Д.Ф. Киселев, А.С. Жукарев, С.А. Иванов и др. - Электричество и магнетизм. Методика решения задач (1115540), страница 52
Текст из файла (страница 52)
В длинный соленоид вставлен по его оси тонкий по сравнению с радиусом соленоида парамагнитный стерженьрадиуса а с магнитной проницаемостью µ. Один конец стержня находится в середине соленоида, второй совпадает с его торцом. Найти силу, действующую на стержень, если в центре соленоида магнитная индукция равна В0.РешениеВведем декартову систему координат с осью Z, направленнойпо оси соленоида. Пусть стержень расположен в положительнойГл. 10. Магнетики в постоянном магнитном поле335части оси Z. В длинном соленоиде на его оси индукция магнитного1поля меняется от В0 в середине до величины В1 = В0 в центре2торца (глава 7, задача 7.3.5, замечание 2).
Поскольку вектор индукции направлен вдоль оси соленоида Z и все величины зависят только от координаты z, то согласно (10.27) объемная плотность сил,действующих в стержнеf = ( M∇ ) B = MdBµ − 1 dBµ − 1 dB 2ez =Bez =ez .dzµµ 0 dz2µµ 0 dzДифференциал величины силы, действующей на элемент объема dV, равенdF = f dV =µ − 1 dB 2µ −1⋅ Sdz = Sd (B2 ) .2µµ 0 dz2µµ 0Проекцию вектора силы на ось Z находим, интегрируя в преде1лах от В0 до В1= В0.2B1F=Sµ −1µ −1 23 µ −1 2( B1 − B02 ) = − Sd (B2 ) = SB0 .∫2µµ 0 B2µµ 08 µµ 00Знак минус означает, что сила направлена против оси Z, то естьстремится втянуть парамагнитный стержень в центр соленоида.3 µ −1 2B0 e z .Ответ: F = − S8 µµ 0Задача 10.3.18.
Найти силу притяжения двух половинок тонкого тора среднего радиуса R, имеющего квадратное поперечноесечение площади S (R >> S ), сделанного из материала с большоймагнитной проницаемостью µ (µ >> 1). На торе намотано N витковпровода, по которому идет ток I.РешениеСилы в данной задаче можно найти несколькими способами. Используем здесь энергетический метод (глава 9, (9.8))δA = δWI = const.Раздвинем половинки тора на расстояние x, малое по сравне-336ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧнию с размером поперечного сечения(рис.
10.13). Учитывая, что элементарIная работа при малом раздвижении поµловинок δA = Fdx, и выражая энергиюx1через индуктивность контура W = LI 2,µ2получаем∂W1 ∂LF== I2.Рис. 10.13. К расчету силы∂x I = const 2 ∂xпритяжения половинок кругНайдем зависимость индуктивности лого электромагнита (задачаконтура L от х. Поскольку µ велико 10.3.18)(µ >> 1), будем считать, что магнитноеполе сконцентрировано внутри тора, силовые линии полей магнитной индукции В и напряженности Н являются окружностями, и онине искажаются при пересечении тонкого зазора. Ввиду малой толщины тора пренебрежем также зависимостью полей от радиуса.Пусть Н1 – напряженность магнитного поля в нижней половине, Н2 – в верхней, Н3 – в зазоре. Запишем закон о циркуляции вектора Н (10.5) для окружности радиуса R, учитывая, что ее поверхность пересекают N витков с током I:πR Н1 + πR Н2 + 2xH3= NI.Поскольку зазор тонкий и нормальная компонента индукции Вnнепрерывна на границах зазора, модуль вектора В будет одинаковвезде, как в торе, так и в зазоре.
Подставляя в последнее соотношение следующие выражения полей Н1-3 через ВBBH1 = H 2 =, H3 =µµ 0µ0и решая получившееся для В уравнение, находимB( x ) = µ 0NIπR12 2x+µ πR.Учитывая, что полный поток магнитной индукции через обмоткуФ = NSB = LI,находим индуктивность L контура337Гл. 10. Магнетики в постоянном магнитном полеL( x ) = µ 0 SN21.2πR + 2 xµ πRОтсюда получаем2I 2 ∂LI2 N .F ( x) == −µ 0 S 22 ∂x πR 2 2 x + µ πR Когда половинки тора полностью прижаты (х = 0), сила будетравна222 N I µN 2F (0) = −µ 0 S = −µ 0 S I .2 πR 2 2 πR µОтрицательный знак силы означает, что она направлена противувеличения расстояния х, то есть вызывает взаимное притяжениеполовинок тора.2 µN 2Ответ: F = µ 0 S I . 2 πR Замечание.
Силу притяжения можно легко найти и как притяжение "магнитных зарядов", образующихся на границах зазоров,как было рассмотрено в задаче 10.3.11. Используя полученное тамвыражение для силы и найденную здесь величину поля В, а такжеучитывая наличие двух зазоров, получаем222 µ −1 µ −1 N I21 F = 2 Sµ0М 2 = Sµ0 B = µ 0 S .22 µ πR 2 2 x µµ 0 + µ πR В использованном приближении (µ >> 1, (µ − 1) µ → 1 ) это выражение совпадает с приведенным выше.Задача 10.3.19. Найти период малых горизонтальных крутильных колебаний стрелки компаса вокруг вертикальной оси, перпендикулярной бесконечному горизонтальному проводу с током I.стрелка расположена над проводом на расстоянии h от него338ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ(рис.
10.14а). Стрелку считать тонким цилиндром длины 2l с однородной продольной постоянной намагниченностью M и плотностью ρ.РешениеzВ положении равновесияSNстрелка установится перпенyдикулярно проводу, поскольку линии поля В являютсяIxа)концентрическими окружностями, плоскость которыхBперпендикулярна направлеzllнию тока.–qм+qмНа торцах цилиндричеMα hF1 rF2ской стрелки нормальная×Ixкомпонента намагниченностиимеет разрыв, из-за чего наних появятся поверхностныеб)"магнитные заряды" протиF2воположного знака с плотноϕстью (10.18) σм = ±М, а полxная величина "заряда" на каF1ждом торце будет qм = ±σS,в)Iгде S – площадь основанияцилиндра.Рис. 10.14.
К нахождению периодаВвиду тонкости цилиндколебаний стрелки компаса над прора-стрелки можно считать,водом с током (Задача 10.3.19).а) общий вид б) вид вдоль проводачто магнитное поле, создав) вид сверхуваемое проводом, на поверхности торца стрелки однородно и имеет индукциюµ I µ IB(r) = 0 = 0 cos α ,2 πr 2 πhгде α – угол между осью Z и перпендикуляром, опущенным из торца на ось провода (рис. 10.14б).Силы со стороны магнитного поля будут приложены к торцамстрелки, направлены по касательным к силовой линии (пунктир нарис.
10.15б) и равны F1,2 = F = B(r) qм.Для расчета момента этих сил относительно оси Z требуется ихГл. 10. Магнетики в постоянном магнитном поле339х-компонентаFx = F cosα = ±µ Iqµ0 Ih2qм cos2α = ± 0 м 2 2 ,2πh h + l ′2 πhгде l' = l cosϕ – проекция половины стрелки на ось х.При отклонении стрелки от положения равновесия на угол ϕвозникает возвращающий момент магнитных силNz = –2l Fx sinϕ(рис. 10.14в).
В приближении малых колебаний (ϕ << 1, l ≈ l' ) момент этих сил будет пропорционален углу ϕ и равенµ IqhlN z = − 0 м 2 2 ϕ = − Dϕ ,π h +lгде через D обозначен данный коэффициент пропорциональности.Уравнение малых колебаний стрелки имеет вид..J ϕ = − Dϕ ,12m( 2l ) 2 = ρSl 3 – момент инерции тонкого цилиндра123длины 2l относительно оси, проходящей через его центр. Для круговой частоты колебаний получаемD 3µ IM1ω2 = = 0.2J2πρhl1+ h3 µ IM1Ответ: ω2 = 0.22πρhl1+ hгде J =Замечание.
При малом размере магнитной стрелки по сравнению с расстоянием до провода (l << h) можно использовать дипольное приближение. Дипольный момент стрелки-цилиндра равенpm = MV = 2MSl, а действующий на него вращающий моментµ INz = [pmB]z = – pmB sinϕ, где B = 0 . Подставляя эти выражения в2 πh3µ IMуравнение колебаний, получаем ω2 = 0, что совпадает с най2πρh340ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧденным выше ответом приl→ 0.h§ 10.4. Задачи для самостоятельного решенияЗадача 10.4.1. Бесконечная плоская пластина-магнит намагничена так, что вектор намагниченности М перпендикулярен ее плоскости. Найти магнитную индукцию В и напряженность поля Нвнутри и вне пластины.Ответ: внутри В = 0, Н = –М; снаружи В = 0, Н = 0.Задача 10.4.2. Бесконечная плоская пластина-магнит намагничена так, что вектор намагниченности М параллелен ее плоскости.Найти магнитную индукцию В и напряженность поля Н внутри ивне пластины.Ответ: внутри В = µ0М, Н = 0; снаружи В = 0, Н = 0.Задача 10.4.3.
Плоский постоянный магнит граничит с вакуумом и имеет постоянную намагниченность М, параллельную поверхности. Снаружи у поверхности вектор магнитной индукцииимеет величину В и образует угол α с нормалью к поверхности.Найти вектор магнитной индукции В1 внутри магнита (модуль иугол β с нормалью).sin α + µ 0 M / BОтвет: B1 = B 2 + 2µ 0 MB sin α + (µ 0 M ) 2 , tg β =.cos αЗадача 10.4.4. По бесконечному проводу круглого сечения радиуса a, находящемуся в вакууме, течет постоянный ток I.
Магнитrная проницаемость материала провода равна µ(r) = 1 + α . Найтиaнапряженность поля Н(r), магнитную индукцию В(r), намагниченность М(r), объемную j'(r) и поверхностную i' плотность молекулярных токов и полную величину этих токов I'об и I'.Ответ:IIr < a:H1 (r) =r , В1(r) = µ 0µ( r )r,22 πa2 πa 2Гл. 10. Магнетики в постоянном магнитном полеМ1(r) = αr ≥ a:H 2 (r ) =Ir;2πa 3I,2πr3Iα 3 r;2 πaIB2 ( r ) = µ 0, М1(r) = 0;2 πr341j'1 =j'2 = 0,I, I' = – I'об = αI.2 πa 2Указание. Для нахождения молекулярных токов можно рассчитать rot M в декартовых координатах, либо использовать выражениеротора в цилиндрических координатах, в которых, учитывая, чтовектор М имеет только круговую ϕ - компоненту:1 ∂1 ∂M rj' = (rot M)z =( rM ϕ ) −.r ∂rr ∂ϕДругим способом является использование интегрального соотношения (10.12), как это было сделано в задаче 10.3.6.r = a:i' = αЗадача 10.4.5.
Круговой тонкий виток, в котором течет ток силы I, лежит на плоской границе раздела вакуума и магнетика с магнитной проницаемостью µ. Найти индукцию магнитного поля наоси контура в зависимости от расстояния z от его центра.Указание: см. решение задачи 10.3.5.2µ1R2B0 , где B0 = µ 0 I 2– магнитная1+ µ2( R + z 2 )3/2индукция в отсутствие магнетика.Ответ: B =Задача 10.4.6. Диск радиуса R из ферромагнетика (µ >> 1) помещен в магнитное поле с вектором индукции В0, параллельнымего оси.
Оценить, при какой толщине l диска индукция в центредиска будет отличаться от В0 не более, чем на величину ∆В = ηВ0,η = 0,01.Указание: считая в первом приближении, что внутри дискаВ = В0, найти поправку ∆В как вклад от поверхностного молекулярного тока, текущего по боковой поверхности диска (см. рис. 10.10).Ответ: l ≤ η2µR.µ −1342ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ.
МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧЗадача 10.4.7. Шар радиуса R имеет однородную "замороженную" намагниченность с вектором намагниченности М (рис. 10.11).Найти: магнитную индукцию В и напряженность магнитногополя Н в центре шара. Решить методом молекулярных токов и методом "магнитных зарядов".12Ответ: H = − M, B = µ 0 M .33Задача 10.4.8. В однородное магнитное поле с вектором индукции В0 поместили однородный шар из магнетика с магнитнойпроницаемостью µ. Найти напряженность Н, индукцию В магнитного поля и намагниченность М внутри шара.Указание. См.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
