Д.Ф. Киселев, А.С. Жукарев, С.А. Иванов и др. - Электричество и магнетизм. Методика решения задач (1115540), страница 45
Текст из файла (страница 45)
Соленоид радиуса R и длины l (l >> R) имеетобмотку, состоящую из N витков. По соленоиду течет ток силы I. Вцентре соленоида на его оси помещена небольшая катушка, имеющая магнитный момент pm, направленный перпендикулярно оси соленоида. Определить величину момента сил М, действующих накатушку.РешениеВнутри длинного соленоида магнитное поле однородно. Вектормагнитной индукции такого поля направлен вдоль оси соленоида(см. рис. 9.9) и равен по модулюNI.lБудем рассматривать катушку, как точечный магнитный диполь.
Тогда в соответствии с (9.3) момент сил по модулю будет равенB = µ 0 nI = µ 0Гл. 9. Энергия и силы в магнитостатике289Рис. 9.9. К определению вращающего момента сил Ампера, действующего на магнитный диполь, помещённый на оси соленоида(задача 9.3.10)NI,lгде α = 90° – угол между векторами pm и В.µ p NIОтвет: M = 0 m .lЗамечание. Если внутренняя катушка ориентирована соосносоленоиду, то в соответствии с (9.4) момент сил, действующих нанеё со стороны магнитного поля соленоида, равен нулю.M = pm B sin α = pmµ 0Задача 9.3.11. На круглый короткий деревянный цилиндр объёмом V в один слой намотана катушка.
По катушке течет ток, поверхностная плотность которого равна i. Определить величину механического момента, который удерживает цилиндр в равновесии,если он находится во внешнем однородном магнитном поле, векториндукции которого В образует угол α с осью цилиндра.РешениеРассмотрим элемент катушки длиной dl. Согласно определению (7.16) главы 7, этот элемент можно рассматривать, как магнитный диполь с моментом p m = ISn = idl πR 2 n (где R – радиус катушки), направленным вдоль оси цилиндра (см.
рис. 9.10). В соответствии с (9.4) на этот элемент катушки со стороны магнитного полядействует вращающий момент, равный по модулюdM = pm B sin α = idl πR 2 B sin α .290ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧРис. 9.10. Определение момента сил,действующихнаэлемент катушки стоком во внешнеммагнитном поле (задача 9.3.11Считая, что геометрические размеры катушки (радиус R и длина l)совпадают с размерами деревянного цилиндра, на который она намотана, получим выражение для момента, действующего на всю катушку со стороны магнитного поляllM = ∫ dM = ∫ idl πR 2 B sin α = iVB sin α .00При интегрировании учтено, что объём катушки равенV = l πR 2 .В условиях равновесия механический момент, который удерживает цилиндр с катушкой в равновесии, равен по величине моменту магнитных сил, который стремиться повернуть катушку.Ответ: M = iVB sin α .Задача 9.3.12.
Замкнутый контур с током I, состоящий из двухполуокружностей радиусов а и b, соединённых прямыми участками(см. рис. 9.11а), находится в поле длинного прямого проводника стоком I0. Плоскость контура перпендикулярна прямому проводнику,а центры полуокружностей лежат на оси прямого проводника. Найти момент сил Ампера, действующих на замкнутый контур.РешениеСиловые линии индукции магнитного поля, создаваемого бесконечным прямым проводником с током, являются окружностями,плоскость которых перпендикулярна проводнику. На расстоянии хот проводника величина магнитной индукции его поля равнаµ IB = 0 0 (см. задачу 7.3.1 главы 7). Следовательно, в каждой точке2 πr291Гл. 9.
Энергия и силы в магнитостатикеполуокружностей ВС и DА рассматриваемого контура (см.рис. 9.11б) векторы dl и B сонаправлены и, в соответствии с (9.1),силы Ампера на эти участки не действуют.На радиальные участки АВ и CD контура со стороны магнитного поля прямого проводникадействуютсилыАмпера,стремящиеся повернуть контурвокруг оси ОО1, проходящей черезего центр.Рассмотрим участок контура dr,находящийся на расстоянии r отРис. 9.11а.
Взаимное распоцентра прямого провода. На неголожение замкнутого проводдействует сила Ампера, равнаяника с током I и прямогопровода с током I0 (задачаµ I9.3.12)dF = IBdr = I 0 0 dr ,2 πrМомент этой силы относительнооси ОО1 равенdM = r ⋅ dF =На участоквращающий моментµ0 I 0 Idr .2πАВ действуетdrbµ0 I 0 I(b − a ) .2πaВ силу симметрии задачимомент сил, действующий научасток CD, также равен М1. ДлямоментапарысилАмпера,действующих на весь контур, имеемM 1 = ∫ dM =µ0I 0 I (b − a ) .πµОтвет: M = 0 I 0 I (b − a ) .πM = 2M1 =rdrРис.
9.11б. Силы Ампера,действующие на линейныеучастки контура со сторонымагнитного поля прямогопроводника (задача 9.3.12)Задача 9.3.13. Круглая проволочная петля радиуса а и сопротивлением R, находится в однородном постоянном магнитном полес индукцией В и равномерно вращается вокруг своего диаметра,перпендикулярного к В, с угловой скоростью ω (рис. 9.12). Пренеб-292ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧрегая индуктивностью петли, найти средний тормозящий моментM сил, действующих на петлю со стороны магнитного поля исреднюю мощность этих сил P .РешениеПусть ϕ(t) = ωt – угол между вектором В и вектором n нормалик плоскости петли в момент времени t. Тогда магнитный поток через контур Ф(t) = πa2Bcosωt, а ЭДС индукцииdФE=−= πa 2 Bω sin ωt .ωdtПоскольку индуктивностью контура можнопренебречь, то индукционный ток по закоBну Ома равенE (t ) 1 2= πa Bω sin ωt .RRТакой круговой виток с током в соответствии с определением (7.16) (глава 7) обладает магнитным моментом1p m (t ) = ISn = nπa 2 I = n ( πa 2 ) 2 Bω sin ωt .RnI (t ) =ϕ(t)Рис.
9.12. Проволочнаяпетля, вращающаяся вовнешнем магнитном поле(задача 9.3.13)Согласно (9.3) на петлю будет действоватьмеханическийвращающиймоментM(t) = [pm B], направленный против вектора ω (следствие правилаЛенца). Его проекция на направление вектора ω равнаM (t ) = − pm (t ) B sin ωt = −1( πa 2 B ) 2 ω sin 2 ωt .RСреднее по периоду sin 2 ωt = 1/2, поэтому средняя величинамомента1M =−( πa 2 B ) 2 ω .2RПоскольку мощность P(t) = M(t)ω, а ω = const, то1( πa 2 Bω)2 .2R11M=−( πa 2 B )2 ω , P = −( πa 2 Bω)2 .2R2RP = Mω = −Ответ:Гл.
9. Энергия и силы в магнитостатике293Замечание. Другой способ решения данной задачи, основанныйна энергетическом подходе, приведён в задаче 8.3.2 главы 8.Задача 9.3.14 (базовая задача).Точечный магнитный диполь pm расположен перпендикулярно длинномуpmrпрямому проводу, по которому течетток I, так, что продолжение векторапроходит через провод (рис.
9.13).IОпределить силу, действующую намагнитный диполь со стороны маг- Рис. 9.13. Взаимная ориентациянитного поля провода, если расстоя- прямолинейного тока и магнитние между проводом и магнитным ного диполя (задача 9.3.14)моментом равно r.РешениеВыберем декартову систему координат так, чтобы ось Z былапараллельна проводу, а ось X – магнитному моменту диполя. Взаимная ориентация магнитного диполя и провода в поперечнойплоскости XY показана на рис. 9.14 а.Как и большинство задач данной главы, эту задачу можно решать двумя способами – используя энергетические соотношения инепосредственно выражение для силы, действующей на магнитныйдиполь во внешнем магнитном поле (9.2).Способ 1 (энергетический)Чтобы воспользоваться этимYметодом, нужно найти зависимостьFэнергии диполя от его координат.pmЛинии индукции магнитногоrполя прямого провода имеют видIокружностей, центр которых лежитXBна проводе.
Пусть диполь с магнитным моментом, параллельным осиХ, находится в произвольной точке с Рис. 9.14а. Сила, действующаяна магнитный момент в магнитномкоординатами (x, y, 0) (рис. 9.14 б). поле прямого провода (задачаКомпоненты вектора магнитной ин- 9.3.14)дукции поля в этой точке можно записать как294ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ.
МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧx yB( x, y ) = B , − , 0 ,rr µ0 I(см. задачу 7.3.1 главы2π r7). Согласно (9.4) энергия взаимодействия "жесткого" диполя, имеющего заданный постоянный магнитный момент pm = {p, 0, 0}, с магнит- Рис. 9.14б. К определению энерным полем равнагии взаимодействия диполя с маг-где B =нитным полем прямого проводаµ I yy= − pm 0 2 . (задача 9.3.14)r2π rСилу, действующую на диполь, можно найти, используя (9.2) ∂W∂W∂W Fm = −grad W = −i+j+k .∂y∂z ∂xТак как диполь, согласно условию задачи, находится в точке скоординатами (r, 0, 0), получаем:W = −(p m B) = − pm BFx = −Fy = −Fz =∂W∂x∂W∂y∂W∂z= pm µ 0 I∂ y 2= 0;∂x x + y 2 x = r , y = 0= pm µ 0 Ip µ Iy ∂ 2= m 20 ;2 ∂y x + y x = r , y =0rx = r , y =0x = r , y =0=0.z =0В векторном виде F = pmµ0 Ij , где j – орт оси Y выбранной2 πr 2системы координат.Сила, действующая на диполь, направлена в положительномнаправлении оси Y.
Действительно, смещение в положительном направлении оси Y уменьшает энергию диполя. В направлении оси Хсила не действует, поскольку смещение по этой оси не меняет энергию, которая всегда равна нулюСпособ 2 (непосредственный расчет сил)Если диполь, имеющий заданный постоянный магнитный момент,295Гл. 9.
Энергия и силы в магнитостатикенаходится в точке с координатами (x, y, 0) (рис.9.14б), то согласносоотношению (9.2) компоненты силы, действующей на него со стороны магнитного поля провода равны: ∂B ∂ =Fx = p m(p m , B) ; ∂x ∂x∂B ∂ =Fy = p m(p m , B) ; ∂y ∂y ∂B ∂=Fz = p m(p m , B) ,∂ z ∂ zгде B =µ0 I(см.
задачу 7.3.1 главы 7)2π rТак как диполь, согласно условию задачи, находится в точке с координатами (r, 0, 0), аналогично способу I получаем:Fx = 0 , Fy =Ответ: F = pmpm µ 0 I.2πr 2µ0 Ij.2 πr 2§ 9.4. Задачи для самостоятельного решенияЗадача 9.4.1. Какова сила взаимодействия двух параллельныхпроводящих пластин в вакууме, по которым текут одинаковые повеличине токи с поверхностной плотностью величиной i, если направления этих токов составляют друг с другом угол α? Линейныеразмеры сторон пластин l1, l2 много больше расстояния между ними.µ 0i 2l1l2 cos α . Положительная сила соответст2вует притяжению пластин.Ответ:F=296ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ.
МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧЗадача 9.4.2. Проводящую плоскостьс током поместили во внешнее однородное магнитное поле. В результате индукция магнитного поля с одной стороныплоскости оказалась равной B1, а с другойстороны – В2 (линии поля параллельныплоскости – см. рис. 9.15). Найти магнит- Рис. 9.15.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
