Д.Ф. Киселев, А.С. Жукарев, С.А. Иванов и др. - Электричество и магнетизм. Методика решения задач (1115540), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Непроводящее тонкоекольцо с невесомой ступицей надето на ось, вокруг которой можетсвободно вращаться. Кольцо заряжено по периметру зарядом q. Вначальный момент оно покоилось, затем включили однородное магнитное поле, перпендикулярное плоскости кольца, индукция которого стала возрастать по некоторому закону B(t). Найти угловуюскорость кольца ω(B) в зависимости от индукции поля. Считать,что вся масса m сосредоточена в кольце.qB( t ) .2mУказание. Решить задачу двумя способами:1.
динамическим, найдя момент сил, действующих на кольцо состороны вихревого электрического поля;Ответ: ω( B ) = −2. энергетическим, учитывая, что энергия кольца в магнитном поле1W = ФI.2Задача 8.4.11. Замкнутая катушка в виде тонкого тора среднегорадиуса а имеет N витков.
Сечение тора – круг площади S(a >> S1/2). Найти индуктивность этой катушки.Ответ: L = µ 0N 2S= µ 0 n 2V , где V = 2πa⋅S – объем тора, n –2 πaплотность намотки.Замечание. Ввиду большого радиуса тора по сравнению с размером поперечного сечения его обмотки, его индуктивность совпадает с индуктивностью длинного соленоида, полученной в пренебрежении краевыми эффектами на его торцах.Гл.
8. Электромагнитная индукция269Задача 8.4.12. Круговой виток радиуса а с собственной индуктивностью L установлен на расстоянии l от бесконечной сверхпроводящей плоскости (плоскость витка параллельна сверхпроводящейповерхности). Считая, что l >> a, найти индуктивность L' витка вданных условиях.Указание: использовать дипольное приближение, учитывая, чтона поверхности сверхпроводника нормальная компонента векторамагнитной индукции Bn = 0. По аналогии с электростатикой применить метод изображений, т.е.
ввести фиктивные источники поля,обеспечивающие выполнение граничных условий.Ответ: L′ = L −µ0a 4.16l 3Задача 8.4.13. Найти индуктивность длинного соленоида,имеющего N витков, радиус r и длину l, который помещен внутридлинной сверхпроводящей трубы радиуса R вдали от ее торцов параллельно ее оси.Ответ:r2 N 2L = µ0πr2 1 − 2 . R lЗадача 8.4.14. Найти индуктивность L' единицы длины двухпроводной линии в вакууме. Радиус проводов равен а, расстояниемежду их осями b, магнитная проницаемость проводов µ = 1. Считать, что b >> а, магнитным полем внутри проводов пренебречь.µ0 b µ 0 bln − 1 ≈ln .π a π aЗамечание.
Точное решение с учетом поля внутри проводов даµ b 1ет L′ = 0 ln + (см. [5], §34, задача 4).π a 4Ответ: L′ =Задача 8.4.15. Найти индуктивность L' единицы длины тонкогокоаксиального кабеля. Внутренний и внешний проводник считатькоаксиальными тонкими цилиндрическими трубами радиусов а и bсоответственно.µbОтвет: L′ = 0 ln .2π a270ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧЗадача 8.4.16. Найти индуктивность системы из двух соединенных последовательно длинных соленоидов, один из которыхвставлен внутрь другого. Внутренний соленоид имеет длину l1, радиус r1 и плотность намотки n1, внешний – l2, r2 и n2 соответственно(l2 > l1, r2 > r1). Рассмотреть два случая, когда направления токов ввитках обоих соленоидов одинаковы и противоположны.Ответ: L = µ0π( r12 l1 n12 + r22 l2 n22 ± 2 n1 n2 r12 l1).
Знак плюспри одинаковом направлении токов.Задача 8.4.17. Две катушки одинаковой длины с индуктивностями L1 и L2 соответственно, плотно вставлены одна в другую дополного совмещения концов (радиусы катушек считаются равными). Найти их коэффициент взаимной индукции L12 и общую индуктивность L при последовательном соединении катушек. Рассмотреть два случая, когда направления токов в витках обоих катушек 1) одинаковы 2) противоположны.Ответ: L12 = L1 L2 , L = ( L1 ± L2 )2. Знак плюс соответствует одинаковому направлению токов.~Задача 8.4.18. Длинный соленоидокружен витком провода, в которомподдерживается ток I = I0 cosωt подключенным к нему источником переменного тока (рис.
8.23). Найти ЭДСРис. 8.23. К расчету ЭДС виндукции, наводимой в соленоиде.соленоиде (задача 8.4.18)Длина соленоида l, радиус a, числовитков N.N 2Ответ: E=µ0πa I0 ω sin ωt. Результат не зависит от наклоlна и формы витка.Задача 8.4.19. Квадратная рамка со стороной а лежит в одной плоскости с прямолинейным длинным проводом (рис. 8.24).Ближайшая сторона рамки параллельна проводу и отстоит от него на расстояние b.
Врамке источником переменной ЭДС создается ток I = I0 sin ωt. Найти ЭДС индукции E(t),наводимой в проводе.baa~Рис. 8.24. Взаимное расположение рамки и прямолинейногопровода(задача 8.4.19)Гл. 8. Электромагнитная индукция271µ0aa ln(1+ )ω I0 cos ωt.2πbЗадача 8.4.20. Точечный магнитный диполь пролетает насквозьчерез соленоид вдоль его оси. Магнитный момент диполя направлен параллельно его скорости. Соленоид через идеальный выпрямляющий элемент подключен к баллистическому гальванометру, измеряющему, таким образом, сумму модулей протекших зарядов.Найти магнитный момент диполя pm, если гальванометр показалзаряд q. Соленоид имеет N витков, длина его l, общее сопротивление соленоида и измерительной цепи R.Ответ: E = −Ответ: pm =qRl.2µ 0 NЗадача 8.4.21. По оси кругового витка радиуса а на расстоянииl от его центра (l >> a) движется со скоростью v точечный магнитный диполь с дипольным моментом pm, ориентированным параллельно вектору скорости.
Оценить силу тока в витке, если его сопротивление равно R, а индуктивностью можно пренебречь.3 µ 0 pm va 2l3 µ 0 pm a 2 vОтвет: I =.≈2 R (a 2 + l 2 )5 / 22 Rl 4Литература к главе 81.2.3.4.5.Матвеев А.Н. Электричество и магнетизм. –М.: Оникс 21век, 2005, §§ 44-47.Сивухин Д.В. Общий курс физики. т.III Электричество. –М.:Физматлит, 2006, §§ 64-71.Калашников С.Г. Электричество. –М.: Физматлит, 2003,§§ 89-99.Тамм И.Е. Основы теории электричества.
М.: Физматлит,2003, §§ 76-81.Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Электродинамика сплошныхсред. М.: Физматлит, 2001.272ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧГлава 9ЭНЕРГИЯ И СИЛЫ В МАГНИТОСТАТИКЕ§ 9.1. Теоретический материалЗакон Ампера – сила, действующая на элемент dl проводникас током I, помещенный в магнитное поле индукции В, равнаdF = I [dl B ] .(9.1)Сила, действующая на точечный диполь с магнитным моментом pm во внешнем поле B ([2], §56)∂B ∂B ∂B + pmzF = (p m ∇)B = ∇(p m B) = pmx + pmy.∂x ∂y ∂z (9.2)Момент сил, действующий на магнитный диполь в поле BM = [p m B] .Энергия магнитного диполя во внешнем поле ВW = − ( p m B) .(9.3)(9.4)Энергия магнитного поля, создаваемого линейным контуром с индуктивностью L и током I1 2 1LI = IΦ .(9.5)22где Ф – магнитный поток через контур.Энергия магнитного поля, создаваемого двумя контурами стоками I1 и I2W=11L1 I12 + L2 I 22 + L12 I1 I 2 ,(9.6)22где L1 – индуктивность первого контура, L2 – индуктивность второго контура, L12 – коэффициент их взаимной индукции.
Энергия неявляется аддитивной величиной, так как в выражении для энергииприсутствует слагаемое L12 I1 I 2 – энергия взаимодействия контуров.W12 =Механическая работа при бесконечно малом изменении конфигурации системы проводников с токами в магнитном поле273Гл. 9.
Энергия и силы в магнитостатикеδAстор = ∑ I i dΦi = dW + δA ,(9.7)iгде δAстор = ∑ I i dΦi – приращение работы сторонних сил (ЭДС исiточников тока), совершаемая против ЭДС электромагнитной индукции в i-контуре, dW – изменение магнитной энергии системы иδA – механическая работа пондеромоторных сил при бесконечномалом изменении конфигурации системы.Для двух частных случаев, когда либо 1) не изменяется магнитный поток через проводники системы (Фi = const), либо 2) постоянен ток, текущий в проводниках (Ii = const), выражение (9.7)соответственно, сводится к следующим: ([1], § 47)δA = −δW Φ =const .(9.8)δA = + δW(9.8′)iI i = const.(сравните с аналогичными соотношениями для электростатического поля (5.6) и (5.8)).
В первом случае механическая работа совершается за счет убыли магнитной энергии системы. Во втором случае механическая работа и сопутствующее ей и равное по величиневозрастание энергии магнитного поля происходит за счет работыисточников ЭДС, поддерживающих постоянство силы тока.Соотношения (9.8), (9.8′) удобно использовать для нахожденияпондеромоторных сил. Разумеется, оба варианта описывают работуодной и той же силы, величина которой определяется только величиной и взаимным расположением протекающих токов и не зависитот выбранного варианта расчета.Объёмная плотность энергии магнитного поля в вакуумеw=B2.2µ 0(9.9)Энергия магнитного поля в вакуумеW = ∫ w dV = ∫VVB2dV ,2µ 0где V – область пространства, где существует магнитное поле.(9.10)274ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ.
МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧДавление, оказываемое на границу раздела двух областей,объемные плотности энергии магнитного поля в которых соответственно равны w1 и w2p = w1 − w2 .(9.11)Сила Лоренца – полная сила, действующая со стороны электромагнитного поля на движущийся со скоростью v зарядFл = qE + q[v B] .(9.12)В выражение для силы Лоренца входят два слагаемых, первоеиз которых описывает взаимодействие заряда q с электрическимполем, а второе – с магнитным.§ 9.2. Основные типы задач (классификация)9.1. Определение энергии магнитного поля и магнитных сил всистемах безграничных проводников с линейным, поверхностнымили объёмным током.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
