Д.Ф. Киселев, А.С. Жукарев, С.А. Иванов и др. - Электричество и магнетизм. Методика решения задач (1115540), страница 56
Текст из файла (страница 56)
Резистор R, катушка индуктивности L и генератор напряжения E соединены последовательно(последовательная RL-цепь, рис.11.3 а). Определить зависимостьнапряжения на резисторе от времени, если напряжение генератораменяется со временем по закону, показанному на рис. 11.3б:E(t) = 0 при t < 0, t > Tи;E(t) = E0 при 0 < t < Tи.Рис.11.3а. Схема к расчёту переходных процессов в последовательной RL-цепи (задача11.3.3)Рис.11.3б.
Сигнал, формируемыйгенератором прямоугольных импульсов напряженияРис. 11.3в Зависимость напряженияна резисторе от времени в последовательной RL-цепи (задача 11.3.3)При решении считать, что при t < 0 сила тока в цепи равна нулю, а время релаксации существенно меньше длительности импульса (τ << Tи).Гл. 11. Переходные процессы в RL, RC и RLC-цепях.361РешениеИнтервал 0 < t < TиИспользуя второе правило Кирхгофа (11.8) запишемU R + U L = E0 .Так как все элементы цепи соединены последовательно, силатока на всех участках цепи одинаковаI (t ) = I R = I L .Согласно выражениям (11.1) и (11.4)dI L dU RUR = R IR , U L = L =.dt R dtВыберем в качестве исследуемой величины напряжение на резисторе UR. Используя записанные выше соотношения, получимуравнение цепи:L dU RUR += E0 .R dtПриведём это уравнение к стандартному виду (11.9)dU R R+ (U R − E0 ) = 0 .dtLСила тока в цепи не может измениться скачком, следовательно,начальное условие можно записать в виде U R (0) = 0 .В соответствии с (11.10) решением полученного уравнения будет функцияU R (t ) = E0 (1 − e −t τ ) ,где время релаксации τ = R L .
График этой зависимости представлен на рис. 11.3 в.Интервал t ≥ TиРассуждая аналогично первой части данной задачи, запишемуравнение цепи для этого промежутка времениdU R R+ UR = 0 .dtLТак как согласно условию Tи >> τ, то при t = Tи напряжение нарезисторе можно считать равным U R (Tи ) = E0 (1 − e −Tи τ ) ≈ E0 .362ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧТогда получим зависимость напряжения на резисторе от времени: U R (t ) = E0 e − (t −Tи ) τ , где время релаксации τ = R L .График этой зависимости представлен на рисунке 11.3в.()Ответ: U R (t ) = E0 1 − e −tL R , при 0 < t < Tи;U R (t ) = E0 e − (t −Tи )L R , при t ≥ Tи.Задача 11.3.4. Незаряженный конденсатор, резистор и генератор напряжения E(t) соединены в последовательную цепь(рис.11.4а).
Определить зависимость от времени напряжения наконденсаторе UС(t), если генератор напряжения формирует пилообразный сигнал (см. рис.11.4б):E(t) = 0 при t < 0, t > T0;E(t) = αt при 0 < t < T0.РешениеТак как пилообразный сигнал нельзя описать одной функцией,рассмотрим отдельно случаи 0 < t < T0 и t ≥ T0.Рис.11.4а. Схема последовательного соединения резистора R, конденсатора C игенератора напряжения E(t) (задача11.3.4)Рис.11.4б. Сигнал, формируемыйгенератором напряжения E(t) (задача 11.3.4)Интервал 0 < t < T0ЭДС в цепи не равна нулю, следовательно, конденсатор будетзаряжаться.
Второе правило Кирхгофа (11.8) для этого случая имеетвид:q= αt ,Cгде I – ток в цепи, q – заряд конденсатора.RI +363Гл. 11. Переходные процессы в RL, RC и RLC-цепях.В отличие от базовой задачи 11.3.1 здесь ЭДС не является постоянной величиной, однако, продифференцировав по времени правую и левую часть этого уравнения, получим следующее уравнениеотносительно силы тока в цепиdI IR + =α.dt CПриводя уравнение цепи к стандартному виду (11.9), имеем:dI1+( I − αC ) = 0 .dt RCРешение этого уравнения, с учётом начального условия I(0) = 0(при t < 0 ток в цепи отсутствовал), согласно (11.10) равноI (t ) = αC (1 − e − t / τ ) , где τ = RC .Таким образом, напряжение на конденсаторе в этот промежуток времени меняется по закону[U C (t ) = E (t ) − U R (t ) = αt − RI (t ) = αt − αRC (1 − e − t / τ ) = α t − τ(1 − e − t / τ )и при t = T0 достигает максимального значения[]U C (T0 ) = α t − τ(1 − e −T0 / τ ) .Интервал t ≥ T0Так как здесь ЭДС генератора равна нулю, то конденсатор будетразряжаться.
В этом случае, используя результат базовой задачи11.3.2, имеем:[]U C (t ) = U C (T0 )e − ( t −T0 ) / τ = α T0 − τ(1 − e −T0 / τ ) e − ( t −T0 ) / τ .Ответ:[(t ) = α[TU C (t ) = α t − τ(1 − e − t / τ )UC0− τ(1 − e]− T0 / τ])eпри 0 < t < T0,− ( t −T0 ) / τпри t ≥ T0.Замечание.
В частном случае T0 << RC = τ экспонента может2быть представлена в виде e−t / τt 1t ≈ 1 − + + … Тогдаτ 2 τU C (t ) ≈αt 22τпри 0 < t < T0;U C (t ) ≈αT02 −( t −T0 ) / τe2τпри t ≥ T0.]364ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧЗадача 11.3.5. Конденсаторы С1 и С2, предварительно заряженные соответственно до напряжений U1(0) и U2(0) в полярности,указанной на рис.11.5, соединяют последовательно с резистором R.Определить зависимость от времени силы тока в цепи и напряжений на конденсаторах С1 и С2 после замыкания ключа К.При расчёте положить U1(0) > U2(0).РешениеПосле замыкания ключа Крезистор R и конденсаторы С1 иС2 составляют последовательную замкнутую цепь. Внешнегоисточника – генератора напряжения, в этой цепи нет.
ПоэтоРис.11.5. Схема соединения резистораму второе правило Кирхгофа R и конденсаторов С и С в задаче12(11.8) с учетом (11.2) для ука- 11.3.5занной на рисунке 11.5 полярности подключения конденсаторов ивыбранного направления тока запишется в виде:Q Q− 1 + 2 + RI = 0 .C1 C 2Здесь I – сила тока в цепи, Q1 и Q2 – заряды конденсаторов С1 и С2 .Продифференцируем по времени правую и левую часть этогоуравнения. Тогда учитывая, что согласно закону сохранения заряда1 dQ11 dQ2, получим:сила тока в цепи равна I = −=C1 dtC2 dt1 dQ1 1 dQ2dIdI 11 I = 0.++ R = R + +С1 dt C2 dtdtdt C1 C2 Решением этого уравнения по аналогии с базовой задачей11.3.2 будет функцияI ( t ) = I (0)e − t τ ,CCгде I(0) – начальное значение тока в цепи, τ = R 1 2 – время реC1 + C2лаксации.Определим I(0). Так как напряжение на конденсаторе не можетизменяться скачком, то сразу после замыкания ключа К напряженияна конденсаторах С1 и С2 имеют то же значение, что и до замыканияключа, то есть U1(0) и U2(0).
Таким образом, напряжение на рези−365Гл. 11. Переходные процессы в RL, RC и RLC-цепях.сторе сразу после замыкания ключа равно U R (0) = U1 (0) − U 2 (0) .Поэтому согласно закону Ома для участка цепи, начальное значение силы тока равноU ( 0) − U 2 ( 0 )I ( 0) = 1.RОкончательно получим следующую зависимость силы тока вцепи от времени:U 1 ( 0) − U 2 ( 0 ) − t τe .RОпределить зависимость от времени напряжений на конденсаторах С1 и С2 после замыкания ключа К можно двумя способами.Способ 1Так как напряжение U1(0) > U2(0), то после замыкания ключаконденсатор С1 будет разряжаться, и согласно (11.3), напряжение нанём (падение напряжения между точками А и В схемы) будетуменьшаться со временемI (t ) =tt1I ( 0) − t τU AB (t ) = U1 (0) −Idt = U1 (0) −e dt ,C1 0C1 0∫∫или, с учётом выражения для I(0), полученного вышеU AB (t ) = U1 (0) −(U1 (0) − U 2 (0))C2(1 − e − t τ ) .C1 + C2Аналогично, получим напряжение на конденсаторе С2 (напряжение на нём увеличивается, т.е.
конденсатор заряжается)t1(U (0) − U 2 (0))C2U DB (t ) = U 2 (0) +Idt = U 2 (0) + 1(1 − e − t τ ) .∫C2 0C1 + C2Способ 2После замыкания ключа К в цепи будет происходить зарядкаконденсатора С2 от значения U2(0) до некоторого установившегосязначения U∞, и одновременная разрядка конденсатора С1 от значения U1(0) до установившегося значения U∞.Аналогично базовым задачам 11.3.2 (разрядка конденсатора впоследовательной RC-цепи) и 11.3.1 (зарядка конденсатора в последовательной RC-цепи) получим:U AB (t ) = U ∞ − [U ∞ − U1 (0)]e −t τ ;366ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ.
МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧU DB (t ) = U ∞ + [U 2 (0) − U ∞ ]e −t τ ,где τ =RC1C2.C1 + C2Определим установившееся значение напряжения на конденсаторах С1 и С2.Суммарный заряд, сосредоточенный как на “верхних” (точки Аи D), так и на “нижних”(точка B) обкладках конденсаторов не изменяется во время переходного процесса, то естьQ1(0) + Q2(0) = Q1(t)+Q2(t)= Q1(∞) + Q2(∞).Учитывая, чтоQ1(0) = C1U1(0),Q2(0) = C2U2(0),Q1(∞) = C1U∞,Q2(∞) = C2U∞,получим установившееся значение напряжения U∞.C U (0) + C2U 2 (0).U∞ = 1 1C1 + C2Окончательный результат имеет следующий видC U (0) + C2U 2 (0) C2 (U 2 (0) − U1 (0)) −t τU AB (t ) = 1 1−e ;C1 + C2C1 + C2C U (0) + C2U 2 (0) C1 (U1 (0) − U 2 (0)) −t τU DB (t ) = 1 1−e .C1 + C2C1 + C2Результаты для напряжений UAB и UDB , полученные первым ивторым способом, хотя и имеют разный вид, являются эквивалентными. Покажем это для UAB:(U (0) − U 2 (0))C2U AB (t ) = U1 (0) − 1(1 − e − t τ ) =C1 + C2= U 1 ( 0) −(U1 (0) − U 2 (0))C2 (U1 (0) − U 2 (0))C2 −t τ+e =C1 + C2C1 + C2=C1U1 (0) + C2U 2 (0) C2 (U 2 (0) − U1 (0)) − t τ−e .C1 + C2C1 + C2367Гл.
11. Переходные процессы в RL, RC и RLC-цепях.Ответ:I (t ) =U 1 ( 0) − U 2 ( 0 ) − t τe ,Rτ=RC1C2;C1 + C2U AB (t ) = U1 (0) −(U1 (0) − U 2 (0))C2(1 − e − t τ ) .C1 + C2U DB (t ) = U 2 (0) +(U1 (0) − U 2 (0))C2(1 − e −t τ ) .C1 + C2Задача 11.3.6. Параллельно соединённые резисторы сопротивлением R и R/99 соединены последовательно с катушкой индуктивности L и генератором постоянного напряжения E0 (рис.11.6а). Определить, как изменяется со временем напряжение U(t) между точками A и B при замыкании и размыкании ключа K.Решение1) Ключ замыкаютИспользуя правило Кирхгофа (11.8), составляем уравнение для токаI, который протекает через индуктивность L и источник ЭДС E0.dI,dtгде R0 = R 100 – сопротивление двух параллельно соединенных резисторов R иr.
Приведём уравнение цепи к виду (11.9)L dU+ (U − E0 ) = 0Рис. 11.6а. Схема соедиR0 dtнения элементов цепи вилизадаче 11.3.6dU R0+(U − E0 ) = 0 .dtLВремя релаксации при замыкании ключа равно τ1 = L R0 .Для определения начального условия U(0) используем тот факт,что ток в цепи сразу после включения ключа I(0) имеет то же значение, что и до включения:EI ( 0) = 0 .RТогда при t = 0 имеемR0 I = E0 − L368ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧU (0) = I (0) R0 =E0R0 .RУстановившееся значение исследуемого напряжения равноU ∞ = E0 (так как катушка не обладает омическим сопротивлением).Используя выражение (11.10), получимU (t ) = U ∞ − [U ∞ − U (0)]e− t τ1 R −t τ = E0 1 − 1 − 0 e 1 .R 2) Ключ размыкаютПроводя аналогичные расчеты и учитывая изменившиеся начальные условия (U(0) = E0), получим RL− 1e −t τ ) ,U (t ) = E0 1 + где τ 2 = .R R0 Схематично графики этих релаксационных процессов показанына рис.
11.6 б.2Рис. 11.6б. Зависимость напряжения между точками А и В от времени при замыкании и размыкании ключа (задача 11.3.6) tR Ответ: при замыкании ключа U (t ) = E0 1 − 0,99 exp − ; 100 L tR . L при размыкании ключа U (t ) = E0 1 + 99 exp −Замечание. Времена релаксации в рассматриваемых случаяхимеют существенно разные значенияГл. 11. Переходные процессы в RL, RC и RLC-цепях.369τ1R== 100 .τ 2 R0Задача 11.3.7. Параллельно соединенные резистор R и конденсатор C подсоединены к генератору тока I(t) (рис. 11.7а), которыйформирует ступенчатый сигнал (рис. 11.7б).I(t) = 0 при t < 0,I(t) = I0 при t > 0.Определить, как изменяется со временем напряжение U наконденсаторе и ток, протекающий через конденсатор.Рис. 11.7а.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
