Д.Ф. Киселев, А.С. Жукарев, С.А. Иванов и др. - Электричество и магнетизм. Методика решения задач (1115540), страница 47
Текст из файла (страница 47)
главу 4).Уравнения магнитостатики при наличии магнитных сред:дифференциальный вид:div B = 0,(10.2)rot H = j;(10.3)интегральный вид:∫ B dS = 0 ,(10.4)∫ Hdl = ∫ j dS = I ,(10.5)SLSгде j – вектор объёмной плотности тока проводимости, I – полныйток проводимости, пронизывающий произвольную поверхность S,опирающуюся на контур L.В магнитных средах вектор индукции В является вихревым,как и в вакууме, то есть всегда выполняется div B = 0. Вектор напряженности Н будет вихревым, если div M = 0, а в общем случаеГл. 10.
Магнетики в постоянном магнитном поле303он содержит как вихревую составляющую, обусловленную токамипроводимости, так и потенциальную.Граничные условия для нормальных (n) и тангенциальных (τ)компонентов магнитных векторов:B1n = B2n ,(10.6)H2τ – H1τ = i.(10.7)(10.7) в векторной форме:(10.7′)[n ( H2 – H1)] = i,где i – вектор поверхностной плотности тока проводимости на границе сред, n – единичный вектор нормали, направленный от среды 1 к среде 2.Если поверхностных токов проводимости нет, то тангенциальная компонента поля Н сохраняется(10.8)H1τ = H2τ.Во многих случаях намагниченность среды пропорциональнавеличине напряженности магнитного поля Н в ней, а ее магнитныесвойства не зависят от направления намагничивания. Для такой"линейной" и изотропной средыM = χH,(10.9)где коэффициент χ называется магнитной восприимчивостью.
Втаких средах В и Н также связаны линейноB = (1+χ)µ0H = µµ0H.(10.10)Величина µ = (1+χ) называется магнитной проницаемостью.Для диамагнетиков 0 < µ < 1 (χ < 0), для парамагнетиков µ > 1(χ > 0) и можно считать, что χ и µ постоянны (µ мало отличается отединицы).Формулы (10.9), (10.10) неприменимы к ферромагнетикам.Ферромагнитные тела разбиваются на малые по сравнению с размером самого тела области спонтанной намагниченности – домены,внутри которых локальная величина векторов намагниченности М0почти не зависит от наличия внешнего поля.
Намагничивание ферромагнетика внешним полем связано со смещением доменных границ и поворотом внутридоменных векторов намагниченности. Приэтом средняя намагниченность ферромагнитных тел, усредненнаяпо доменам, уже сильно зависит от внешнего поля, также же как и304ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧвеличина магнитной индукции, но эти зависимости M(H) и B(H)нелинейные и обладает гистерезисом (т.е. М и В зависят не толькоот Н, но и от предистории намагничивания). В связи с этим магнитная проницаемость ферромагнетиков, если ее определить форB( H ), не будет константой, а также явмально по (10.10) как µ =µ0Hляется нелинейной гистерезисной функцией µ(H) и может менятьсяв широких пределах от 103-105(в малых полях порядка 0 < Н < М0)до µ → 1 (в сильных полях H >> M0).Свойства вектора напряженности магнитного поля НВ магнитной среде вектор Н является суммой двух различныхпо физическому смыслу слагаемых В и М и поэтому носит вспомогательный характер.
В математическом отношении использованиевекторного поля H во многих случаях упрощает расчеты магнитных полей в магнетиках.В "линейных" магнитных средах, подчиняющихся (10.9),(10.10), векторное поле H(r) по своим свойствам аналогично вихревому полю магнитной индукции B(r).
При этом само поле H(r)определяется только токами проводимости, линии поля Н замкнуты, и в областях, где нет токов проводимости, они непрерывны и независят от присутствия магнитной среды (если эта среда бесконечна или границы имеющихся разных сред совпадают с линиями поля Н0 этих же токов в вакууме).В таких случаях для нахождения поля H в магнетиках можноиспользовать все формулы, относящиеся к расчету поля магнитнойиндукции B в вакууме (глава 7), если только убрать из этих формулразмерный множитель µ0. Именно в таких ситуациях использование поля Н при решении задач наиболее результативно.В остальных случаях поле H, помимо вихревой, может иметь ипотенциальную компоненту, у которой div H ≠ 0. Так будет, например, если границы разных магнитных сред не совпадают с линиями внешнего поля Н0, как они были в вакууме в отсутствиемагнетиков (например, см.
далее задачу 10.3.5), а также при наличии постоянных магнитов.Краевая магнитостатическая задача: дифференциальныеуравнения (10.2)-(10.3) вместе с граничными условиями (10.6)(10.7) и материальным уравнением (10.9) или (10.10) полностьюопределяют задачу нахождения полей и намагниченности. ОбщиеГл. 10. Магнетики в постоянном магнитном поле305методы нахождения решений таких задач и доказательство их единственности рассматриваются в соответствующих разделах математической физики.В курсе общей физики рассматриваются относительно простыезадачи с элементами симметрии, которые позволяют не решатьдифференциальные уравнения, а сразу использовать интегральныесоотношения (10.4) - (10.5) и применять простые наглядные методырешения, основанные на 1) модели молекулярных токов и 2) модели "магнитных зарядов"Метод молекулярных токовМагнитное поле, создаваемое намагниченным веществом,можно описать введением макроскопических "молекулярных токов", отличных от тока проводимости [1, §38].
Вектор объёмнойплотности молекулярных токов j′ определяется соотношением:(10.11)j′ = rot M.Сила молекулярного тока I' через произвольную поверхность S,опирающуюся на контур L, определяется интегральным соотношением, следующим из (10.11)∫∫I ′ = j′dS = M dl ,S(10.12)LВ отличие от тока проводимости, молекулярный ток через полную площадь любого сечения намагниченного тела равен нулю.Поле магнитной индукции В′(r), создаваемое намагниченнымвеществом, эквивалентно полю, создаваемому молекулярными токами j′(r) в вакууме.
При этом полный вектор магнитной индукции Вопределяется эффективной плотностью тока jΣ, равного сумме плотности токов проводимости и молекулярных токовjΣ = j + j′.С введением молекулярных токов дифференциальное и интегральное уравнения магнитостатики (10.3), (10.5) можно записать в видеrot B = µ0 jΣ,(10.13)∫ B dl = µ ∫ jΣ0LdS = µ 0 I Σ ,(10.14)Sгде IΣ = I + I' – величина эффективного тока через поверхность S,опирающуюся на контур L.В однородных изотропных магнитных средах (где µ и χ не зависят от координат) плотность молекулярных токов пропорцио-306ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ.
МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧнальна плотности токов проводимости:j′ = rot M = χ rot Н = χ j.(10.15)В областях, где токов проводимости нет (j = 0), объемные молекулярные токи также отсутствуют, но поверхностные молекулярные токи могут присутствовать на границах раздела сред, если наних имеется скачок тангенциальной составляющей вектора М.Граничное условие для вектора намагниченности следует из(10.12) и имеет вид:(10.16)M2τ – M1τ = i′или, в векторной форме,[n (М2 – М1)] = i′,(10.16′)где i′ – вектор поверхностной плотности молекулярных токов награнице, n – единичный вектор нормали, направленный от среды 1к среде 2.Метод "магнитных зарядов" или скалярного потенциалаДанный метод [1, §38] удобен при рассмотрении задач, в которых нет токов проводимости (например, случай постоянных магнитов или непроводящих магнитных сред).Введем вспомогательную функциюρм (r) = – div M.(10.17)Тогда при отсутствии токов проводимости (j = 0) уравнениямагнитостатики (10.2), (10.3) можно переписать в видеdiv H = ρм,rot H = 0.Данные уравнения идентичны уравнениям электростатикиρ,rot E = 0,ε0то есть ρм(r) формально играет роль объемной плотности "магнитных зарядов", которые являются источниками потенциальногополя Н и по своей роли эквивалентны плотности электрических зарядов (точнее, величине ρ/ε0) в электростатике.В однородно намагниченных средах ρм = 0, но на границахсред могут быть поверхностные "магнитные заряды", величина которых, как следует из (10.17), равнаσм = – (M2n – M1n) = – (n (M2 – M1)),(10.18)где, как и выше, вектор нормали n направлен от первой среды коdiv E =Гл.
10. Магнетики в постоянном магнитном поле307второй.В связи с этой аналогией для нахождения магнитостатическогополя можно использовать известные методы и готовые решения,полученные для электростатических задач, а затем произвестиформальные заменыPρσ→ M,→ ρм,→ σм.(10.19)Е→ Н,ε0ε0ε0В частности, для скалярного "магнитного потенциала" ψ, вводимого соотношениемH = –∇ψ,получается уравнение Пуассона∇2ψ = –ρм,а его решение при заданном распределении плотности "магнитныхзарядов" имеет вид, аналогичный решению для электростатического потенциала (глава 2, (2.5)):1 ρ м (r ′)ψ (r ) =dV ′ .(10.20)4π r − r′∫Напряженность магнитного поля на расстоянии r от точечного"магнитного заряда" qм определяется таким же соотношением, каки для электростатического поля точечного электрического заряда1 qм r,(10.21)H=4π r 2 rа сила, действующая на точечный "магнитный заряд"F = qм µ0H.(10.22)Энергия при наличии магнитных сред.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
