поляризации диэлектрика можно найти ε −1 D , где в силу симметрии задачи вектор ε qэлектрической индукции вне сферы D =r , а внутри сферы4 πr 3из соотношения P = равен нулю.Замечание 2. Результат справедлив для сферы любого радиусаR. Если устремить R к нулю, то сохранится выражение для вектораГл.4. Диэлектрики в электростатическом поле117P, а полный поверхностный связанный заряд будет оставаться поε −1q.стоянным: q′ = −εЕсли диэлектрик не безграничный, а представляет собой шаровой слой, внешний радиус которого равен R1 > R, то на внешнейгранице диэлектрика появляется связанный заряд –q′, равный повеличине и противоположный по знаку связанному заряду q′, находящемуся на внутренней поверхности слоя.
Равенство этих зарядовсразу следует из теоремы Гаусса для вектора Р (4.3): если в качестве поверхности S взять концентрическую сферу, радиус которойпревышает R1, то полный связанный заряд внутри этой сферы равеннулю. За пределами диэлектрического слоя поле выглядит как полеточечного заряда q, расположенного в центре всех сфер, так как вэтой области Р = 0.Задача 4.3.2 (базовая задача). В плоский конденсатор параллельно обкладкам вставлена диэлектрическая пластинка из материала с проницаемостью ε (рис. 4.1).
Определить величину вектораполяризации P и плотности поверхностных σ′ и объемных ρ′ связанных зарядов в пластинке. Заряд конденсатора q, площадь пластин S.РешениеВ плоском конденсаторе (рис. 4.1) поле считаем однородным (краевыми эффектами, как обычно,+σпренебрегаем). Из симметрииE0системы следует, что векторы– – – – – – – – – – – – – – –σ ′всех полей направлены перEσ′εпендикулярно к пластинам1+σ ′(т.е.
по оси Х на рис.4.1), поля+ + + + + + + + + + + + +n12ризованность диэлектрика од2–σнородна и поэтому объемнаяхплотность связанных зарядовРис. 4.1. Направления векторов электриравна нулю.ческого поля конденсатора Е0 и поляриНапряженностьполя зованной диэлектрической пластины Еσ′внутри диэлектрика E можно (задача 4.3.2)выразить двумя способамианалогично задаче 4.3.1.
С учетом выбранного направления оси Х иуказанных на рис. 4.1 знаков зарядов, имеем:118ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧE = E0 − Eσ ′ =E0εилиσ σ′σ,− =ε0 ε0 ε0εгде Е0 = σ/ε0 напряженность в отсутствие диэлектрика., σ = q S –плотность свободного заряда на пластинах конденсатора.ε −1σ.Отсюда находим σ′ =εВектор поляризации P определим из (4.4): P = æε0E, гдеσæ = ε – 1, а E – напряженность поля внутри диэлектрика: E =.ε0εε −1σ , а направление вектора P совпадает сεнаправлением поля в конденсаторе. Этот же результат можно получить непосредственно из граничного условия (4.2). В нашем примере для нижней границы пластины можно записать (см.
рис. 4.1)(ε − 1)P2 = 0, n12·P1 = σ′ = σ> 0.εПоложительность результата означает совпадение направленийвекторов нормали n12 и P1.Эти рассуждения не зависят от толщины диэлектрической пластинки. Поэтому полученные выводы применимы и в том случае,когда диэлектрик занимает все пространство между пластинамиконденсатора.Следовательно, P =ε −1ε −1qσ , σ′ =σ, σ=SεεЗамечание. Поле вектора электрической индукции D внутриконденсатора однородно и определяется только свободными зарядами пластин: D = σ. Отсюда можно найти поляризацию средыD ε −1P = (ε − 1)ε 0 E = (ε − 1)ε 0=σ.ε0εεОтвет:P=Задача 4.3.3. Точечный заряд q находится в центре шара радиуса R из диэлектрика с проницаемостью ε1. Шар окружен безграничным диэлектриком с проницаемостью ε2 (рис.
4.2). Найти поверхностную плотность связанных зарядов σ′ на границе разделаэтих диэлектриков.119Гл.4. Диэлектрики в электростатическом полеРешениеСогласно (4.2) σ′ = P1n – P2n, где P1 и P2 – векторы поляризацииобоих диэлектриков у границы r = R. Величины P1 и P2 совпадают свыражениями для поляризации, полученными в предыдущей задаче 4.3.1:q ε1 − 1 2,P1(R) =ε2n124πR 2 ε1 1q ε2 − 1 .P2(R) =4πR 2 ε 2 Следовательно,q 1 1 − .σ′ = P1 ( R ) − P2 ( R ) =4πR 2 ε 2 ε1 Ответ:σ′ =q 1 1 − .4πR 2 ε 2 ε1 ε1qRРис. 4.2.
Система, состоящая източечного заряда q, диэлектрического шара и безграничного диэлектрика (задача 4.3.3)Замечание. Величину поляризации сред можно сразу найти из со- εi − 1 D , где в данном случае для обеих областей εi отношения Pi = вектор электрической индукции D =qr.4π r 3Задача 4.3.4. Между обкладками плоского конденсатора находятся две прилегающие друг к другу диэлектрические пластинки,проницаемости которых равны ε1 и ε2. На пластинах конденсатораравномерно распределены заряды с поверхностной плотностью σ и–σ. Определить плотности σ′ связанных зарядов на свободных поверхностях диэлектрических пластинок, а также на границе их раздела (рис.
4.3).РешениеДля определения σ′ используем граничное условие (4.2) длявекторов поляризации P1 и P2, а сами величины векторов P1 и P2найдем из напряженностей соответствующих электрических полей(4.4).120ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧУчитывая выбранное на рис. 4.3 направление оси Х и знаки заσрядов, получаем, что вне диэлектрических пластин E0 =, аε0внутри пластинок 1 и 2 E1 =σσ, E2 =,ε 0 ε1ε 0ε 2 ε −1P1 = σ 1 , ε1 Используя (4.2), находим:1σ′1 = –P1 = −σ 1 − < 0, ε1 откуда следует: ε −1 .P2 = σ 2 ε2 +σ1ε1σ1′σ′1εε 222σ′2 = P2 = σ 1 − > 0.σ′2 ε2 –σНа границе раздела диэлектриковхРис. 4.3. Плоский конденсатор с двумяε1 − ε 2диэлектрическими прослойками (задачаσ′ = – σ′1 – σ′2 =σ.ε1ε 24.3.4)Это следует также из (4.3), если в качестве поверхности S взятьповерхность внутри конденсатора, заключающую в себе оба диэлектрика (суммарный связанный заряд внутри такой поверхностидолжен быть равен нулю).
Тот же результат легко получить из граничного условия (4.2), если использовать найденные выше значения P1 и P2.11ε −εОтвет: σ′1 = −σ 1 − , σ′2 = σ 1 − , σ′ = 1 2 σ .εεε1ε 212 Замечание. Поле вектора электрической индукции D внутриконденсатора однородно и определяется только свободными зарядами пластин: D = σ. Отсюда можно сразу найти поляризацию средPi =εi − 1ε −1D= iσ.εiεiЗадача 4.3.5. Однородный изотропный диэлектрик с проницаемостью ε заполняет все нижнее полупространство. В вакууме нарасстоянии h от его поверхности находится точечный заряд q.
Определить поверхностную плотность поляризационных (связанных)Гл.4. Диэлектрики в электростатическом поле121зарядов в произвольной точке границы, а также полный связанныйзаряд на поверхности диэлектрика.РешениеДля ответа на первый вопрос используем непрерывность нормальной компоненты вектора индукции Dn (4.13) на границе раздела вакуум (среда 1) –диэлектрик (среда 2).Рассмотрим напряженность поля в бесконечно малой окрестности произвольной точки А, лежащей на границе раздела(рис. 4.4). Ввиду цилиндрической симметрии системы достаточнозадать лишь радиус x, на котором точка А находится от основанияперпендикуляра О, опущенного из точки нахождения заряда наплоскую границу диэлектрика.Пусть σ′(х) – плотность связанного заряда в точке А.
Вблизиточки А напряженность поля будет+qсуперпозицией поля Eq стороннегоα rточечного заряда q и поля E′ от всех–E′⊥hсвязанных зарядов, появившихся на1Aгранице.O xσ′E′||Напряженность Eq направлена по2n12Eqрадиус-вектору, проведенному от заE′⊥ряда q в точку А, и равна1 qEq =,Рис.4.4. Напряженности полей,4πε 0 r 2создаваемых в точке А сторонним222зарядом q и поляризационнымигде r = x + h .зарядами диэлектрика (задачаСвязанные заряды, очевидно, будут 4.3.5)распределены на плоскости неравномерно.
Нужная нам нормальная компонента поля (поле E′⊥(x) нарис.4.4) создается только поверхностными зарядами в непосредстσ′венной окрестности точки А и имеет величину E′(x) =. Поле от2ε 0всех остальных связанных зарядов плоскости в этой точке направлено горизонтально вдоль плоскости (E′|| на рис. 4.4).В первой среде (в вакууме) нормальная компонента вектораиндукции, в соответствии с выбранным направлением нормали,равна согласно (4.6)σ′ 1 qh σ′D1n = ε 0 E1n = ε 0 Eq cos α − =− .2 4π r 3 2122ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧВо второй среде (в диэлектрике)σ′ 1 qh σ′ D2 n = ε 0 εE2 n = ε ε 0 Eq cos α + = ε + .322 4π rЗдесь учтено, что знак нормальных компонент поля E′⊥(x) по обестороны границы противоположен.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
