Д.Ф. Киселев, А.С. Жукарев, С.А. Иванов и др. - Электричество и магнетизм. Методика решения задач (1115540), страница 54
Текст из файла (страница 54)
МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ2) Токи смещения малы по сравнению с токами проводимости1,ω <<ρεε0где ρ – удельное сопротивление среды, в которой распространяетсяток, ε – её диэлектрическая проницаемость. Для металлическихпроводников это условие заведомо хорошо выполняется при выполнении условия 1 ( ω << 1018 c −1 [1, §48]).Предположение о квазистационарности токов позволяет прианализе процессов, происходящих в цепи, использовать те же методы, что и в цепях постоянного тока (подробнее см. главу 6).Рассмотрим взаимосвязь между током и напряжениями на отдельных участках цепи (резистор, конденсатор, индуктивность, которые рассматриваются как элементы с сосредоточенными параметрами).Резистор:UR = R IR.(11.1)UR – напряжение на резисторе; IR – ток, протекающий через этот резистор; R – величина сопротивления резистора.Конденсатор:QdU CUC = , IC = C.(11.2)CdtUC – напряжение на конденсаторе; IС – ток, протекающий черезконденсатор; Q – заряд конденсатора, С – емкость конденсатора.Из соотношений (11.2) следует:U C = U C ( 0) +1Ct∫IC dt,(11.3)0где UС (0) – напряжение на конденсаторе в момент времени t = 0.Замечания1) Выбор момента времени t = 0 является, вообще говоря, произвольным.
За этот момент времени удобно выбрать тот момент, когда происходит скачкообразное изменение одного из параметровцепи.2) Напряжение и заряд на конденсаторе всегда является непрерывной функцией времени, даже в тех случаях, когда ток IС испытывает очень быстрое («скачкообразные») изменения.
Это связано сГл. 11. Переходные процессы в RL, RC и RLC-цепях.349тем, что никакая система не может изменять свою энергию мгновенно.Индуктивность:dIUL = L L .(11.4)dtUL –напряжение на катушке индуктивности, IL – ток, протекающийчерез катушку; L – индуктивность катушки. Напряжение на катушке индуктивности UL равно взятой с обратным знаком ЭДС самоиндукции, возникающей в катушке. Поэтому можно либо учитыватьнапряжение на катушке индуктивности в сумме с другими напряжениями в контуре, либо включить этот элемент в состав ЭДС, действующих в контуре.
Из соотношения (11.4) следует:t1U L dt .(11.5)L ∫0где IL(0) – сила тока через катушку в момент времени t = 0.Реальная катушка наряду с индуктивностью L, обладает такжеомическим (активным) сопротивлением r, и напряжение UrL на нейравноdIU rL = rI L + L L .(11.6)dtЗамечание.
Ток, протекающий через катушку индуктивности,всегда является непрерывной функцией времени, даже в тех случаях, когда напряжение UL испытывает очень быстрые («скачкообразные») изменения. Как и конденсатор, катушка индуктивности неможет изменять свою энергию мгновенно.Генератор напряжения – устройство, напряжение на выходекоторого E(t) не зависит от величины тока, протекающего через этотгенератор. Внутреннее сопротивление такого генератора принимается равным нулю, а в реальности – это источник ЭДС с внутренним сопротивлением, много меньшим сопротивления внешней цепи.Генератор тока – устройство, которое обеспечивает силу токав цепи I(t), не зависящую от напряжений на элементах этой цепи.Такой генератор имеет бесконечное внутреннее сопротивление, а вреальности – это источник ЭДС с внутренним сопротивлением,значительно превышающим сопротивление внешней цепи.Правила Кирхгофа (более подробно см. §6.1 главы 6)I L = I L (0) +350ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ.
МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧПравило I. Для каждого узла цепи алгебраическая сумма силтоков равна нулю:∑ Ii = 0 .(11.7)iПри суммировании знак входящего тока (обычно "+") принимается противоположным знаку выходящего ("–").Правило II. При обходе любого замкнутого контура, выбранного в разветвленной цепи, алгебраическая сумма напряжений наэлементах цепи (резисторе, конденсаторе, катушке индуктивности)равна алгебраической сумме ЭДС, входящих в данный контур:∑U i = ∑ E j .i(11.8)jДля использования данных формул сначала нужно выбрать направления токов в каждой ветви цепи, что можно сделать произвольным образом (истинные направления токов определяются познакам полученных решений).
Как и для резисторов, напряженияна конденсаторах и катушках индуктивности понимаются как разность потенциалов на их концах в выбранном направлении протекания тока.Записывая правила Кирхгофа (11.7) и (11.8) с учётом выраженийдля напряжений на элементах цепи – резисторе, конденсаторе и катушке индуктивности (11.1) – (11.6), приходим к системе дифференциальных уравнений. Из этой системы можно получить одноуравнение цепи – дифференциальное уравнение, которое (в неявном виде) описывает изменение во времени одной изучаемой величины Х (тока, напряжения, заряда).
Решение этого уравнения даётзависимость от времени Х(t) в явном виде. В механике аналогамиуравнения цепи и его решения являются уравнение движения и закон движения соответственно.Установившееся значение исследуемой величины X∞ – значение изучаемой величины Х (тока, напряжения, заряда: X = I, U, Q)при t → ∞, т.е. после окончания всех переходных процессов.Начальные условия X(0), X ′(0) – такие значения исследуемойвеличины X(t) и её производной по времени X ′(t), которые они имеют сразу после “скачка” (изменения параметров цепи), которыйпроизошёл при t = 0.X(0) = X(t = 0),X ′(0) = X ′(t = 0).Гл. 11.
Переходные процессы в RL, RC и RLC-цепях.351RC- и RL-цепиЕсли цепь состоит из резисторов и конденсаторов (RC-цепь)или из резисторов и катушек индуктивности (RL-цепь), то в неймогут происходить только релаксационные непериодические процессы. В зависимости от сложности цепи, уравнение цепи можетбыть любого порядка, начиная с первого.В курсе общей физики рассматриваются только такие цепи, вкоторых уравнение цепи является дифференциальным уравнениемлибо первого, либо второго порядка.Уравнение цепи первого порядкаВ этом случае уравнение цепи можно записать в виде:dX 1+ [X − X ∞ ] = 0 .dt τРешение такого уравнения имеет следующий видX (t ) = X ∞ + Ae −t τ ,(11.9)где А –- константа, определяемая из начального условия Х(0). Таккак X (0) = X ∞ + A , решение уравнения (11.9) окончательно можнозаписать следующим образом:X ( t ) = X ∞ − [ X ∞ − X ( 0) ] e − t τ .(11.10)Например, если в качестве исследуемой величины выбрана сила тока в цепи, то уравнение цепи имеет видdI 1+ [I − I ∞ ] = 0 ,dt τа его решениеI (t ) = I ∞ − [I ∞ − I (0)] e −t τ .Величина τ, входящая в уравнение (11.9) и в его решение(11.10) определяет время, за которое величина X (t ) − X ∞ уменьшается в e раз.
Эта величина называется временем релаксации.Она является одной из основных характеристик цепи, определяетсятолько параметрами цепи и не зависит от начальных условий.Уравнение цепи второго порядкаЕго можно представить в виде:d2XdX+ 2β+ Ω2 (X − X ∞ ) = 0 .2dtdtРешением этого уравнения является функция(11.11)352ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧX (t ) = X ∞ + A1e −β1t + B1e −β2t , β1,2 = β ± β 2 − Ω 2 , (11.12)в которой константы Ω и β определяются параметрами самойцепи, а константы А1 и В1 находятся из начальных условий.При t → ∞ значение исследуемой величины, как следует из(11.10) и (11.12), стремится к установившемуся значению Х∞.
Такимобразом, решение уравнения цепи в обоих случаях описывает переходный процесс установления силы тока в цепи (или напряженияна элементах цепи) после скачкообразного изменения параметров(например, замыкания или размыкания ключа).RLC-цепиЕсли электрическая цепь содержит конденсатор, катушку индуктивности и резистор, то в ней при определенном соотношении параметров элементов могут происходить колебательные процессы.Такую цепь называют колебательным контуром.Если в цепи присутствуют и резисторы, и катушки индуктивности, и конденсаторы, то уравнение цепи имеет вид дифференциального уравнения порядка не ниже второго.
В простых случаях,рассматриваемых обычно в курсе общей физики, это – уравнениевторого порядка, которое имеет вид:d 2XdX+ 2β+ ω02 ( X − X ∞ ) = 0 .(11.13)2dtdtВ зависимости от соотношения параметров цепи решение этогоуравнения может описывать как свободные колебания, так и релаксационные (непериодические) процессы.Величина β, входящая в уравнение (11.13) определяет диссипацию энергии в цепи и называется коэффициентом затухания. Онаопределяется параметрами цепи (R, L, C). Как и в механических колебательных системах, потери энергии в электрической цепи приводят к затухающим колебаниям.
В электрическом колебательномконтуре энергия уменьшается за счет выделения тепла на активномсопротивлении (резисторе). В рассматриваемом квазистационарномприближении потери на излучение малы и не учитываются. Величина1τ=βГл. 11. Переходные процессы в RL, RC и RLC-цепях.353является временем релаксации контура, т.е. временем, за котороеамплитуда собственных затухающих колебаний уменьшается в ераз.Величина ω0 зависит только от индуктивности катушки и емкости конденсатора и определяет частоту незатухающих (гармонических) свободных колебаний в контуре, если бы в нем не было потерь (см. (11.14), (11.15)).В зависимости от соотношения коэффициента затухания β ичастоты ω0 уравнение (11.13) описывает следующие различные процессы, происходящие в цепи.1) β = 0.Если в цепи имеются только L и С элементы, то β = 0.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
