Д.Ф. Киселев, А.С. Жукарев, С.А. Иванов и др. - Электричество и магнетизм. Методика решения задач (1115540), страница 36
Текст из файла (страница 36)
7. Магнитное поле стационарного тока в вакуумеМаксимум: при θ max =3π 7 π,4 4B = Bmax=µ 0 pm 2 2.4π a 3π 5π3π 7π, ; B(0) = Bmax при θ =,.4 44 4Замечание. В сферической системе координат аналогичная задача для электрического диполя решена в главе 1 (задача 1.3.24).Ответ: B(0) = Bmin при θ =Задача 7.3.15. Непроводящая сфера радиуса R, равномерно заряженная по поверхности с плотностью заряда σ, вращается с постоянной угловой скоростью ω вокруг оси, проходящей через еёцентр.
Определить магнитный момент такой системы.РешениеСогласно определению (7.18)магнитный момент поверхностноготока можно рассчитать по формулеpm =1[r i ] dS .2S∫Так как сфера вращается с постоянной угловой скоростью, то поверхностная плотность тока определяется соотношением (§6.1 глава 6)i = σv = σ[ω x ](см. рис. 7.15). Таким образом, вектор плотности тока направлен по касательной к поверхности сферы вкаждой точке, а его величина определяется как i = σωR sin θ . Учитывая,получимpm =Рис.7.15. К определению магнитного момента вращающейся заряженной сферы (задача 7.3.15)что в данной задаче r = R,σσ R [ ωx ]dS = ∫ ( ω( Rx) − x(Rω) )dS =∫2S2S=σσω( Rx )dS − ∫ x(Rω) dS .∫2S2SВ силу симметрии задачи второй интеграл в этом выражении230ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ.
МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧравен 0. Угол между векторами R и x в любой точке сферы равенα = 90°– θ. Учитывая, что dS = 2πxR dθ , x = R sin θ , получим( pm ) z =ππσ4ω ( Rsinθ )sinθ 2πR 2sinθd θ = σR 4 ωπ∫ sin 3θ d θ = πσR 4 ω ,∫2030или в векторной форме( 4 πR 2 σ) R 21ω = QR 2 ω ,33где Q = 4 πR 2 σ – заряд сферы.pm =4 4πR σ ω .3Замечание. Если рассмотреть вращающуюся заряженную сферу как суперпозицию плоских витков с током, каждый из которыхимеет магнитный момент dpm, то магнитное поле сферы можно вычислить, как суперпозицию магнитных полей, создаваемых всемимагнитными моментами. В соответствии с формулой (7.21) магнитµ 2pное поле диполя на его оси равно B = 0 3m , тогда индукцию4π rмагнитного поля в центре сферы можно вычислить какµ 2 dpµ pµ0 4 42B = 0 ∫ 3m = 0 m3 =πR σ ω = µ 0 σ Rω ,34π R2π R32 πR 3что соответствует ответу задачи 7.3.6.Ответ: p m =Задачи типа 7.4Определение индукции магнитного поля с использованием векторного магнитного потенциала (эквивалентные плоские электростатические и магнитостатические задачи).Метод решения.
Если записать дифференциальное уравнениемагнитного поля стационарного тока в вакууме (7.10) rot B = µ 0 j иучесть, что векторный магнитный потенциал связан с индукциеймагнитного поля соотношением B = rot A, то с учетом условия калибровки векторного потенциала (7.14) получим∇ 2 A = −µ 0 j .Это уравнение эквивалентно трем скалярным уравнениям:∇ 2 Ax = −µ 0 j x , ∇ 2 Ay = −µ 0 j y , ∇ 2 Az = −µ 0 j z ,Гл. 7. Магнитное поле стационарного тока в вакууме231каждое из которых аналогично уравнению для скалярного потенциала ϕ электрического поля в пустоте от зарядов с объёмнойплотностью ρ (уравнение Пуассона (2.18), глава 2):1∇ 2ϕ = − ρ ,ε0решение которого известно из электростатики, и для заряда объёмной плотности ρ, сосредоточенного в ограниченной области пространства V, имеет вид:1ρdVϕ=.4πε 0 V r∫Удобнее всего сопоставлять уравнения для скалярного ϕ и векторного A потенциалов для однонаправленного (однокомпонентного) тока, когда, например, jx = jy = 0, а jz = jz(x, y) и не зависит от z(плоские задачи).
Тогда, если распределение плотности электрического заряда ρ = ρ( x, y ) аналогично распределению тока jz(x, y), торешения уравнений1∇ 2 ϕ = − ρ( x, y ) и ∇ 2 Az = −µ 0 j z ( x, y )ε0дают функции ϕ(x,y) и Az(x,y), имеющие одинаковые пространственные распределения. Значит, они равны с точностью до постоянных множителей. Чтобы перейти от решения электростатическойзадачи к магнитостатической, нужно сделать заменыρϕ → Az,→ µ0 jz, Ex → By, Ey → –Bx, Er → Bϕ, Eϕ → –Br. (7.22)ε0Однако следует учесть, что в этом случае, как следует из приведенных соотношений, векторы E и B взаимно перпендикулярны.Таким образом, ответ многих магнитостатических задач можнозаписать сразу без решения задачи, используя известное решениеэквивалентной задачи электростатики.При решении обратной задачи – нахождения потенциала А поизвестному полю индукции В – в случае задач с элементами симметрии может быть полезно интегральное соотношение, следующее из теоремы Стокса (7.8):∫ Adl =∫ rot AdS = ∫ BdS .LSS(7.23)232ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ.
МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧЗадача 7.3.16. Найти векторный потенциал (в кулоновской калибровке) для однородного магнитного поля с индукцией В.РешениеНаправим ось Z декартовой системы координат вдоль вектораВ. Учитывая, что В имеет только одну ненулевую компоненту Bz,запишем в декартовых координатах соотношение (7.13):∂Ay∂Ax=B.∂x∂y∂A ∂ABx = (rot A ) x = z − y = 0 ,∂y∂z∂A ∂AB y = (rot A ) y = x − z = 0 .∂z∂xОчевидно, что с точностью до константы решениями являютсяследующие векторы: A = B{–y; 0; 0}, A = B{0; x; 0} и любая их суперпозиция, например, сумма, которая наиболее компактно записывается в векторном видеBz = (rot A ) z =A=−11B{− y; x; 0} = [B r];22Кулоновской калибровке div A = 0 удовлетворяют все три решения.Ответ:A(x,y) =11B{–y; x; 0} = [B r];22A(x,y) = B{–y; 0; 0}, A(x,y) = B{0; x; 0}.Задача 7.3.17 (базовая задача). Найти векторный магнитныйпотенциал A и индукцию магнитного поля B на расстоянии r отпрямолинейного бесконечного тонкого проводника, по которомутечёт постоянный ток I.РешениеЭквивалентная задача электростатики: найти потенциал ϕи напряженность Е электростатического поля, созданного прямолинейным безграничным тонким проводником, на котором равномерно распределён электрический заряд с линейной плотностью γ.Решение данной задачи было рассмотрено выше (задача 1.3.13 главы 1 и задача 2.3.11 главы 2) и имеет следующий видГл.
7. Магнитное поле стационарного тока в вакууме2331r1 γ,γ ln ; E r =2πε 0C2 πε 0 rгде r – расстояние от провода, С – произвольная константа, имеющая размерность длины. Вектор напряженности электрическогополя здесь направлен перпендикулярно проводнику.Выберем цилиндрическую систему координат, полярная ось Zкоторой совпадает с проводником, а её направление – с направлением тока I.Используя эквивалентность электростатической и магнитостатической задач и производя замены (7.22), получимµµ IrA = Az = − 0 I ln ;B = Bϕ = 0 .2πC2π rВектор индукции магнитного поля прямого безграничного токалежит в плоскости (XY) и касателен к окружности радиуса r, центркоторой лежит на проводнике. Векторный магнитный потенциалэтого поля имеет одну компоненту вдоль оси Z.µµ IrОтвет: A = Az = − 0 I ln ; B = Bϕ = 0 .2πC2π rЗамечание: Тот же ответ для величины магнитной индукции Вбыл получен ранее из уравнения Био-Савара–Лапласа (задача 7.3.1,Замечание 2) и из теоремы о циркуляции вектора В (задача 7.3.9).ϕ=−Задача 7.3.18.
По поверхности длинного кругового цилиндрарадиуса R вдоль его оси течет поверхностный ток с постояннойплотностью i. Определить магнитный потенциал A и индукциюмагнитного поля B этого тока.РешениеВыберем цилиндрическую систему координат, ось Z которойсовпадает с осью цилиндра, а направление – с вектором плотноститока.Эквивалентная задача электростатики: длинный круговойцилиндр радиуса R заряжен по поверхности с постоянной поверхностной плотностью заряда σ. Определить ϕ и E для этой системы зарядов.Данная магнитостатическая задача была решена выше (глава 1,задача 1.3.12). Используя решение этой задачи и условия (7.22),можно записать для областей внутри и снаружи цилиндра234ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ.
МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧдля задачи электростатики:для r < R:ϕin = C1,для r > R:ϕex = −граничные условия: (r = R)Ein = 0;σrR lnε0CErex =2σ R;ε0 rErex – Erin =ϕex = ϕin,σ;ε0для задачи магнитостатики:для r < R:A = C1,для r > R:Azex = − µ 0iR lnB = 0;r,C2граничные условия: (r = R)Azex = Azin,Bϕex = µ 0iR;rBϕex – Bϕin = µ 0 i.§ 7.4. Задачи для самостоятельного решенияЗадача 7.4.1. Определить величину индукции магнитного поляв центре равностороннего треугольника со стороной а, если:а) его обтекает ток I;б) источник ЭДС подключен к двум вершинам треугольника.Поле подводящих проводов не учитывать, сопротивление всехсторон треугольника одинаково.9µ IОтвет: а) B = 0 ; б) В = 0.2πaЗадача 7.4.2.
Найти величину индукциимагнитного поля в центре плоской спирали,по которой течет ток силы I. Спираль заключена между окружностями радиусов R1 и R2(R1 > R2, рис.7.16). Общее число витков спирали N. Поле подводящих проводов не учитывать.Рис. 7.16. Проводникв виде плоской спирали (задача 7.4.2)Гл.
7. Магнитное поле стационарного тока в вакуумеОтвет: B =µ 0 N I ln( R2 / R1 ).2(R2 − R1 )Задача 7.4.3. Ток I течет по тонкомузамкнутому проводнику, показанному нарис. 7.17. Радиус изогнутой части проводникаравен R, угол 2ϕ=90°. Найти величину индукции магнитного поля в точке О.µ I 3π Ответ: B = 0 + 1 .2 πR 4Задача 7.4.4. Найти величину индукциимагнитного поля в точке О для контура с токомI, который показан на рис. 7.18. Радиусы а, b иугол ϕ известны.µ I 2π − ϕ ϕ Ответ: B = 0 + .4π abЗадача 7.4.5.
Найти величинуиндукции магнитного поля в точке Одля проводника с током I, которыйпоказан на рис. 7.19. Горизонтальные части провода можно считатьбесконечно длинными, радиус полукольца равен R.µ IОтвет: B = 0 .4RЗадача 7.4.6. Найти индукцию магнитного поля в точке О, если проводникс током I имеет вид, показанный нарис. 7.20.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
