Д.Ф. Киселев, А.С. Жукарев, С.А. Иванов и др. - Электричество и магнетизм. Методика решения задач (1115540), страница 35
Текст из файла (страница 35)
7.10a). Тогда вектор B в каждой точке этогоконтура направлен по касательной к нему, а величина индукции неизменяется вдоль всего контура. Однако выбранный нами контур неохватывает ток, т.е.∫ B dl = B ⋅ 2πr ⇒ 2πrB = 0 ,LI =0т.е. магнитное поле внутри цилиндра в любой точке отсутствует.абРис. 7.10. К определению индукции магнитного поля внутри (а) и снаружи(б) тонкостенной трубы (задача 7.3.10)2) Найдем теперь индукцию магнитного поля снаружи трубы вточке, находящейся на расстоянии r от ее оси (r > R).
Проведя рассуждения аналогично пункту 1) получим, что выбранная нами вкачестве контура окружность радиуса r охватывает весь ток I, текущий по трубе, независимо от своего радиуса (рис. 7.10б). Получим:∫ B dl = B ⋅ 2πr ⇒ 2πrB = µ I .LI =I0Гл. 7. Магнитное поле стационарного тока в вакуумеОтсюда B =223µ0 I.2 πrпри r < R, B = 0,Ответ: µ0 I B = 2πr , при r > R,Замечание 1.
Этот ответ совпадает с ответом задачи 7.3.1, полученным для бесконечно длинного провода с током (замечание 2 кзадаче 7.3.1), однако данное решение задачи гораздо проще, чтоделает этот способ решения предпочтительным.Замечание 2. При r = R (поверхность трубы) индукция магнитного поля в такой системе испытывает скачок. Величина индукциина поверхности трубы не определена (в рамках рассматриваемоймодели бесконечно тонких стенок трубы ток следует рассматриватькак поверхностный).Задача 7.3.11.
По однородному сплошному бесконечному цилиндрическому проводнику радиуса R течет ток I, который равномерно распределен по сечению. Найти величину индукции магнитного поля внутри и вне проводника в зависимости от расстояния дооси. Магнитные свойства материала не учитывать.РешениеДанный проводник с током представляет собой бесконечнуюсистему с аксиальной симметрией. Линии индукции магнитногополя такой системы являются окружностями с центром на оси проводника, лежащими в плоскостях, перпендикулярных оси проводника.1) Найдем величину индукции магнитного поля внутри проводника с током в точке, находящейся на расстоянии r от его оси(r < R, рис.
7.11а). Аналогично решению базовой задачи 7.3.10, из(7.9) получаем∫ B dl = B ⋅ 2πr LI = πr 2 j2 ⇒ 2πrB = µ 0 πr j ,II=– модуль объёмной плотности тока, текущего чеS πR 2рез проводник. Окончательно имеем:где j =224ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧµ0 Ir.2πR 2Таким образом, при r < R величина индукции магнитного полясплошного проводника, плотность тока в котором постоянна, линейно зависит от расстояния от оси проводника.B=абРис. 7.11. К определению индукции магнитного поля внутри (а) и снаружи (б)сплошного цилиндрического проводника (задача 7.3.11)2) Найдем величину индукции магнитного поля снаружи трубыв точке, находящейся на расстоянии r от ее оси (r > R, рис. 7.11б).µ IАналогично пункту 2) базовой задачи 7.3.10 получим B = 0 .2 πrµ0 I B = 2 πR 2 r, r < R;Ответ: B = µ 0 I ,r ≥ R.2 πrЗамечание 1. В точке r = R функция B(r) непрерывна, её значеµ Iние максимально и равно B = 0 .2 πRЗамечание 2.
Зависимость модуля индукции магнитного поля,создаваемого объемным током постоянной плотности в цилиндрическом бесконечном проводнике, от расстояния до оси проводникааналогична зависимости напряженности электрического поля, создаваемого равномерно заряженным по объёму бесконечным цилиндром.Задача 7.3.12. Проводник из немагнитного материала имеет всечении сложную конфигурацию и представляет собой суперпозицию двух бесконечно длинных прямолинейных цилиндрическихпроводников, в области пересечения которых имеется полость ПГл. 7. Магнитное поле стационарного тока в вакууме225(см. рис. 7.12а).В правой и левой части проводника текут в противоположныхнаправлениях токи с одной и той же по модулю объёмной плотностью j. Найти величину и направление индукции магнитного поля вполости.
Расстояние между осями цилиндрических составляющихпроводника АС = d.РешениеРассмотрим систему издвух сплошных цилиндров А иС, в которых токи текут равномерно во всем объёме. Тогдав области перекрытия цилиндаров (полость П на рис. 7.12а)тока не будет – таким образом,сконструированная нами система в отношении пространственного распределения токаидентична системе, представленной в условии задачи.Рассмотрим произвольнуюточку М, находящуюся внутриобласти перекрытия токов (см.рис. 7.11б). Согласно решениюббазовой задачи 7.3.11, величиРис.7.12.Проводниксложнойконфигуна индукции магнитного поля,рации с полостью П и распределение всозданного в этой точке ци- нём объёмных токов (а) и определениелиндром А, определяется соот- индукции магнитного поля в полости (б)(к задаче 7.3.12)µ jношением B1 = 0 rAM и на2правлена перпендикулярно вектору rAM.
Аналогично, величина индукции магнитного поля, созданного в этой точке цилиндром С,µ jопределяется соотношением B2 = 0 rCM и направлена перпенди2кулярно вектору rСM. В векторном виде индукции магнитных полейцилиндров в точке М можно записать в видеµ jµ jB1 = 0 [l1rAM ] , B 2 = 0 [ l2 rBM ] ,22где векторы l1 и l2 – единичные векторы, сонаправленные с токами в226ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧпроводниках А и С соответственно, т.
е. l1 = – l2.Используя принцип суперпозиции, получимµ jµ jB M = B1 + B 2 = 0 ([l1rAM ] + [l2rBM ]) = 0 [l1 (rAM − rBM )] =22µ0 j=[l1AC] .2Таким образом, магнитное поле в полости П однородно. Инµ jдукция этого поля равна B = 0 d и направлена в плоскости ри2сунка перпендикулярно линии, соединяющей оси проводников А иС.µ jОтвет: вектор B ⊥ AC и равен по модулю B = 0 d .2Задачи типа 7.3Определение индукции магнитостатического поля, созданногозаданным распределением магнитных диполей.Метод решения. Определение индукции магнитного поля,созданного заданной системой магнитных диполей, является однойиз важнейших задач магнитостатики. Особое значение эта задачаприобретает в разделе «Магнитостатика магнетиков», так как магнитный момент является основной величиной, характеризующеймагнитные свойства вещества.
Для замкнутых линейных токов набольшом расстоянии от них поле аналогично полю диполя, поэтомурешение задачи значительно упрощается при использовании дипольного описания.Задача 7.3.13 (базовая задача). Точечный магнитныйдиполь с моментом pm, направленным вдоль оси OY,расположен в начале декартовойсистемыкоординат(рис. 7.13). Определить вели7.13. Ориентация магнитного дипочину индукции магнитного Рис.ля pm относительно декартовой системыполя в точке М с координатами координат (задача 7.3.13)(х, y).227Гл. 7. Магнитное поле стационарного тока в вакуумеРешениеСогласно соотношению (7.20) вектор индукции магнитного поля в точке, определяемой радиус-вектором r, равенµ 3( p mr ) r p m B= 0− 3 .4π r 5r Определим проекцию вектора В на ось Х. Так как магнитный момент диполя перпендикулярен этой оси, тоµ 3( p m r )r µ 3 p r cos ϑr sin ϑ pm 3 = 0 , Bx = 0 = 0 m.54π rr5 r x x 4π Здесь ϑ – угол между векторами pm и r, поэтомуyx; sin ϑ = ; r = x 2 + y 2 .rrµ 0 3 pm xyОтсюда получаем B x =.4π ( x 2 + y 2 ) 5 2cos ϑ =Аналогично имеем для компоненты магнитного поля, параллельной оси Y:µ 3(p mr ) r p m µ 0 3 pm r 2 cos2 ϑ pm −=− 3 =By = 0 4π r 5r 3 y 4π r5r 22µ pm ( 2 y − x ).= 04 π ( x 2 + y 2 )5 2Окончательно получаемB=Bx2+B y2()22 y2 + x2 + x2 y2µ= 0 pm.524πx2 + y2()(2 y 2 + x 2 ) 2 + x 2 y 2µ0Ответ: B =pm.4π( x 2 + y 2 )5 2Замечание.
Эту задачу удобно решать в сферической системекоординат аналогично задаче 1.3.23 главы 1 (определение напряжённости поля точечного электрического диполя). В этом случаеположение точки М определяется длиной радиус-вектора r и полярным углом ϑ, а величина магнитной индукции поля диполя вµ pэтой точке может быть представлена как B = 0 m3 3 cos 2 ϑ + 1 .4π r228ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧЗадача 7.3.14. Два точечных магнитных диполя с равными повеличине моментамиp m1 = p m2 = p m находятся на некоторомрасстоянии друг от друга.
Их магнитные моменты лежат в однойплоскости и ориентированы взаимно перпендикулярно. При какойориентации магнитных моментов относительно соединяющей ихпрямой индукция магнитного поля в точке О, расположенной посередине между диполями, будет минимальной и максимальной?РешениеYПусть расстояние между диPm2 θ +π/2полями равно 2а. В выбранной Pm1θOсистеме отсчета (см. рис. 7.14)B1Xкомпоненты индукции магнитноB2го поля, созданного левым и праBвым магнитными моментами вточке О согласно соотношению Рис. 7.14. Определение индукции магнитного поля от двух взаимно перпен(7.20) соответственно равны:дикулярных магнитных диполей (задаЛевый диполь p m1 :ча 7.3.14)B1 x =µ 0 3 p m a 2 cos θ p m cos θ µ0 pm cos θ=−;4π a5a 3 2π a 3B1 y =µ 0 p m sin θ;4π a 3Правый диполь p m 2 :µ p cos θµ p sin θµ 0 pm cos(θ + π 2)B2 y = − 0 m 3= − 0 m 3 ;.32π4π aa2π aСогласно принципу суперпозиции для величины индукциимагнитного поля получим:B2 x =B ( θ) =µ 0 pm4π a 3( B1 x + B2 x ) 2 + ( B1 y + B2 y ) 2 =µ 0 pmµ p4(cos θ − sin θ) 2 + (cos θ + sin θ) 2 = 0 m334π a4π aИсследование этой функции на экстремум дает:=Минимум: при θ min =π 5π,4 4Bmin=5 − 3 sin 2θ .µ 0 pm 2,4π a 3229Гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
