Д.Ф. Киселев, А.С. Жукарев, С.А. Иванов и др. - Электричество и магнетизм. Методика решения задач (1115540), страница 49
Текст из файла (страница 49)
Поэтому суммарный молекулярный ток, существенный для расчета поля вне провода, равен I′ = (µ2 –1)I, то есть определяется только внешней средой и не зависит от магнитной проницаемости самого провода.Гл. 10. Магнетики в постоянном магнитном поле315Задача 10.3.4. По проводящей бесконечной плоскости течетпостоянный ток с поверхностной плотностью i (рис. 10.4). С однойстороны к плоскости прилегает бесконечная пластина конечнойтолщины из материала с магнитной проницаемостью µ. Найти вовсем пространстве магнитную индукцию В, напряженность Н, намагниченность М и молекулярные токи.РешениеПусть ток проводимости течетВ1H1iпо направлению от нас в плосi′кость рисунка. В отсутствие магH2нетика векторы индукции в силуВ2 µсимметрии были бы равны по мо-i′дулю, параллельны плоскости и-H1-В1противоположно направлены по ееразным сторонам (B1 и –В1 на Рис. 10.4.
К расчету магнитного полярис. 10.4). Величина индукции со- в пластине из магнетика, прилегающей к плоскости с током (задача1ставляет B1 = µ0i (глава 7, зада- 10.3.4)2B1ча 7.3.7), а напряженность магнитного поля H1 = 1 = i . Поµ0 2скольку полный молекулярный ток через поперечное сечение пластины равен нулю, то добавление пластины магнетика не меняетвышеуказанных значений магнитного поля снаружи от нее.Внутри магнитного слоя напряженность поля H2 = H1 (следствие сохранения тангенциальной компоненты вектора Н на границе),а индукция1B2 = µ0µH2 = µ0µ i.21Согласно (10.9, 10.10), намагниченность M = (µ – 1)H1 = (µ – 1)i.2Поскольку намагниченность однородна, объемные молекулярныетоки отсутствуют, и имеются только поверхностные молекулярныетоки, противоположно направленные на верхней и нижней поверх1ности, с плотностью i′ = M = (µ – 1)i.2Ответ: Направления векторов магнитного поля и токов пока-316ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ.
МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧзаны на рис. 10.4.1Снаружи пластины: B1 = µ0i; H1 =21Внутри пластины: B2 = µ0µ i, H2 =21i;211i, M = i′ = (µ – 1)i.22Задача 10.3.5 (базовая задача). Прямой тонкий бесконечнодлинный провод малого радиуса а, по которому течет ток I, лежитна поверхности плоского непроводящего однородного магнетика смагнитной проницаемостью µ, занимающего половину пространства (рис.10.5а). Найти намагниченность М, магнитную индукцию В,напряженность Н и молекулярные токи во всем пространстве.РешениеВ данной задаче граница магнетика не совпадает с круговымилиниями поля Н0 от линейного тока I в вакууме, поэтому поле Н небудет совпадать с Н0.
Путь решения задачи – найти распределениемолекулярных токов и на основании его выразить поле индукции В.В силу однородности среды и отсутствия в ней токов проводимости объемные молекулярные токи отсутствуют (10.15). Рассмотрим распределение поверхностных молекулярных токов.Возьмем произвольный участок поверхности, не прилегающийк проводу (окрестность точки А на рис.10.5а). Протекающий по нему поверхностный молекулярный ток i′ создал бы у поверхностиэтого участка только тангенциальные компоненты индукции1Bt1,2 = ± µ 0i′ (см.
глава 7, задача 7.3.7). Молекулярные токи, теку2щие на всей остальной поверхности магнетика, и ток проводимости, текущий по проводу, в окрестности точки А могут создатьтолько нормальные компоненты поля В.На поверхности магнетика токов проводимости нет, поэтомутангенциальные компоненты поля Н на границе должны быть неBBпрерывны. Учитывая, что H1t = 1t и H 2 t = 2 t , это граничноеµ0µ0µусловие дает11i ′ = − i′ ,22µ317Гл. 10.
Магнетики в постоянном магнитном полеоткуда следует i′ = 0, то есть поверхностные молекулярные токи наплоской границе отсутствуют.IBµI′BAH1IΣ = I+I′H2абIµвРис. 10.5. К нахождению магнитного поля от провода с током, лежащего награнице плоского полубесконечного магнетика (задача 10.3.5):а – распределение молекулярного тока I' и линии поля В. I – ток проводимости;б – эквивалентная задача о магнитном поле В прямолинейного тока в вакууме; в – линии поля ННа границе самого провода с магнитной средой (r = a) имеетсяскачок тангенциальной компоненты намагниченности, вызывающий молекулярный ток с поверхностной плотностью i′ = M(а) иполной величины I′ = i′⋅πа, который добавляется к току проводимости I, образуя с ним суммарный эффективный линейный токIΣ = I + I ′.Ввиду тонкости провода эффективный ток также можно считать линейным.
Поэтому, заменяя поле, создаваемое магнитнойсредой, полем молекулярных токов, приходим к задаче о находящемся в вакууме линейном тонком бесконечном проводе с эффективным током IΣ (рис. 10.5б). Линии магнитной индукции вокругнего B будут окружностями, а величина В в зависимости от расстояния до провода r определяется из (10.14):B1 (r) = B2(r) = B (r) = µ 0 I Σ .2π rПоскольку В = µµ0Н и М = χН, линии полей Н и М также будут окружностями. Отметим, что все это справедливо на расстояниях от провода, много больших его радиуса а, когда несимметричность распределения молекулярных токов около провода становится несущественной.Ввиду того, что эффективный ток IΣ пока не известен, для нахождения величины полей В(r) и Н(r) запишем теорему (10.5) о318ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧциркуляции вектора Н, выбрав в качестве контура окружность радиуса r:πrH1 + πrH2 = I.BBПодставляя H 1 =и H2 =, получаемµ0µµ0 BB = I,πr + µ 0 µ 0µ откуда следуетµ IB( r ) = µ 0,µ + 1 πrµ I1 I,H 2 (r ) =,µ + 1 πrµ + 1 πrµ −1 Iµ −1 I, i′ = M ( a ) =,M ( r ) = (µ − 1) H 2 =µ + 1 πaµ +1 π rH1 ( r ) =где а – радиус провода.
Линии поля Н показаны на рис. 10.5в. Полный молекулярный ток на границе провода с магнетиком, представляющей в сечении полуокружность длины πа, равенµ −1.I' = πa ⋅i′ (а) = πa ⋅M(a) = Iµ +1µ Iµ −1 IОтвет: M ( r ) =B( r ) = µ0,,µ + 1 πrµ +1 πrH1 ( r ) =µ I1 Iµ −1, H 2 (r ) =, I' = I.µ + 1 πrµ + 1 πrµ +1Замечание. Векторное поле Н не является чисто вихревым, иего линии терпят разрыв на границе магнетика.Задача 10.3.6. Длинный по сравнению со своим радиусом соленоид заполнен неоднородным парамагнетиком с восприимчивостью, зависящей от расстояния r от по закону χ(r) = ar2, гдеа = const. На оси соленоида индукция магнитного поля равна В0.Найти намагниченность M(r), магнитную индукцию B(r) иплотность объемных j'(r) и поверхностных i' молекулярных токоввнутри соленоида.
Краевыми эффектами пренебречь.РешениеВведем правую систему декартовых координат xyz с осью Z,совпадающей с осью соленоида. В вакууме в соленоиде с длиной,319Гл. 10. Магнетики в постоянном магнитном полемного большей его радиуса, линии напряженности магнитного поляН0 параллельны его оси, а значит и величина поля Н0 в соленоидевезде одинакова (кроме области вблизи его концов). Поскольку линии поля Н0 параллельны поверхностям постоянства величиныµ(r) = const, поле Н при введении магнетика останется без изменения, и в данном случае его величина определяется заданным по условию значением в центреBBH = Hz = 0 = 0 ,µµ 0 µ 0так как в центре µ(0) = 1. Исходя из известного значения Н, с помощью (10.9), (10.10) получаемBM(r) = Mz(r) = χ(r)H = ar2H = ar2 0 ,µ02B(r) = µ0(1+χ)H = (1+ar ) B0 .xxi'lj'rza)yj'Mzб)Рис.
10. 6. К расчету магнитного поля соленоида, заполненного неоднородным магнетиком (задача 10.3.6).а – вид с торца соленоида: линии объемных (j') и поверхностных (i') молекулярных токов;б – центральное осевое сечение соленоида: линии намагниченности М.Чтобы найти молекулярные токи, можно воспользоваться интегральным соотношением (10.12) о циркуляции вектора М.В силу осевой симметрии задачи линии молекулярных токов j'являются окружностями, лежащими в перпендикулярных сеченияхсоленоида (рис.10.6а). Рассмотрим в плоскости xz прямоугольныйконтур длины l и высоты r, одна сторона которого совпадает с осевой линией (r = 0) (пунктир на рис.10.6б). Выберем направлениеобхода так, чтобы положительная нормаль к контуру совпадала снаправлением орта eϕ цилиндрической системы координат.
Циркуляция вектора М по данному контуру равна320ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧB,µ0Приравнивая циркуляцию вектора М молекулярному току I' через данный контур (10.12), получаем соотношение{M(0) – M(r)}l = –ar2 lrB0∫ j′ ldr = −ar l µ20.0Дифференцируя его по r, получаемB0.µ0Разумеется, j'(r) можно найти и непосредственно из дифференциального соотношения (10.11) j' = rot M, исходя из найденноговыше выражения для M(r).
Учитывая, что намагниченность имееттолько z-компоненту, в цилиндрических координатах ротор будетиметь ϕ-компоненту, равную∂M r ∂M z∂M zBj ′ = jϕ′ = ( rot M ) ϕ =−=−= –2ar 0 .∂z∂r∂rµ0На границе магнитной среды (r = R) плотность поверхностногоBмолекулярного тока найдем из (10.16): i' = i'ϕ = M(R) = aR2 0 .µ0j'(r) = –2arНаправление линий молекулярных токов j' и i' показано нарис. 10.6.BBОтвет: M(r) = ar2 0 , B(r) = (1+ar2) B0 , j'(r) = –2ar 0 ,µ0µ0Bi' = R2 0 .µ0Задача 10.3.7. Найти индуктивность соленоида длины l и радиуса a (l >> a), содержащего N витков, если он заполнен парамагнетиком с неоднородной магнитной проницаемостью µ(r) = 1 + αr,где r – расстояние от оси соленоида, α = const.РешениеПоскольку линии поля внутри пустого соленоида Н0 параллельны поверхностям постоянства величины µ(r), поле Н при введении магнетика останется без изменения и будет, как и в вакууме,Гл.
10. Магнетики в постоянном магнитном поле321равно H = nI, где n = N / l – плотность намотки, а магнитная индукцияB(r) = µ0µ(r) H = µ0(1 + αr)nI.Магнитный поток через один виток контура равен потоку черезпоперечное сечение S соленоида:a 2α Ф1 = ∫ B ( r )dS = ∫ µ 0 nI (1 + αr ) ⋅ 2π rdr = µ 0 nI πa 2 1 +a .30SПолный поток через всю обмотку Ф = NФ1 = LI, откудаL = µ0N 2 2 2α 2α ,πa 1 +a = µ 0n 2 V 1 +al3 3 где V – объем соленоида.Ответ: L = µ 0 n 2 V 1 +2α a .3 Замечание. Если µ = 1 (α = 0), то получается известная формула для индуктивности соленоида в вакууме L = µ 0 n 2 V (Глава 8, задача 8.3.10).Задачи типа 10.3Применение метода молекулярных токов и магнитных зарядов прирасчете магнитного поля систем с постоянными магнитамиМетод молекулярных токов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
