Д.Ф. Киселев, А.С. Жукарев, С.А. Иванов и др. - Электричество и магнетизм. Методика решения задач (1115540), страница 44
Текст из файла (страница 44)
МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧAЭДС = − Aинд = I∆Φ = I ( L2 I − L1 I ) =µ0 2I l ln 2 = A + ∆W .πЗадача 9.3.4. По длинному сплошному прямому цилиндрическому проводу радиуса R из немагнитного материала течет ток I.Считая, что плотность тока одинакова во всём объёме проводника,найти энергию магнитного поля внутри провода в расчете на единицу его длины.РешениеТак как плотность тока одинакова во всём объёме проводника,то на расстоянии r от его оси индукция магнитного поля равнаµ IB = 0 2 r (см.
задачу 7.3.10 главы 7). По определению (9.9) объ2πRB2ёмная плотность энергии магнитного поля равна w =, то есть2µ 0она зависит от расстояния до оси проводника как21 µ0 I w( r ) =r.2µ 0 2 πR 2 Для энергии системы в расчете на единицу длины получимR2µ0 I 2W 1 1 µ0 I Wl == ∫r2πrldr=.ll 0 2µ 0 2πR 2 16πОтвет: Wl =µ0 I 2.16πЗадача 9.3.5. Вдоль прямого медного проводника радиуса R течет ток I. Найти разность потенциалов между осью проводника иего поверхностью. Концентрация электронов проводимости в медиn.РешениеТок, текущий в проводнике, создает вокруг себя магнитное поле.
Это поле действует на электроны проводимости, которые упорядоченно движутся с дрейфовой скоростьюV=II=.neS neπR 2Гл. 9. Энергия и силы в магнитостатике281Действие магнитной составляющей силы Лоренца F приводит к тому, что привключении тока электроны начинают смещаться к оси проводника (рис. 9.4).
В результате на поверхности появляется избыточный положительный заряд, а в остальномFобъеме – отрицательный. Таким образом,возникает электрическое поле, со стороныBкоторого на электроны также действует сила. Равновесие в проводнике будет достигнуто тогда, когда действующая на электронысила Лоренца (9.12) станет равной нулю, и вUкаждой точке проводника будет выполняться равенствоРис. 9.4.ОпределениеeE = − eVB .разности потенциалов UИндукция магнитного поля на расстоя- между осью и поверхнонии r от оси сплошного цилиндрического стью сплошного цилиндрического проводника спроводника равнатоком (задача 9.3.5)µ0 IB=r2πR 2(см.
задачу 7.3.10 главы 7). Напряженность электрического поля впроизвольной точке проводника направлена по радиусу проводникаи для ее проекции на радиальное направление получаем:µ0 IIr.2neπR 2πR 2Отсюда находим разность потенциалов между осью проводника и его поверхностьюE = −VB = −00µ0 I 2µ0 I 2rdr=−.2neπ 2 R 44neπ 2 R 2RU = − ∫ Edr = ∫Rµ0 I 2.4neπ 2 R 2Замечание. Чтобы найти распределение заряда внутри провода,можно воспользоваться результатами задачи 1.3.13 главы 1.
В нейбыло показано, что такая напряженность электрического поля, пропорциональная радиус-вектору r точки, получается внутри равно-Ответ: U = −282ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧρr , где ρ – плотность2ε 0заряда. Приравнивая это выражение полученной выше напряженI2ности Е, получаем ρ = − ε 0µ 0.neπ 2 R 4мерно заряженного цилиндра и равна E =Задачи типа 9.2Нахождение энергии магнитного поля и магнитных сил,действующих на проводники с током, ограниченныев пространствеЗадача 9.3.6.
По тонкой проволоке диаметром D, согнутой ввиде окружности радиуса R, течет постоянный ток I. Проволокаразрывается, если величина механического напряжения в ней достигает величины σ0. При каком значении индукции Bк однородногомагнитного поля, перпендикулярного плоскости кольца, произойдет разрыв проволоки?РешениеЗамкнутое кольцо с токомАможно рассматривать как магнитный момент pm = ISn (см.(7.16) в главе 7). Так как векториндукции магнитного поля паT′раллелен pm, то согласно (9.3)отсутствует вращающий моРис. 9.5. Силы, действующие на элементмент, действующий на провод- кольца с током во внешнем магнитномник со стороны внешнего маг- поле В (задача 9.3.6)нитного поля.Поскольку магнитное поле однородно, то согласно (9.2), полнаясила, действующая на кольцо со стороны магнитного поля, такжеравна нулю, т.е. проводник находится в положении равновесия.На элемент проводника dl (рис.
9.5) действует сила Ампера(9.1)dFA = I [dl B ] .Эта сила должна быть скомпенсирована равнодействую-Гл. 9. Энергия и силы в магнитостатике283щей dFT сил натяжения Т и Т′, приложенных к концам данногоdlэлемента dFT = Td α = T . Приравнивая модули этих сил, получаRемT = IBR .Проволока разорвётся, если механическое напряжение в нейTπD 2достигнет предельного, то есть= σ0 (где S =– площадьS4поперечного сечения проводника).Окончательно получим: B =Ответ: B =σ 0 πD 2.4 IRσ 0 πD 2.4 IRЗадача 9.3.7 (базовая задача).
Две катушки с магнитными моментами p1 и p2 расположены так, что их оси находятся на однойпрямой. Расстояние L между ними велико по сравнению с размерами катушек. Определить силу взаимодействия между катушками.РешениеПоскольку L намного больше размеров катушек, то такую систему можно рассматривать как систему из двух точечных магнитных моментов (см.
теоретический материал главы 7), один из которых находится в поле, создаваемом другим.Будем рассматривать вторую катушку в поле первой. Выберемось Х декартовой системы координат совпадающей с прямой, соединяющей центры катушек (см. рис. 9.6). Ввиду симметрии задачи сила будет иметь только хкомпоненту. Тогда согласно(9.2) на вторую катушку действует сила, величина которойравна∂BF = Fx = p2 x 1x .∂xСогласно соотношению(7.21) теоретического мате- Рис.
9.6. К расчёту силы взаимодействияриала главы 7, магнитное поле двух магнитных диполей (задача 9.3.7)284ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧµ 0 2 pm, следова4π x 3тельно, индукция магнитного поля, создаваемого первой катушкойµ pравна B1 x = 0 13x .2π x3µ p p∂ µ p = − 0 1 x4 2 x .Окончательно получим: Fx = p2 x 0 13x ∂x 2 π x x = L2 πLна оси точечного магнитного момента равно B =3 µ 0 p1 p2.2 πL4Замечание. Катушки притягиваются (Fx < 0), если p1x и p2химеют одинаковый знак (p1 ↑↑ p2) и отталкиваются (Fx > 0), еслиp1x и p2х имеют разные знаки (p1 ↑↓ p2) – ситуация, приведённая нарис.
9.6.Ответ: F = −Задача 9.3.8 (базовая задача). По длинному однослойному соленоиду с n витками на единицу длины течет ток I. Определитьдавление, действующее на боковую поверхность соленоида.РешениеКаждый из витков соленоида представляет собой кольцо с током, находящееся во внешнем однородном (если пренебречь краевыми эффектами) магнитном поле, перпендикулярном его плоскости, которое создаётсявсеми остальными виткамисоленоида(см.рис. 9.7). Согласно задаче Рис.9.7.
Силы, действующие на виток со9.3.6,пондеромоторные леноида со стороны его собственного магсилы F стремятся увели- нитного поля (задача 9.3.8)чить радиус соленоида.Найдем эти силы энергетическим методом.Пусть радиус соленоида увеличился на dR при неизменной силе тока. Тогда согласно (9.8′) работа сил давления на боковую по-285Гл. 9.
Энергия и силы в магнитостатикеверхность соленоида будет равна приращению его энергииδA = pdV = p 2πRldR = δWI = const,где V – объем соленоида, R – его радиус, l –длина. Энергия соленоида согласно (9.5) равна1 2 1LI = µ 0 n 2 πR 2 lI 2 ,22где использовано, что индуктивность соленоида L = µ0n2V (см. задачу 8.3.10 главы 8).Из этих соотношений находим величину давленияW=p=1 ∂W2 πRl ∂R=I( )µ 0n 2 I 2 ∂ 21 ∂ 1222µnπRlI=R = 02πRl ∂R 24 R ∂RI=µ0n2 I 2B2 ,=22µ 0где B = µ 0 nI – индукция магнитного поля на оси длинногосоленоида (см. задачу 7.3.5 главы 7).Ответ: p = µ0 n 2 I 2 2 .Замечание 1. Длинный соленоид разделяет все пространство надве области: внутри соленоида, в которой существует магнитноеполе с индукцией B = µ 0 nI (см. задачу 7.3.5 главы 7), и снаружисоленоида – где магнитное поле очень мало.Согласно (9.11) давление, оказываемое на боковую поверхностьсоленоида силами Ампера равноB 2 µ 0n 2 I 2.p = w1 − 0 ==2µ 02Замечание 2.
Наличие сил давления, действующих на боковуюповерхность соленоида, приводит к тому, что максимальное значение индукции магнитного поля, которое можно получить с помощью соленоидов, не превышает 50 Тл (для импульсного соленоида). При такой величине B на проволоку из бериллиевой бронзы, изкоторой изготавливаются импульсные соленоиды, оказывается давление равное p = B 2 ( 2µ 0 ) ≈ 2 ⋅ 109 Па , близкое к её пределу прочности.286ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧЗамечание 3. Вследствие взаимного притяжения витков соленоида на его торцевую поверхность будут действовать силы, стягивающие его.
Величину давления, действующего на торцевую поверхность соленоида можно определить аналогично решению данной задачи (см. задачу 9.4.7 для самостоятельного решения).Задачи типа 9.3Определение вращающего момента и сил, действующих на проводник с током и магнитный диполь в магнитном полеЗадача 9.3.9 (базовая задача). Квадратная рамка со сторонойа, изготовленная из тонкого проводника, расположена в однойплоскости с длинным прямым проводом, по которому течет ток I0.Определить внешнюю силу, которая удерживает рамку в равновесии, если по ней течёт ток I, а расстояние между проводом и ближней к нему стороной рамки равно 2а (рис.
9.8 а).Рис. 9.8 а. Взаимное расположение проводников с токами взадаче 9.3.9Рис.9.8 б. Определение силы, действующей нарамку со стороны магнитного поля прямогопровода (задача 9.3.9)РешениеСпособ 1. Согласно закону Ампера (9.1) на стороны рамки будут действовать разные силы со стороны магнитного поля прямогопровода с током I0.
Направим ось Х перпендикулярно проводу вплоскости рамки. Вектор магнитной индукции поля прямого провода В направлен перпендикулярно плоскости рамки, а его модульµ Iравен B = 0 (см. задачу 7.3.9 главы 7), где I – сила тока в прово2 πxде, а х – расстояние от него до рассматриваемой точки.287Гл. 9. Энергия и силы в магнитостатикеПолная сила, действующая на рамку со стороны магнитногополя, равна векторной сумме силF = FAB + FBC + FCD + FDA(рис. 9.8б). Так как на участках рамки BC и DA токи текут в разныестороны, а направление магнитного поля одинаково, то FBC = – FDAи сумма этих сил равна нулю.Определим силы, действующие на две других стороны рамки.Используя соотношение (9.1), для модуля сил имеем:µ0 I 0 I.4πµ I IFCD = Ia B x =3a = 0 0 .6πВекторы FАВ и FСD направлены противоположно и, следовательно, х-компонента результирующей силы, действующей на рамку со стороны магнитного поля, равнаFAB = Ia B x =2 a =µ0 I 0 I µ0 I 0 Iµ I I+=− 0 04π6π12πи направлена в сторону провода против оси Х.Для того, чтобы рамка находилась в равновесии, к ней должнабыть приложена внешняя сила F′, равная по величине и противопоµ I Iложная по направлению силе F, то есть Fx′ = 0 0 .12πСпособ 2.
При постоянстве токов, текущих в проводниках, согласно соотношению (9.8′)Fx = −δA = Fdx = δWI =const.Так как в рассматриваемой задаче токи, текущие в проводниках, не изменяются, то внешнюю силу, действующую на рамку,можно найти как∂WF =+.∂x I =constЭнергия магнитного поля, созданного двумя контурами с токами, согласно (9.6) складывается из собственных магнитных энергийконтуров и их взаимной энергии. Собственные магнитные энергииконтуров – постоянные величины.
От координаты х зависит толькоэнергия взаимодействия, поэтомуW(x) = Wвзаим= L12 ( x ) I 0 I ,288ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧгде L12 – коэффициент взаимной индукции системы «провод – рамка».Найдем взаимную индуктивность L12 контуров.Магнитный поток через рамку, создаваемый полем провода, равенx+aΦ = ∫ BdS =S∫xµ0 I 0µ I a x+aadx = 0 0 ln= L12 I 0 (см. главу 8).2πx2πxµ a x+aТогда L12 = 0 lnи2πxF=µ I Ia∂ µ 0 I 0 Ia x + a a=− 0 0. ln∂x 2 π x I =const2π x ( x + a )µ 0 I 0 Ia.12πТак как получившаяся величина отрицательна, искомая магнитная сила направлена против направления оси х, что соответствует притяжению рамки к проводу.µ I IОтвет: Fx′ = 0 0 .12πПри х = 2а F = −Задача 9.3.10.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
