Д.Ф. Киселев, А.С. Жукарев, С.А. Иванов и др. - Электричество и магнетизм. Методика решения задач (1115540), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Горизонтальные части провода можно считать бесконечно длинными, радиус полукольца равен R.Ответ: B =235µ0 I4 + π 2 , вектор B4πRРис. 7.17. Замкнутыйпроводник с током I(задача 7.4.3)Рис. 7.18. Замкнутыйпроводник с током I(задача 7.4.4)Рис. 7.19. Проводник с током(задача 7.4.5)Рис. 7.20. Проводник с токомI (задача 7.4.6)236ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧлежит в плоскости XZ под углом α к оси ОХ, где tgα ≈ 0,63.Задача 7.4.7. Однородный ток плотности j течет внутри неограниченной пластины толщины 2d параллельно ее поверхности.Пренебрегая влиянием вещества пластины, найти зависимость величины индукции магнитного поля этого тока от расстояния х, отсчитываемого от средней плоскости пластины. B = µ 0 jx, x ≤ d ;Ответ: B = µ 0 jd , x ≥ d .Задача 7.4.8.
Из куска изолированной проволоки сделан круглый виток и подключен к источнику тока с постоянной ЭДС. Какизменится индукция магнитного поля в центре круга, если из тогоже куска проволоки сделать два прилегающих друг к другу соосных витка?Ответ: увеличится в 4 раза.Задача 7.4.9. Бесконечно длинный цилиндрический провод состоит из двух коаксиальных цилиндров. Внутренний сплошной цилиндр, изготовленный из немагнитного материала, имеет радиус R1.Радиус внешнего пустотелого цилиндра равен R2.
Вдоль цилиндровтекут постоянные токи одинаковой величины I, но направленныепротивоположно. Определить зависимость величины индукциимагнитного поля от расстояния до оси провода B(r).µ IОтвет: B = 0 2 r ,r < R1;2πR1µ IB= 0 ,R1 ≤ r ≤ R2;2 πrB=0,r ≥ R2.Задача 7.4.10. Внутри длинного прямого провода круглого сечения имеется длинная круглая цилиндрическая полость, ось которой параллельна оси провода и смещена относительно неё на расстояние d. По проводу течет постоянный ток плотности j, равномерно распределенный по его сечению. Пренебрегая влиянием вещества провода, определить величину индукции магнитного полявнутри полости.Гл. 7.
Магнитное поле стационарного тока в вакууме237µ0jd .27.4.11. Вдоль длинной тонкостенной цилиндрической трубкирадиуса R течет постоянный ток I. В стенке трубки имеется тонкаящель ширины d, параллельная оси трубки. Определить величинуиндукции магнитного поля В в точке, лежащей внутри трубки на еёрадиусе, если расстояние от середины щели до рассматриваемойточки равно r (r, R >> d).Ответ: B =Ответ: B ≈µ 0 Id.4π 2 rRЗадача 7.4.12. Непроводящий тонкий диск радиуса R, равномерно заряженный с одной стороны с поверхностной плотностьюσ, вращается вокруг своей оси с угловой скоростью ω. Найти:а) величину индукции магнитного поля в центре диска;б) модуль магнитного момента диска.µ σωRπσωR 4; б) pm =.Ответ: а) B = 024Задача 7.4.13. Заряд Q равномерно распределен по объёму однородного шара радиуса R, который вращается вокруг оси, проходящей через его центр, с угловой скоростью ω.
Найти магнитныймомент такой системы.Ответ: p m =Q R2ω.5Задача 7.4.14. В каких точках на расстоянии R от точечногомагнитного момента pm величина индукции магнитного поля будетиметь максимальное и минимальное значения?µ pОтвет: B = Bmax = 0 m3 в точках, радиус-вектор которых2π Rсоставляет с горизонталью углы θ = 0, π;µ pB = Bmin = 0 m3 в точках, радиус-вектор которых4π Rπ 3πсоставляет с горизонталью углы θ = , .2 2238ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ.
МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧЗадача 7.4.15. Вдоль оси длинного кругового цилиндра радиуса R течет ток с постоянной плотностью j. Найти векторный магнитный потенциал А магнитного поля в зависимости от расстоянияr до оси цилиндра.Ответ: Если принять А(0) = 0, тоµдля r ≤ R:A in = − 0 πr 2 j ;4πµ r 1для r ≥ R:A ex = − 0 2πR 2 ln + j ;4π R 2Задача 7.4.16. Найти векторный магнитный потенциал Авнутри и вне длинного (бесконечного) соленоида радиуса а, внутрикоторого протекающим током создается однородное магнитное поле с индукцией В.
Положить А = 0 на оси соленоида.Ответ (в цилиндрических координатах (r, ϕ, z)):При любом z внутри соленоида Aϕ =1a2BBr ; снаружи Aϕ =.22rЛинии векторного поля А образуют окружности с центром наоси соленоида, лежащие в плоскости, перпендикулярной этой оси.Указание: можно воспользоваться теоремой о циркуляции вектора А (7.23).Литература к главе 71.2.3.4.Матвеев А.Н. Электричество и магнетизм. – М.: Оникс 21век, 2005, §§ 8-10, 35-37.Сивухин Д.В. Общий курс физики. т.III Электричество. – М.:Физматлит, 2006, глава III.Калашников С.Г. Электричество. – М.: Физматлит, 2003,§§ 75-88.Тамм И.Е. Основы теории электричества.
– М.: Физматлит,2003, глава IV.239Гл. 8. Электромагнитная индукцияГлава 8ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ИНДУКЦИЯ. КОЭФФИЦИЕНТЫСАМОИНДУКЦИИ И ВЗАИМОИНДУКЦИИ§ 8.1. Теоретический материалПотоком вектора магнитной индукции В через поверхностьS называется поверхностный интеграл∫∫Ф = Bn dS = BdS .S(8.1)SВектор dS направлен по нормали n кnэлементарной площадке dS и имеет модуль,равный ее площади. Для согласования знаковпринято, что направление вектора нормали nи направление обхода контура связаны правилом правого винта, как показано на Рис.
8.1. К определениюнаправлениявекторарис. 8.1.нормали к плоскомуЕдиницей магнитного потока в системе контуруСИ является вебер (Вб = Т⋅м2).Закон электромагнитной индукции Фарадея устанавливаетдинамическую связь магнитных явлений с электрическими.Интегральная форма закона электромагнитной индукции:ЭДС электромагнитной индукции E в произвольном контуре Lпропорциональна скорости изменения магнитного потока Ф черезпроизвольную поверхность S, опирающуюся на этот контур:∂Ф.(8.2)∂tЗнак минус в (8.2) означает, что индукционный ток, вызываемый ЭДС индукции в проводниках, своим магнитным полем противодействует изменению магнитного потока, его породившего (правило Ленца).Появление ЭДС электромагнитной индукции объясняется работой силы Лоренца, действующей на заряд в электромагнитном поле(7.7)F = qE + q[ v B] ,E=−240ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ.
МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧгде v – скорость движения заряда. В разных физических ситуацияхи разных системах отсчета эта сила может иметь только электрическую компоненту (первое слагаемое), или только магнитную (второе слагаемое) или быть суммой этих компонент.Изменение потока Ф(t) может быть вызвано двумя разнымипричинами, которые могут действовать и совместно. Им соответствуют две следующие ситуации:1) Вектор магнитной индукции B постоянен, а Ф(t) меняетсяза счет движения проводников, например, из-за деформации проводящего контура или изменения его ориентации относительно направления вектора В.2) Проводящий контур неподвижен, а Ф(t) меняется за счетизменения величины и направления B(t).В случае 1) ЭДС индукции возникает из-за магнитной составляющей силы Лоренца, которая в данной ситуации действует назаряды, которые движутся вместе с проводником:F = q [vB].В замкнутой цепи эта сторонняя сила порождает ЭДС индукцииE=1Fdl = ∫ [vB]dl .q ∫LL(8.3)Данный интеграл преобразуется к виду (8.2) [1, §44].Если взять систему отсчета, движущуюся вместе с даннымучастком проводника, то магнитная составляющая силы Лоренца невозникнет, поскольку в такой системе заряды будут неподвижны.Появление же ЭДС индукции в этом участке можно объяснить релятивистским эффектом – появлением электрического поля, возникающим в движущейся системе отсчета.
Это поле для скоростей,много меньших скорости света, определяется следующей формулой[1, §11]:E = [vB],(8.4)В этом случае ЭДС возникает за счет работы электрической составляющей силы Лоренца, и ее величина приводит к тому же самомузначению ЭДС (8.3).В случае 2) ЭДС индукции обусловлена работой вихревогоэлектрического поля Евихр, возникающим в пространстве при изме-241Гл. 8.
Электромагнитная индукциянении магнитного поля В(t). В отличие от электростатического поля, поле Евихр не потенциально и возникает в отсутствие электрических зарядов. Локальная взаимная связь Евихр и В(t) определяетсяследующим уравнением (8.5), которое входит в систему четырехфундаментальных уравнений электродинамики Максвелла.Дифференциальная форма закона электромагнитной индукции∂Brot Eвихр = −.(8.5)∂tПользуясь теоремой Стокса ((7.8) главы 7) величину ЭДС индукции в замкнутом контуре L, вызванной вихревым электрическим полем, можно представить в виде (8.2):∂B∂∂ΦE = Eвихр dl = rot E ⋅ dS = −B dS = −.dS = −∂∂tt∂tLSSS∫∫∫∫Таким образом, интегральное соотношение (8.2) является универсальным, так как описывает оба варианта возникновения ЭДС, втом числе и при их совместном действии.Индуктивность линейного проводящего контура (коэффициент самоиндукции) – коэффициент пропорциональности L между силой тока в контуре I и магнитным потоком Ф(I), которыйэтот ток создает через произвольную поверхность, опирающуюсяна этот контурФ(I) = LI.(8.6)Индуктивность положительна, ее величина в вакууме определяется только формой и размером контура.Единица индуктивности в системе СИ называется генри (Гн).Энергия магнитного поля линейного контура с током11W = ФI = LI 2 .22(8.7)Индуктивность произвольного проводящего контура определя1ется из соотношения W = LI 2 .2Коэффициентом взаимной индукции линейных контуров Ljiназывается коэффициент пропорциональности между магнитным242ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ.
МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧпотоком Фj, создаваемым в j-м контуре магнитным полем от тока Ii,протекающего по i-му контуру:Фj(Ii) = LjiIi.(8.8)Величина Lji определяется формой, размерами и взаимнымрасположением контуров. Знак Lji может быть как положительным,так и отрицательным в зависимости от взаимной ориентации контуров и направлений токов в них, которые приняты за положительные. В вакууме или в средах с линейной магнитной восприимчивостью (диа- и парамагнетики) коэффициенты взаимной индукциисимметричны по индексам (теорема взаимности [1, §47])Lij = Lji.(8.9)Энергия магнитного поля системы контуров с током1W = ∑ L ji I j I i .(8.10)2 j, iЭту энергию можно разбить на две частиW=11Lii I i2 + ∑ L ji I j I i .∑2 i2 j,ij ≠iПервое слагаемое – сумма собственных энергий контуров, второе – сумма энергий их взаимодействия Wij, которая может быть какположительной, так и отрицательной.
Полная энергия всегда положительна.Коэффициент взаимной индукции произвольных контуровопределяется по энергии их взаимодействияWij взаим = Lij I i I j .§ 8.2. Основные типы задач (классификация)8.1. Нахождение ЭДС индукции в линейных проводниках, движущихся в постоянном магнитном поле.8.2. Нахождение ЭДС индукции в проводящих телах, движущихся в постоянном магнитном поле.8.3. Нахождение ЭДС индукции в изменяющемся магнитномполе.8.3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
