Д.Ф. Киселев, А.С. Жукарев, С.А. Иванов и др. - Электричество и магнетизм. Методика решения задач (1115540), страница 50
Текст из файла (страница 50)
Магнитное поле, создаваемоепостоянным магнитом с фиксированным распределением намагниченности M(r), можно найти, заменив магнит эквивалентным распределением молекулярных токов, в общем случае как объемныхj' = rot M (10.11), так и поверхностных i' = [n (М2 – М1)] (10.16).Индукция магнитного поля рассчитывается по найденному распределению молекулярных токов аналогично методам нахождения индукции магнитного поля токов в вакууме, рассмотренным в главе 7.Метод "магнитных зарядов". Решение данным способом целесообразно, если задано "замороженное" распределение намагниченности M(r), из которого можно сразу найти распределение "магнитных зарядов", как поверхностных (10.18) σм = – (n⋅(M2 – M1)),так и объемных (10.17) ρм (r) = – div M.
Далее, зная распределениеэтих зарядов, можно найти поле Н, используя, по возможности, известное решение аналогичной электростатической задачи.322ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧЗадача 10.3.8 (базовая задача). Постоянный магнит в видецилиндра радиуса R и длины 2l изготовлен из материала с однородной намагниченностью М, направленной вдоль его оси. Найти величину индукции и напряженности магнитного поля на оси цилиндра вне и внутри него, считая, что намагниченность не зависит отмагнитного поля.РешениеМетод молекулярных токов.
Так как намагниченность однородна, то объемные молекулярные токи отсутствуют, а на боковой поверхности цилиндра имеется круговой поверхностный молекулярныйток плотности i' = М. Создаваемое этими токами поле В аналогичнополю соленоида с такой же поверхностной плотностью тока.Величина магнитной индукции на оси соленоида определяетсяизвестной формулой1B = µ 0 In (cos α1 − cos α 2 )2(глава 7, задача 7.3.5), где α1 и α2 – углы, под которыми видныкрайние точки соленоида из точки наблюдения A (рис. 10.7). Привыбранном здесь одинаковом направлении отсчета углов α1 и α2данная формула без изменений пригодна для точек как внутри, таки снаружи соленоида. Подставляя в нее In = i′ = M, получим1B ( z ) = µ 0 M (cos α1 − cos α 2 ) =21l−zl+z.= µ0 M +22 R 2 + (l − z ) 22R + (l + z ) Величина напряженности Н магнитного поля внутри магнитаопределяется соотношением (10.1), что даетB( z )1 l−zl+z−M = M+− 2 .µ02 R 2 + (l − z ) 2R 2 + (l + z ) 2Отметим, что для нахождения Н внутри магнита соотношение(10.10) применить нельзя, поскольку намагниченность не зависит от Н.Вне магнита согласно (10.10) H(z) = B(z)/µ0.H ( z) =Метод "магнитных зарядов".
Ввиду однородности намагниченности внутри магнита магнитные заряды возникают только на323Гл. 10. Магнетики в постоянном магнитном полеего торцах и, согласно (10.18),имеют поверхностные плотности σм = ±М. Таким образом, поле Н создается двумяпротивоположно заряженными соосными тонкими дисками, расположенными на расстоянии 2l друг от друга.Электростатическим аналогом, применимым к этой задаче, является равномерно заряженный тонкий диск, электрическое поле на оси которого было найдено в главе 1 (задача 1.3.6) и равноxα2а)MA α1zM1M201- M2б)Bµ00H-llz01,−Рис. 10.7.Красчетуиндукциии22 R + z0 напряженности магнитного поля на осицилиндрического постоянного магнитагде z0 – расстояние от центра (задача 10.3.8);диска, σ – поверхностная а) Система координат,плотность электрического за- б) Зависимость В(z) и Н(z) на оси магнитаряда.Произведем стандартную замену (10.19)Е→ Н, σ/ε0 → σми перейдем в нашу систему координат (рис.
10.7 а). Для правого торцас положительным зарядом надо взять z0 = l – z, а для левого, с отрицательным зарядом, z0 = l + z. Складывая поля от обоих торцов с учетомих направления, получаем ту же, приведенную выше, формулу дляН(z).Графики зависимостей В(z) и Н(z) на оси магнита приведены наlрис. 10.7 б для случая = 10.RПоля В для соленоида и цилиндрического магнита совпадают каквнутри, так и снаружи их. Поля Н совпадает у них только снаружи.Внутри соленоида Н = В/µ0, а в магните Н противоположно по направлению, а его величина быстро уменьшается с удалением от торцов.
Для тонкого длинного магнита можно считать, что Н = 0 в большей части его объема, кроме областей в непосредственной близостиEz =σ2ε 0324ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ1его торцов, где Н испытывает скачок в пределах ± M . Отметим, что2все найденные величины относятся к осевой линии цилиндра.1l−zl+z;+Ответ: B ( z ) = µ 0 M 22 R 2 + (l − z ) 22R + (l + z ) 1 l−zl+z.Вне магнита: H ( z ) = M +22 2 R 2 + (l − z ) 2R + (l + z ) l−zl+z1 Внутри :H ( z) = M +− 2 .2 R 2 + (l − z ) 2R 2 + (l + z ) 2Задача 10.3.9.
Длинный цилиндр радиуса R изготовлен из материала с "замороженной" однородной намагниченностью, направленной вдоль его оси. Индукция магнитного поля в центре торцаданного цилиндра равна В1. Найти индукцию В2 в центре тонкогодиска толщины h (h << R), отрезанного от этого цилиндра.РешениеТак как намагниченность М однородна, то объемные молекулярные токи отсутствуют, а на боковой поверхности цилиндра имеется круговой поверхностный молекулярный ток плотности i' = М.Создаваемое этими токами поле В аналогично полю соленоида стакой же поверхностной плотностью тока. Величина магнитной11индукции в центре торца соленоида равна B1 = µ 0i = µ 0 M (гла22ва 7, задача 7.3.5, замечание 2). Из этого соотношения находим ве2 B1личину намагниченности материала M =.µ0Поле в центре тонкого диска с той же намагниченностью можно представить как поле кругового витка с молекулярным токомI' = hi' = hM (см.
рис. 10.8). По известной формуле (глава 7, задача7.3.3, замечание 1) величина индукции в центре витка равнаI′B = µ0, откуда следует2RI′hhB2 = µ 0= µ0 M= B1 .2R2RRГл. 10. Магнетики в постоянном магнитном полеОтвет: B2 = B1325h.RЗадача 10.3.10. Постоянный магнит имеет форму тонкого дискарадиуса R и толщины h (h << R). Магнитный момент диска pm перпендикулярен его плоскости (рис. 10.8). Предполагая, что намагниченностьдиска однородна, найти величину магнитной индукции на оси диска взависимости от расстояния z от его центра.РешениеНайдем намагниченность материала диска:z pmIмpmpmM==.VπR 2 hТак как намагниченность однородна, то объемные молекулярные токи отсутствуют, а на боко- Рис. 10.8.
К расчетувой поверхности диска в соответствии с (10.16) магнитного поля натечет поверхностный молекулярный ток плотно- оси нормально насти i' = М. Полный поверхностный молекулярный магниченного диска (задача 10.3.10)ток, текущий по периметру диска, равенpI' = i' h = Mh = m2 .πRПоскольку диск тонкий, этот ток можно считать линейным исоздаваемое им магнитное поле будет совпадать с полем на осикольца с током I = I', определяемым следующей формулой (см. Глава 7, задача 7.3.3)1R2.B( z ) = µ 0 I 22( R + z 2 )3 / 2Подставляя сюда значение силы молекулярного тока I', окончательно получаемB=µ0pm.22π ( R + z 2 )3 / 2µ0pm.22π ( R + z 2 )3 / 2Замечание.
На больших расстояниях от диска z >> R даннаяµ pформула переходит в B = 0 m3 , что совпадает с известным выра2π zжением для магнитной индукции на оси магнитного диполя.Ответ: B =326ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ1 MhВблизи центра диска B (0) = µ 0, что при тонком диске2R( h R <<1) дает B(0) ≈ 0. Такой же близкой к нулю будет величинавектора индукции и внутри диска. Это легко сразу получить из рассмотрения задачи методом "магнитных зарядов".
Однородно намагниченный диск эквивалентен тонкому "конденсатору", заряженному с поверхностной плотностью зарядов σм = ±М. Как известноиз электростатики, напряженность поля у наружной стороны пластины конденсатора вдали от его краев Н ≈ 0, а внутри Н = σм = М,откуда согласно (10.1) следует B = µ0(H – M) = 0.Задача 10.3.11 (базовая задача).
Постоянный магнит в видедлинного цилиндра с однородной "замороженной" намагниченностью М, направленной вдоль его оси, разрезан пополам и половинки разведены на расстояние, малое по сравнению с его радиусом а.Найти: 1) магнитную индукцию В1 и напряженность магнитного Н1 поля в зазоре, а также в остальных частях магнита вдали отзазора (В2 и Н2); 2) силу F притяжения двух половинок магнита.Решение методом магнитныхзарядовВвиду разрыва нормальной компоненты вектора М (пунктир на рис. 10.9)на границах зазора появляются магнитные заряды противоположного знака с поверхностной плотностью σм =±M (10.18). Таким образом, зазор эквивалентен тонкому плоскому электрическому конденсатору. Напряженностьэлектрического поля внутри плоскогоконденсатора, как известно из электростатики, Е = σ ε 0 (Глава 1, задача1.3.9).
Произведя замены Е → Н1,σ ε 0 → σм (10.18), получаемН1 = σм = M,В1 = µ0Н1 = µ0М.Направление вектора Н1 совпадаетс направлением В1.М+ B ––+–+–+++Ма)H+++++σ+––––+–σб)Рис. 10.9. К нахождениюмагнитного поля в зазорепостоянного магнита (задача 10.3.11)а) Линии поля индукции Ви намагниченности М(пунктир)б) Линии поля НГл. 10. Магнетики в постоянном магнитном поле327Вне "конденсатора" поле H близко к нулю, т.е. внутри обеихполовинок магнита вдали от зазора Н2 = 0 и В2 = В1 = µ0(Н2 + М) =µ0М.Силу, действующую на половинки магнита, можно найти какпритяжение двух пластин заряженного конденсатора по аналогии ссоответствующей электростатической задачей:111F = µ0Н1qм = µ0M⋅Sσм = Sµ0M 2.222Данную силу можно найти и из магнитного давления на границе магнитных сред, используя (10.29), (10.23):11F = Sp = S(w1 – w2)= SB(H1 – H2) = πa2µ0М 2.22Решение методом молекулярных токовТак как намагниченность однородна, объемные молекулярныетоки отсутствуют, а на боковой поверхности цилиндрического магнита имеется круговой поверхностный молекулярный ток плотности i' = М.
Магнитная индукция B внутри длинного цилиндра будетта же, что и внутри соленоида с поверхностным током i = i', т.е.B = µ0i = µ0M. При этом, в отличие от соленоида, напряженностьмагнитного поля внутри цилиндра равна нулю:BH2 = 2 – M = 0.µ0Если поперечный зазор в цилиндре узкий, то можно пренебречь краевыми эффектами, то есть считать, что силовые линии В неотклоняются от продольного направления. Тогда вектор В в зазоресохранит ту же величину B = µ0M в силу сохранения нормальнойкомпоненты Вn на границе сред, при этом внутри зазораН1 = B/µ0 = M, а поле Н вдали от зазора останется нулевым.Ответ: 1) Н1 = M,В1 = В2 = µ0М, H2 = 0.1 22) F = πa µ0М 2 .2Задача 10.3.12.
Тонкий диск толщины h и радиуса R (h << R)имеет однородную "замороженную" намагниченность с вектором намагниченности М, лежащим в его плоскости. Найти:1) магнитную индукцию В и напряженность магнитного поля Н вцентре диска;328ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ2) в дипольном приближении индукцию В на оси диска на расстоянии z от него.РешениеВвиду разрыва нормальной компоненты вектора М на боковойповерхности диска согласно (10.18) появляются "магнитные заряды" с поверхностной плотностью σ м = M cos ϕ (рис. 10.10).1) Пусть ось ОX параллельнавектору намагниченности. Ввидусимметрии задачи магнитное поле вплоскости диска будет иметь толькоx-компоненту.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
