Д.Ф. Киселев, А.С. Жукарев, С.А. Иванов и др. - Электричество и магнетизм. Методика решения задач (1115540), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Если расположить такие катушки соосно друг другуна расстоянии, равном их среднему радиусу, то магнитное поле между ними можно считать однородным и равным по модулю3/ 2µ 0 NI 4 µ 0 NIB ==. ≈ 0,715R 5RТакая система называется катушками Гельмгольца. Наряду ссоленоидом они используются для создания однородного магнитного поля.Задача 7.3.5. Найти величину индукции магнитного поля наоси соленоида в произвольной точке (из которой края соленоидавидны под углами α1 и α2). Радиус сечения соленоида R, плотностьнамотки n витков на единицу длины. Сила тока, текущего в соленоиде равна I.РешениеУчитывая симметрию рассматриваемой системы, выберем осьХ системы координат совпадающей с осью соленоида (см.
рис. 7.6).Точку, в которой требуется определить индукцию магнитного поля, примем за начало отсчета.Магнитное поле, создаваемое соленоидом на его оси, можнопредставить как суперпозицию полей dB, создаваемых круговымиГл. 7. Магнитное поле стационарного тока в вакууме217витками линейного тока, причем ширина витков равна dx, а силатока в каждом из них равна nIdx.
Тогда, аналогично решению базовой задачи 7.3.3, получимµ 0 ( In dx ) R sin α;2r2здесь α – угол, под которым видно рассматриваемое кольцо шириRной dx из точки наблюдения. Из рисунка видно, что r =; слеsin αRдовательно, dx = − 2 dα .sin αdB =Рис. 7.6. К определению индукции магнитного поля на оси соленоида(задача 7.3.5)Так как вклады от всех витков имеют одинаковый знак проекции на ось Х, имеем:α2µ In1B= 0( − sin α) dα = µ 0 In (cos α 2 + cos α1 ) .∫2 π−α211µ 0 In (cos α 2 + cos α1 ) .2Замечание 1.
Если длина соленоида много больше его радиуса(бесконечный соленоид), то cos α1 = cos α2 = 1. В этом случае полена оси такого соленоида не зависит от точки наблюдения и равноОтвет: B =B = µ 0 In = Bmax .Замечание 2. Для точки, находящейся в центре торца длинногосоленоида, α1 = π/2, α2 = 0, и индукция магнитного поля равна11B = µ 0 In = Bmax .22218ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧЗамечание 3.
Значения углов α1 > π/2, или α2 > π/2 соответствует точкам, лежащим снаружи от соленоида на его оси. Решение задачи не отличается от рассмотренного. При удалении от соленоидавдоль его оси α1 → π и α2 → 0, модуль индукции магнитного поляВ → 0.Задача 7.3.6. Непроводящая сферарадиуса R, равномерно заряженная поповерхности с плотностью заряда σ,вращается с постоянной угловой скоростью ω вокруг оси, проходящей черезеё центр.
Определить магнитную индукцию в центре сферы.РешениеВ силу симметрии задачи её удобнорешать в сферической системе координат. Будем отсчитывать угол θ этой системы координат от оси Z, направлениекоторой совпадает с вектором угловойскорости сферы (см. рис. 7.7).Рис. 7.7. Определение индукРассмотрим произвольное тонкое ции магнитного поля, создакольцо шириной R dθ, вырезанное из ваемого вращающейся зарясферой в ее центрерассматриваемой сферы.
Так как оно женной(задача 7.3.6).вращается с постоянной угловой скоростью вокруг своей оси, то такая система аналогична неподвижномукольцу, по которому течет ток силыdI =dq σ dS σ 2πR sin θ Rdθ=== σωR 2sinθd θ ,TTTгде Т – период обращения сферы вокруг своей оси.Согласно решению базовой задачи 7.3.3, магнитное поле, создаваемое таким витком в центре сферы, направлено вдоль оси Z иего индукция равнаµ 0 dI sin θµ ωσ R 32πR sin θ = 0sin θ dθ .24π R2По принципу суперпозиции интегрированием получим индукdB =Гл. 7.
Магнитное поле стационарного тока в вакууме219цию магнитного поля в центре сферы:π/2B=2∫0µ0ωσR 3µ ωσ R 2 2sin θ dθ = 2 0⋅ = µ 0ωσR .223 32Ответ: B = µ 0 σRω .3Задачи типа 7.2Определение индукции магнитостатического поля безграничных распределений токов, обладающих плоской или осевой симметриейМетод решения. При решении модельных задач, в которыхрассматриваются системы токов, формально не ограниченные впространстве (бесконечные линейные, плоские или объёмные токи), обладающие плоской или осевой симметрией, удобно опираться на закон полного тока (7.9).Аналогично применению электростатической теоремы Гаусса(глава 1), здесь при вычислении циркуляции вектора магнитной индукции по замкнутому контуру ключевым моментом является выбор этого контура.
Очевидно, что он должен проходить через точку,в которой мы хотим определить величину В, и, кроме этого, вычисление интеграла∫ B dlдолжно быть максимально простым. На-Lпример, величина В должна быть одинакова на всем протяженииконтура L, или на одной из частей контура B = const, а на другойB = 0, и т.п.; угол α между векторами B и dl не должен менятьсяпри обходе контура, или на одной из частей контура α = const, а надругой α = 0 или α = π/2. Поэтому при анализе условия задачи особое внимание следует обратить на картину распределения полейвокруг проводников с током.Задача 7.3.7 (базовая задача). Безграничная проводящая плоскость расположена горизонтально. По ней течет ток, поверхностнаяплотность которого равна i, а направление одинаково во всех точках. Определить индукцию магнитного поля, создаваемого такойплоскостью.РешениеВвиду симметрии в распределении токов рассматриваемой сис-220ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ.
МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧтемы и безграничности плоскости, величина вектора индукциимагнитного поля этой системы не будет зависеть от расстояния доплоскости, а сам вектор будет направлен параллельно плоскости иперпендикулярно текущему по ней току.В качестве контура L удобно выбрать прямоугольник ABCD,две стороны которого параллельны плоскости и перпендикулярнытоку, текущему в ней (см. рис.
7.8). Полный ток, охватываемыйэтим контуром, равен I = ia, где а – длина горизонтально расположенной стороны контура.На горизонтальных участках контура вектор В не изменяетсяпо величине и сонаправлен с вектором dl (участки АВ и СD нарис. 7.8). На участках контура, перпендикулярных плоскости (ВС иDA), вектор В перпендикулярен dl в каждой точке.
Тогда в соответствии с теоремой о циркуляцииимеем:∫ B dl = 2Ba ⇒ 2Ba = µ ia .0I = iaОтвет: Вектор магнитнойиндукциинаправлен параллельРис. 7.8. Определение индукции магнитного поля, создаваемого безгранич- но плоскости и перпендикуляренной проводящей плоскостью (задача направлению тока, а его модуль7.3.7)µiравен B = 0 .2LЗадача 7.3.8. Система состоит из двух параллельных друг другу безграничных плоскостей с токами, величины которых одинаковы.
Эти токи создают в пространстве между плоскостями однородное магнитное поле с индукцией В, а снаружи поле отсутствует.Найти поверхностную плотность тока, текущего по плоскостям.РешениеСистема токов, представленная в данной задаче, эквивалентнадвум системам базовой задачи 7.3.7.
Используя результат этой задачи, можно утверждать, что токи по плоскостям параллельны и текут в противоположных направлениях – иначе согласно принципусуперпозиции магнитное поле снаружи от плоскостей должно бытьотлично от нуля.При такой ориентации токов в пространстве между плоскостя-Гл. 7. Магнитное поле стационарного тока в вакууме221ми индукция магнитного поля вдвое больше индукции магнитногополя одной плоскости, т.е. по модулю равна B = µ 0 i . Отсюда находимB.i=µ0Ответ: Направления токов, текущих по плоскостям взаимнопротивоположны, их поверхностные плотности одинаковы по модулю и равны i = B µ0 .Задача 7.3.9 (базовая задача). Найти индукцию магнитногополя внутри бесконечного соленоида с плотностью намотки n витков на метр, по которому течет ток силой I.РешениеВ случае плотной намотки магнитное поле внутри длинногосоленоида близко к однородному, за исключением точек непосредственно вблизи витков обмотки.
Поле снаружи длинного соленоидавдали от его торцов можно считать близким к нулю.Проведем через точку, вlкоторой надо найти индукциюмагнитного поля прямоугольный контур так, чтобы егоBсторона длины l была параллельна линии В, а противоположная сторона была вне соленоида.
Запишем теорему о Рис. 7.9. К нахождению магнитного поляциркуляции вектора В (7.9). внутри длинного соленоида (задача 7.3.9)Пусть ток в витках направлениз плоскости чертежа к нам. Плоскость контура пересекают nl витков, полная величина тока через выбранный контур равна Inl. Прирасчете циркуляции выберем направление обхода против часовойстрелки, для которого этот ток будет положительным по правилуправого винта. Поскольку вне соленоида поле можно считать равным нулю, циркуляция по данному контуру равна Bl, откуда следует Bl = µ0Inl, или B = µ0In.Ответ: B = µ0In.Задача 7.3.10 (базовая задача).
По стенке бесконечной тонкостенной цилиндрической трубы радиуса R параллельно её оси течет222ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧток I. Найти величину индукции магнитного поля внутри и внетрубы в зависимости от расстояния до её оси.РешениеВ силу симметрии рассматриваемой системы силовые линиисоздаваемого ей магнитного поля являются окружностями, плоскости которых перпендикулярны оси трубы. Для вычисления В(r)удобно воспользоваться теоремой о циркуляции.1) Найдем индукцию магнитного поля внутри трубы в точке,находящейся на расстоянии r от ее оси (r < R). Для этого выберем вкачестве контура L окружность, центр которой лежит на оси трубы,а радиус равен r (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
